人教版高中数学-对一道高考试题的再研究

专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小. 详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法）；（2）利用函数单调性比较大小；（3）借助中间变量比较大小.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+B. ()21log 2a b a b a b <+<+C. ()21log 2a b a a b b +<+<D. ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 21,2a ba b a b ab ><<∴<+>= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数()0.2220.2,log ,2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知2log 0.20<， 200.21＜＜， 0.221>，即01a <<， 0b <，1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.12.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 【答案】B【解析】分析：设()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'=，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论. 详解：设()ln (0)x f x x x =>，则()21ln xf x x -'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.2 2.12.1 2.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<， 所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题. 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x x -=-，设()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( ) A. c a b >> B. a b c >> C. c b a >> D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D 【解析】令0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 20sin 2α<<， cos sin αα>，令()()sin xf x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A又1ln πln 2e >=，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知3sin(x+ ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a 【答案】B 【解析】 ()()()122312222cos x f x x ϕϕ++=++- ()()3122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭5353262242464b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。

专题讲座高中数学“数列的综合问题”教学研究郭洁北京市东城区教师研修中心一、对本专题数学知识的深层次理解（一）数列综合问题的几个重点内容数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。

这些问题往往涉及数列知识的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。

（二）教学内容的重点、难点重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数列求和的基本方法及基本的递推数列问题。

难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。

二、“数列综合问题”的教与学的策略（一）解决数列问题的基本思路判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 .因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。

1．关注数列的属性本题的关键是定性，即关注数列的属性。

2．关注数列的项数此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。

3．用函数的观点认识数列本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往往可以利用解决函数问题的思考方式。

（二）关注数列求和问题的教学数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 .1．用公式求和分析 : 课本上推导等差数列的前项和公式的方法为倒序相加法 , 故设数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法这一点在教学中应该始终坚持。

2021年第9期中学数学教学参考（下旬）www.zhongshucan com想方法|对一个解三角形问题的探究和旭辉（山东省济南市章丘中学)摘要：解三角形问题一般背景简单，灵活多变，切入点直接，能较好地与其他知识点交汇命题。

它蕴含丰 富的数学思想方法，能有效地提升学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。

关键词：解三角形；基本不等式；正弦定理；余弦定理；判别式文章编号：1002-2171 (2021)9-0044-02解三角形问题是高中重要的知识点，在高考中频 繁出现，因此在模拟考试中备受关注。

此类问题灵活 多变，内涵丰富，融合性强，能很好地凸显试题的创新 性，考查学生的核心素养。

本文，笔者通过对一道模拟试题的探究，希望对解决此类问题有所帮助。

1问题呈现例 1在A A B C中，已知 3(s i n2A+s i n2B)=s i n C . (s i n C+2V^sin Asin B)，则 s i n(；r+A)+s i n(:c+J3) + s in C r十C)的最大值为________，最小值为________»此题以三角形为背景，给出三角形三个内角正弦值对应的三角关系式，要求解相关的三角关系式的最值。

本题先融人正弦（余弦）定理，建立“边”与“角”的联系；然后借助对应的方法及三角函数的图像与性质，构建“等”与“不等”的关系；再利用三角恒等变换公式及三角函数的图像与性质，最终求得最值。

2解法探究解法1:(基本不等式法）已知3(s i n2A+s i n2B)= sinC(s i n C + 2 v^"s i n Asin B),由正弦定理可得3(a2+62)=c2+2v^a6s i n C。

由余弦定理可得 c：2= a2+62—2a6c〇S C,代人已知式，整理可得a2+62= a6(V5"s i n C— c os C)=2a6s i n ( C —晋），所以a2+f e22ab2、/f X l=1，当且仅当a =6时等号成立。

214教研与美育美眉 2022.09下观点交流基于深度学习的高中数学常规测试题的编制研究姚本福(贵州省玉屏侗族自治县民族中学，贵州 铜仁 554000)一、“深度学习”研究概述及其特征（一）“深度学习”研究概述深度学习的概念是在1976年提出的。

在文章中，美国研究院（2014）将深度学习定义为“学生对核心课程知识的深度理解，以及在真实的问题和情镜中应用这种理解的能力”。

美国深度学习联盟里的学校基本上采用深度学习策略，如项目学习、基于问题的学习、和基于设计的学习，Linda Darling Hammond&Brigid Barron(2019)将深度学习与教师教育结合在一起研究，探索美国教师教育的深度改革之路。

在我们国内，刘月霞、郭华（2018）将深度学习与核心素养结合研究，指出“深度学习是基于核心素养教学改革的实现机制”；高东辉、于洪波（2019）综述了美国“深度学习”研究40年；迟佳蕙等（2019）概括出国内外深度学习研究的主题与热点：深度学习相关理论概念探究、学习过程及影响因素研究、教学策略及案例研究、评价研究以及信息技术支持的深度学习研究。

（二）“深度学习”的特征研究者们认为深度学习是一种积极的、高投入的认知加工，并且注重知识的迁移、综合、分析和应用。

而对应的浅层学习是低水平的认知加工、关注一般概念和陈述性知识，对所学知识进行机械地简单重复记忆。

深度学习则是强调复杂的思考过程。

学习者需要进行理解性的学习、信息的深层加工、批判性的高阶思维、主动的只是构建和知识转化、有效的知识迁移以及真实问题的解决。

深度学习更关注学生认知结构的完善、关键能力的提升、有效的迁移应用及其实际问题的解决。

二、高中数学教师常规测试题编制的现状（一）学校常规考试现状对于高中数学常规考试而言，大部分试题都是由各学科的备课组长把关并带领教师们编制的。

然而，大多数一线教师在编制测试题时是随意选用一套试题，不注重常规训练的整体规划；或是借用其他学校整套试题，没有考虑到学生的实际情况；或是借用其他省份的试题，没有总结本省高考试题特点；或是好题放在一起组成一套试题，不考虑一套试题的合理分布；或是全校统一训练一套试题，没有考虑学生之间的层次差异。

高中数学--历年高考真题精选题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．3.在5(1)x +-6(1)x +的展开式中,含3x 的项的系数是(A) -5(B) 5(C) -10 (D) 104.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同，记得这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。

在每一个闪烁中，那么需要的时间至少是 A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 5.由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 26. ( 2x －3 )5的展开式中x 2项的系数为（A ）－2160（B ）－1080 （C ）1080（D ）21607.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 】A ．14B ．16C ．20D ．488.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =9.i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A.6种B.12种C.24种D.30种二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t=⎧⎨=+⎩为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为12.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 13.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 是BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。

【高中数学】数学《空间向量与立体几何》复习知识点一、选择题1．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）A ．m l ⊥，m β⊂，l α⊥B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂C ．//m l ，m α⊥，l β⊥D ．l α⊥，//m l ，//m β【答案】D 【解析】 【分析】A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】对于A ，m l ⊥，m β⊂，l α⊥，则//αβ或α，β相交，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，由因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移3厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）A ．2颗B ．3颗C ．4颗D ．5颗【答案】C 【解析】 【分析】利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：()22319133MN CN IM CN IM ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：()22213LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅633363993888πππ=+=()99329783,491913ππ=∈ 所以至少需要4颗石子 故选：C 【点睛】本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.4．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．16：9 D ．9：16【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值． 【详解】设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，则母线长为2r ， 则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的内切圆，则半径为23R r =，表面积为221643r R ππ=， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2216:316:93r r ππ=，故选：C ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．5．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22cos 3A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为14，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．16πC ．12πD ．163π【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积． 【详解】由余弦定理得22229122cos 263AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===g ，解得22AB =， 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点， 11114221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=Q g ， 7OD ∴=． 222OA OD AD ∴=+=． 2416O S OA ππ∴=⋅=球．故选：B ．【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面11A BC //平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90︒．③错；∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1ACD 距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．273B ．276C ．274D ．272【答案】D 【解析】 【分析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】几何体为一个三棱锥，高为33333，，所以体积为1127=33333=322V ⨯⨯⨯，选D. 【点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β. 其中真命题的序号为（ ） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确； 对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A ．305B ．230C ．27D ．47【答案】B 【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 221223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.10．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.11．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．22B 25C 26D 26【答案】B 【解析】 【分析】连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MNA M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H =25, 故选B【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.12．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若，与所成的角相等，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则【答案】C 【解析】试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若，，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则，相交或，异面，D 错考点：直线与平面，平面与平面的位置关系13．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．255C ．1010D ．1510【答案】D 【解析】 【分析】先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案. 【详解】如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角. 不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，13,25EF B E ∴==1315sin 25EB F ∴∠==. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.14．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．26【答案】B【解析】 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，其中面积最大的面为：1232232PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）A ．1144B 11C ．1144D ．1111【答案】B【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B，()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r ， 设异面直线AE 与1A B 所成角为θ，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为： 11311cos 222218AE A B AE A Bθ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r ，2l 的方向向量为b r ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b⋅⋅r r r r .16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.【详解】①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；故选C.【点睛】异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.17．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1三棱柱的高为A ．323πB ．163πC ．83πD ．643π 【答案】A【解析】【分析】求得该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.【详解】由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为221r r ==⇒=，根据球的性质，可得外接球的直径为24R ===，解得2R =， 所以该三棱柱的外接球的体积为343233V R ππ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为A ．152πB ．12πC ．112πD ．212π 【答案】A【解析】【分析】 由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】 由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.19．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l mB ．若//m a ，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则//l m【答案】C【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.【详解】A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.20．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 【答案】D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。

稳步提高,仍需努力----2005年高考广东数学试题和答卷的分析华南师范大学数学科学学院柳柏濂05年数学高考，是广东省独立命题的第二年。

从命题的内容和答卷的状况，有不少值得分析和总结的东西。

本文就05年广东省高考数学科评卷的情况，谈谈我们的看法。

一.题型和特点05年广东高考数学科试题，总结了上一年独立命题中的经验和不足，在大纲框架中作调整，在稳定结构中求改革。

其特点可以归结为：紧扣考纲，调整结构，贴近教材，保持传统，鼓励创意，重视衔接。

1. 紧扣考纲05年高考严格按照考纲和课本的精神命题。

在内容分布上，以函数（29分，占19%）、立体几何（24分，占16%）、解析几何（包括向量）（34分，占23%）为主。

除了注意反映课程标准的新增内容，如向量、概率统计、导数等内容外（参考公式中仅给出概率公式），还改正了去年的不足，把在高中数学课程标准中某些内容的减少，在试题中得到体现。

例如三角恒等变换与三角方程，圆锥曲线的综合计算等内容都在试题中有不同程度的弱化。

2. 调整结构整份试题在大结构中保持稳定的题型，但在降低难度方面作了一些努力。

主要表现在：①选择题从12小题减少为10小题，填空题四题从04年的16分增加至05年的20分。

②选择题、填空题及解答题的第（15）题，以基本知识为主，较少技巧性的要求（共82分，约占55%）。

③试题的排序设计更趋合理，基本遵循由易到难的顺序。

解答题（如从（16）~（20））均分步设问，一方面为学生架设通向最后解决问题的桥梁，也便于未能完整解答问题的考生得到中间的分数。

3. 贴近教材高考的命题必须以教材为本。

以鼓励学生立足教材，学好学深基本知识。

05年广东数学试题中有不少以课本的例题、习题的题型加以改造而成的问题。

例如，第（15）题： （１５）（本小题满分12分） 化简6161()cos(2)cos(2)2)(,)333k k f x x x x x R k Z πππ+-=++-++∈∈，并求函数()f x 的值域和最小正周期．本题主要考查三角函数的周期和值域，三角函数的诱导公式及和（差）角公式等基础知识，以及把特殊形式化为一般形式的化归和转化的数学思想方法，考查思维能力和运算能力。

我对高中数学中研究性学习的理解摘要：高中数学新教材，打破原有的知识体系，学生的学习内容与社会生活紧密联系，使课堂教学自然地延伸到了社会、生产、生活和科技等现实领域。

新颖丰富的学习内容引人入胜，“培养学生主动学习，自主学习、终身学习能力”的现代教育理念展现其间，为更好地实施素质教育，培养创新型人才创造了条件，新教材中的阅读材料和研究性课题为我们开展数学研究性学习起到了一定的启发作用。

关键词：高中数学研究性学习理解数学研究性学习应该如何开展，才能更好地实现其课程目标和发挥其课程功能呢？下面我谈淡一些自己的观点和做法。

一、正确认识研究性学习是开展数学研究性学习的基础。

什么是研究性学习:高中阶段的研究性学习主要指学生在教师指导下，从自然现象、社会和自我生活中选择和确定研究专题，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识和解决问题的学习活动。

研究性学习的基本特点:研究性学习具有开放性、探究性和实践性等基本特征，是教师和学生共同探索求新知的学习过程，是教师和学生围绕问题共同完成研究内容，相互合作的交流的过程。

研究性学习中教师的地位、角色的转变:（1）从知识的权威者到学生学习的平等参与者。

在研究性学习中学生自主选择研究内容、自主研究，在一个开放的学习环境中进行实践活动，教师失去了垄断地位。

同时学习的内容的开放性使学生的视野大为拓展，吸纳知识的途径由单一变为多样化，教师也不再是学生唯一的知识来源，也就失去了对学生所要学习知识的权威。

（2）从知识的传授者到学生学习的指导者。

在研究性学习中，教师首先在资料信息来源、思路点拨、研究方法等方面进行指导，还要做好研究性学习的组织协调者，创设轻松的活动环境，帮助学生克服困难，树立信心，保证学生有旺盛的求知欲和持之以恒的积极性。

数学研究性学习的目标：（1）获得亲身参与研究探索的体验，（2）培养提出问题和解决问题的能力，（3）培养收集、分析和利用信息的能力，（4）学会分享与合作，（5）培养科学研究的兴趣、态度和社会使命感。

数学文化融入高考数学试题研究马威; 谢治州; 向兴【期刊名称】《《凯里学院学报》》【年(卷),期】2019(037)006【总页数】6页(P114-119)【关键词】数学文化; 高考; 高中数学【作者】马威; 谢治州; 向兴【作者单位】黔南民族师范学院贵州都匀558000【正文语种】中文0 引言2003年《普通高中数学课程标准(实验)》中明确将数学文化纳入数学课程标准中，提倡体现数学的文化价值[1].2011年颁布的《义务教育数学课程标准》指出“数学是人类文化的重要组成部分”，教材编写应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程；关注对学生人文精神、数学价值观的培养[2].《普通高中数学课程标准(2017版)》更是强调数学文化的重要性，并提出数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分，在高考命题中建议应围绕数学内容主线，融入数学文化，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[3].紧接着在2017年教育部考试中心颁布的高考考试大纲中，更是体现将数学文化作为考试内容的一部分，进一步将数学文化研究推向新的高度、深度和广度.为适应教育改革的发展，在考试题中渗透数学文化已变得刻不容缓.因此，对2014—2018年渗透数学文化的高考数学试题特征进行梳理，分析其显著特点及数目、分值的变化趋势，做到“知己知彼，百战不殆”，以期引起广大教育者对数学文化的重视，并给出相关教学建议以为引玉之砖.1 2014—2018年数学文化试题梳理纵观近五年高考试题，渗透数学文化的试题不管是从数量还是所占分值比例来说都呈上升趋势.从渗透数学文化试题的年份、地区和题号、题型、来源、分类、知识点分布进行分类统计，并借鉴傅赢芳，张维忠[4](2005年)在《对数学课程中有关数学文化思考》中，提出研究数学文化应当“重视与文化背景的联系”“注重与数学现实的联系”“注重与其他学科的联系”“注重数学内部知识结构之间的联系”，以及结合强萍萍在《渗透数学文化的高考解题教学研究》中划分：“渗透数学文化的高考题主要来说涉及数学与数学史、数学与人文、数学与生活、数学与科技四个方面”[5]，于是将渗透数学文化的高考试题按其与数学的联系分成数学史、社会生活、人文发展和科技创新4个方面.并用表1将其梳理展示，便于读者查阅研究. 表1 数学文化梳理年份地区和题号题型来源分类知识点分布2014全国I理14填空题逻辑推理社会生活数与代数广东理科20解答题椭圆数学史几何与图形福建文科13填空题面积计算社会生活概率与统计湖北文科10选择题算数书数学史几何与图形湖北理科13填空题算法程序框图人文发展算法程序框图湖北理科8选择题求盖术数学史几何与图形陕西理科14填空题欧拉定理数学史几何与图形2015全国I理6选择题九章算术人文发展几何与图形全国I理20解答题阿基米德三角形数学史几何与图形全国II理8选择题更相减损术人文发展算法程序框图北京理科3选择题算法程序框图人文发展算法程序框图湖北理科2选择题数书九章社会生活数与代数湖北理科19解答题九章算术数学史几何与图形湖北理科21解答题椭圆规社会生活几何与图形2016全国II理8选择题秦九韶算法数学史数与代数全国II 理15填空题逻辑推理社会生活数与代数全国III文21解答题伯努利不等式科技创新数与代数山东文科21解答题蝴蝶定理数学史几何与图形四川文科20解答题蝴蝶定理数学史几何与图形上海文理20解答题面积计算社会生活几何与图形四川文科8选择题秦九韶算法数学史数与代数2017全国I理12选择题棋盘问题科技创新数与代数全国I文4选择题太极图人文发展概率与统计全国II理3选择题算法统宗数学史数与代数江苏理科6填空题阿基米德墓碑文数学史几何与图形江苏理科17解答题蝴蝶定理数学史几何与图形江苏理科19解答题P(k)数列人文发展数与代数江苏理科21解答题柯西不等式数学史数与代数北京理科8选择题围棋问题科技创新数与代数浙江理科11选择题割圆术数学史几何与图形2018全国I理10选择题希波克拉底数学史概率与统计全国II理7选择题算法程序框图人文发展算法程序框图全国II理8选择题哥德巴赫猜想数学史概率与统计全国III文3选择题榫卯社会生活几何与图形北京文科3选择题算法程序框图社会生活算法程序框图北京理科4选择题十二平均律人文发展数与代数天津理科3选择题算法程序框图社会生活算法程序框图上海15选择题九章算术数学史几何与图形浙江11填空题张邱建算经社会生活数与代数天津文科19解答题阿基米德三角形数学史几何与图形江苏17解答题面积计算社会生活数与代数江苏21解答题柯西不等式数学史数与代数从表1可知共收集2014—2018年42道渗透数学文化真题(据不完全统计)，试题中有关数学文化的知识具有层次性、广泛性和多样性等特点，从试题背景与数学的关系上看，可分为数学史、人文发展、社会生活和科技创新4个方面；从知识点分布上看，可分为数与代数、几何与图形、概率与统计和算法程序框图4类；从题型分布上看，可分为选择题、填空题和解答题3种题型；从出题地区来看，各省份和各地区出题有所差异.2 数学文化试题研究为更好地提升学生的数学文化素养以及给一线教师在数学文化的理论学习、试题的编制、知识点的讲解、知识复习的侧重点等方面提供理论依据，对渗透数学文化的高考试题特征进行系统地研究是很有必要的.接下来将从数学文化试题题型、数学文化分类、数学文化背景分类、知识点分布、数学文化分值变化趋势、数学文化题目数量变化趋势逐一进行分析.2.1 数学文化试题题型研究从表2中我们直观地看到数学文化试题题型比例为：选择题共21道占50%，填空题共7道占16.7%，解答题共14道占33.3%.因此，可以知道在高考试题中对于题型比例的不同，其相应试题训练的侧重点也就不同，选择题所占比例大，教师在平时的训练中应该有针对性地对学生进行指导和复习，抓住数学文化知识与选择题编写的特点，将数学文化知识充分合理嵌入到选择题中.表2 数学文化试题题型比例选择题填空题解答题数量21714百分比50%16.7%33.3%2.2 数学文化分类研究从图1中可以直观发现数学文化渗透到数学试题中，数学史所占比重最大为50%，紧接着依次是人文发展21.4%、社会生活21.4%、科技创新7.2%.数学史作为数学文化研究的主战场，不少学者对其研究颇为偏爱并取得不错的成果，如：汪晓勤从HPM视角下对数学文化的系列研究等等，以数学史为背景作试题的素材让学生能在数学史发展长廊中探寻知识的源头，培养学生的求真意识.接下对全国各地涉及数学文化的42道高考试题进行分类并有针对性地作出分析.图1 数学文化分类2.3 数学文化试题背景分类2.3.1 数学史类数学史是数学文化发展的一个重要载体.数学史作为试题背景,主要包括数学家生平故事、数学史事件、数学名著、数学名题、数学发展的历史等[6].从表1中可看出，近5年的高考数学史试题中，一共涉及21道，数学名著有《算数书》、《九章算术》、《数书九章》、《算法统宗》、《张邱建算经》等在高考试题中反复出现，让我们能铭记经典的数学巨作；数学家如阿基米德，欧拉，秦九韶，伯努利，哥德巴赫，柯西等，主要是以他们的生平事迹和创造的定理、不等式、猜想等等为背景，让我们能够充分地了解数学家的生平事迹、学习数学家优秀的品质、感悟数学的美.下面分析渗透数学文化的真题，以充分体会数学史传递的数学文化精神.(2018年上海卷15题)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图2,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( ).(A)4 (B)8 (C)12 (D)16图2 正六棱柱本题的考点是空间点、直线、面的关系.目标是求出阳马的个数，单纯从题目背景信息上看，很多学生不能做到充分理解题目的含义，试题中渗透着数学史的成分，需借助《九章算术》来阐明问题，让学生能够充分理解试题的含义.因此，在平常教学中教师应该多讲述数学的发展历程、数学著作、数学思想方法等，增加学生文化底蕴.《九章算术》标志着中国传统数学理论体系的形成，全书采用问题集的形式，书中所呈现的问题都有相对应的答案解析，做到有问有答有术，其中“术”即解决问题所用到的思想方法、公式和法则.有的是一题一术，有的是多题一术，有的是一题多术.整本书涉及246个关于社会生产生活的实际问题.246个问题分别属于各种平面图形的地亩面积算法及分数运算法则的“方田”、记录粮食的兑换比率及四项比例算法的“粟米”、以商业等有关配分比例算法的“蓑分”、以开平方有关的“少广”、以立体图形的体积计算的“商功”、以较为复杂的配分比例的“均输”、以盈亏问题解法的“盈不足”、以线性方程解法的“方程”和以勾股测量问题的“勾股”九大方向的问题.该书的出现对中国传统数学的发展有着及其深远的影响.2.3.2 人文发展类“人文发展”的提出是人们对发展问题认识的深化，也是当代社会发展现实的要求，在世界范围具有广泛影响的发展思想.人文艺术是我们生活中用于刻画事物美好韵味必不可少的成分，它会让我们的生活变得多姿多彩.数学虽然较为抽象、严谨，但数学与人文的交融结合，使得数学也透露出浪漫主义色彩.把人文艺术发展与数学有机结合并将人文发展中的建筑、音乐、雕塑、语言文学、美术、舞蹈等等元素渗透到数学试题中，聆听数学知识与人文艺术交融产生的动听旋律.下面分析渗透数学文化的真题，以充分感受人文发展与数学交织的和谐美.(2018年北京理科卷4题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为().本题的考点是等比数列的应用.通过题目背景信息我们会发现该题充分体现了数学与人文艺术交融，它将数学知识与“十二平均律”完美地结合起来，让数学知识的呈现不再局限于枯燥、乏味的机械题型，使学生在接受知识的同时能勾勒出完美地旋律.朱载堉，河南人，在天文、数学、音乐等艺术学科方面有很高的成就，提出“十二平均律”并运用到乐器中，首创‘异径管说’、设立“舞学”、绘制舞谱、精准计算出了水银的比重、制作累黍定尺法，被誉为音乐史上一颗璀璨的明珠.“十二平均律”诞生给数学教育带来巨大的影响，在国内解决了‘黄钟还原’等难题；在国外常被引用，其材料被作为中国的主要文献.有其独特的一套计算方法：将一个八度各律的频率开12次方, 就得到它的频率比数是1.059 463 094, 大约是1.059 46, 这个数是十二平均律半音的频率比，用1.059 46这个公比数乘以12次即得十二律中各律频率[7].朱载堉所著“十二平均律”完美展现了我国古代在音乐领域的领先地位，对世界音乐文化的发展有着深远的影响.2.3.3 社会生活类知识的获取不仅是为了加深自身的文化底蕴，而且还应做到学以致用，知识的最大作用就是能够对日常生活提供必要的帮助.数学与生活是密切联系的，将生活中的案例与数学结合是高考试题中最常用的背景材料，其材料多数选自于《数学九章》的‘米谷粒分’问题、《张丘建算经》的‘白鸡’问题、《九章算术》的‘积米几何’问题和秦九韶算法的算法程序框图等等，将数学知识与日常生活联系在一起，使学生在接受知识的熏陶下感悟生活的美.下面将给出关于渗透数学文化的真题，以充分聆听数学与社会生活产生的动听旋律.(2018年浙江卷11题)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x、y、z，则当z=81时，x= ，y= .本题的考点是方程的运算.本题背景选自数学著作《张丘建算经》，按照题材的构成可以划分为数学史类的数学名题中，然而考虑到本题的内容是涉及‘白鸡问题’，与日常生活息息相关，在社会生活中有重要的意义，鉴于此，将其归为社会生活类.获取题目信息，学生能够清晰的理解这是关于方程的计算问题，能够容易解答.完成此题，学生能够体会‘知识来源于社会生活，也将运用到生活中去’.《张邱建算经》其作者是北魏数学家张邱建，是继《九章算术》之后的数学著作，共90个问题，涉及测量、交换、纺织、冶炼、土木工程、利息和纳税等方面；全书其题型和内容和《九章算术》相似，包含题、答、术、草.该著作最大的亮点是解决‘白鸡问题’，即数学史上著名的不定方程(有三个未知量两个方程组成的不定方程组)求解问题.2.3.4 科技创新类科技创新是创新文化的重要组成部分.科学技术知识的水平越高，其科学技术的人文和科学价值也就越高，数学知识创新是在数学原有知识经验的基础上提出新观点、新方法、新思想的一系列研究活动，数学与科技结合在一起，从新的文化视角去认识事物.明确数学与科技之间的交融共勉性.现如今我国科技呈飞速发展，信息技术、智能机器人、航空技术、交通行业等等都在快速发展，这一切都离不开数学.下面将给出关于渗透数学文化的真题，去充分享受数学与科技结合带来的便利. (2017年北京理科8题)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是( )(参考数据：log103≈0.48).A.1033B. 1053C. 1073D. 1093本题的考点是对数的运算.此题背景是将数学知识和中国传统文化‘围棋’以及科学知识联系在一起，使学生在解决问题时从数学文化的角度去欣赏和感悟传统文化，品味数学与科技结合形成的乐趣.‘围棋’是中国传统文化的精髓，在试题中融入围棋元素，使单一的数学知识变得丰富化、趣味化.2.4 数学文化试题知识点分布从图3中可以看出数学文化知识点主要分布在数与代数、几何与图形两大模块，所占比例分别为35.7%、40.5%，对于概率与统计、算法程序框图两个模块相对较少，所占比例分别为9.5%、14.3%.这是否与数学文化本身的特性相关值得我们去思考和探究，同时也对我们以后的数学文化素材选取、数学文化课程资源开发和利用、数学试题编制提供了参考标准，对其试题的训练侧重提供依据.图3 数学文化知识点分布2.5 数学文化题目数量变化趋势从图4中可以看出涉及数学文化的高考数学试题数量分别是2014年7道、2015年7道、2016年7道、2017年9道和2018年12道，随着时间的变化数量呈上升趋势，尤其是在2017年至2018年两年中跨度很大.图4 数学文化题目数量变化趋势图由此，相信在2020年的高考数学试题中渗透数学文化的试题将上升新高度.从图中透露出的信息可看出教育部和从事教育的工作者对数学文化的重视程度越来越高，同时也为一线教师在接下来的高考试题复习中敲响警钟，不要忽视数学文化作为考题背景材料的重要性.2.6 数学文化分值变化趋势从图5中，我们会发现关于2014-2018年高考试题中数学文化所占分值从2014年44分到2018年84分逐步上升，从44分的原始线上升到84分的顶线，属于趋势图中的连续形态类型.从分值变化趋势来看，数学文化渗透到数学考题中是必然趋势，同时也是将数学文化研究发展作为首要任务的一种重要形式，试卷编制者应该持之以恒继续坚持下去，将数学知识与数学试题充分融合起来，以期将数学文化渗透到数学题中，使其德育、美育、思维训练价值得到充分的体现.图5 数学文化分值变化趋势图3 教学建议立足数学教育的现状，纵观前人的脚步，面对当今社会发展潮流，为迎接未来社会生活对数学教育的挑战，我们应继承前人坚持不懈的探索精神，为促进数学教育事业的发展，找寻更适合数学教育发展的新道路而不断地探索和改革.因此，基于对数学文化试题特征的分析，提出以下几点建议供广大一线教师参考借鉴.第一，强化自身数学文化素养“打铁还需自身硬”，教师要想在课堂教学与高考复习中渗透数学文化，还需加强自身数学文化素养的修养.因此，需要教师充分了解和认识数学文化，理解其数学文化的特征，掌握数学文化教学及数学文化试题编制的基本要求；注重数学文化与社会背景、数学现实、其它学科知识之间、数学内部知识结构之间的联系；通过不断地实践探索夯实自身的数学文化基础.第二，加大数学文化渗透到课堂教学的力度张奠宙教授指出:“数学文化必须走进课堂, 在实际教学中使得学生在学习数学的过程中真正感受到文化感染, 产生文化共鸣, 体会数学的文化品味和人情味.”[8]数学文化渗透到课堂教学中是数学教育发展的必然趋势.因此，教师应该将数学文化与教学实践充分结合，使数学文化贯穿课堂始终；注重数学文化素材的选取、善于对数学文化知识进行拓展训练；善于创造机会、引领学生去欣赏数学美.第三，数学文化试题编制合理化高考是选拔性考试，属于必然事件，在高考试题中渗透数学文化也是必然事件，两者相辅相成，教师在高考数学试题的编制中应该以数学文化为导向，提升学生的数学核心素养.因此，教师在试题编制时既要借鉴课本教材资源，又要发掘新的文化资源；既要考虑试题编制的多样化，又要兼顾数学文化试题的严谨性和自然性；既要把握试题的难度系数，也要注重数学文化知识的全面性.参考文献：【相关文献】[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社,2003.[2] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(2011版)[M].北京:北京师范大学出版社,2011.[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版) [M].北京：人民教育出版社,2018.[4] 傅赢芳,张维忠.对数学课程中有关数学文化的思考[J].数学教育学报, 2005, 14(3)：24 - 26.[5] 强萍萍.渗透数学文化的高考解题教学研究[D].西安：陕西师范大学,2018.[6] 陈昂,任子朝.突出理性思维弘扬数学文化[J].中国考试, 2015 (3) :10 - 14.[7] 周莎.朱载堉十二平均律研究[J].艺术评鉴,2016,3.[8] 张奠宙,梁绍君,金家梁.数学文化的一些新视角[J].数学教育学报,2003,12(1):37 - 40.。

知识为基能力为重素养导向价值引领作者：董荣森汪俊来源：《中学数学杂志(高中版)》2021年第03期【摘要】以2021年江苏、河北等八省联考数学试题为例，围绕“四翼”即“基础性、综合性、应用性、创新性”等四个方面，阐述新高考数学命题的理念“知识为基、能力为重、素养导向、价值引领”在这份试卷中的落实与体现，最后对本届高三数学后阶段复习备考提出建议，同时对2021年全国新高考数学命题进行展望.【关键词】八省联考;新高考;命题理念;四翼1 问题提出2021年1月23日是值得纪念的日子，由国家教育部命题考试中心统一命题，江苏、河北、辽宁、福建、湖北、湖南、广东和重庆等八省市高三学生参加的“八省联考”拉开序幕（下文称“2021年八省联考”），考生总人数达331万约占全国高考总人数的三分之一，这也是中国历史上第一次大规模的联考，绝对可以载入史册.从考生反映的情况来看，很多学生感觉明显不适应，暴露出教师在引领学生复习备考的过程中出现的一些问题，如：从教师理念上来说，部分高三教师对新高考命题理念认识还不够到位，很多学校依据2020年新高考卷为模板固化试卷的结构形式与题型，对学生进行“机械训练”;从试卷风格上来看，整张试卷与2020年新高考山东卷相比字数大大减少，风格迥异、内容上也有很多出人意料，比如：多选题分数结构调整，部分选对只得2分，无疑给那些想要3分保底的考生增加了难度;填空题出现答案不定的开放题;从试卷内容上来看，解析几何一直围绕椭圆、抛物线转，这次来考考双曲线;立体几何是妥妥地考一次新定义题等等，给学生措手不及，这也再次表明高考命题遵循“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”理念.记得2016年11月24日教育部考试中心姜刚主任在《中国教育报》上发文对我国高考评价改革进行了顶层设计，首次提出“一体四层四翼”的评价体系.如图1，“一体”即立德树人;“四层”即必备知识、核心价值、学科素养、关键能力;“四翼”即基础性、综合性、应用性、创新性.很好地回答了高考为什么考？考什么？怎么考？通过几年高考改革的探索与实践，逐渐形成了以“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合评价原则，构建了以“考查内容、考查要求、考查载体”三位一体评价模式.本文想以2021年八省联考数学试题为例，就“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”在新高考适应性考试数学试题中如何体现与落实，望对2021年加入新高考省份的高三教师如何备考提供一些参考与建议，以飨读者.2 高考命题理念在2021年八省联考数学试题中的体现2.1 以知识为基，着重考查学生的基础知识和基本方法，体现“基础性”对于数学学科来说，“四基”是“基础性”的主要体现，是学生掌握必备知识、发展关键能力、理解数学本质的基础和依托;只有系统地学习数学的概念、性质、原理，灵活运用数学术语进行表征，才能理解和掌握数学思想和方法，进而形成数学核心素养，脱离“四基”去发展学生的关键能力和核心素养，是无稽之谈[1].因此，高考数学对“基础性”的考查理所当然也是必然，通过考查核心概念、基本原理和基本方法，增强考试内容的基础性，全面系统考查基础知识，使学生形成牢固的基础知识，掌握解决问题的工具.2021年八省联考数学试卷中部分试题，着重对数学基本概念、定理、思想方法等“基础性”进行考查，体现解题方法的多样性，如第1，2，5，6，13题等都是考查考生基础知识，只要概念清楚、基础牢固，都能很容易快速解决.2.2 以能力为重，着重考查学生的应用知识解决问题能力，体现“应用性”2.3 以素养导向，着重考查学生的逻辑推理和数学运算等素养，体现“综合性”综合性是考查各分支内容和学科之间的联系，增强考试内容的综合性，促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构，主要体现让学生能够在综合的情境中，多角度观察、思考、发现其蕴含的数学关系，能够综合運用学科中不同知识、数学思维进行分析、探索解决问题的思路.2021年八省联考数学试题中对“综合性”的考查，体现在学生对掌握学科知识体系的完整性，关注不同知识内容之间、不同学科知识之间的联系，目的引导学生整合所学知识并培养学生的实践思维.试题注重选择生活中的真实案例，结合学生的实际认知水平进行设置合理的问题情境.如2021年八省联考数学试卷中第3，7题.解析本题以一元二次方程根的情况作为载体，考查学生的逻辑推理素养.本题的切入点为“相互矛盾或联系点”.注意到甲乙正确，则丙丁错误，故甲乙必有一个错误.如果甲丁正确，则乙丁错误，所以甲错，故选A.评注本题主要考查抛物线、圆、直线等有关知识，重点考查学生的数学运算素养.方法1采用的是暴力求解，思路条理清晰，但运算比较繁琐，所谓的“理想很丰满，现实很骨感”;方法2运用的是设而不求，利用同构式思想解题，运算简洁，但对学生思维层次要求高.当然除了上述两种方法外，还有很多解法这里不再赘述.2.4 以价值引领，着重考查数学的科学价值和应用价值，体现“创新性”通过设计新情境给出新定义，提出有一定跨度的问题引导学生进行自主探索，考查学生运用数学及相关学科的核心概念分析和解决问题的能力，主要体现在学生要具有独立思考能力，具备批判性和创新性思维方式.包括形式创新、方法创新、思维创新;创设新颖情境，考查学生阅读理解能力;强化推理论证，考查理性思维能力.“创新性”在高考题中通过创设与社会实际密切相关的现实问题情境，引领现实意义与价值，要求学生多角度、开放式地思考问题.比如2021年八省联考数学卷第15，20题等.例4 （2021年八省联考数学第20题）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-π3×3=π，故其总曲率为4π.（1）求四棱锥的总曲率;（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数.评注本题以能力立意，主要考查学生的阅读理解能力、逻辑推理能力以及运用数学知识解决问题的能力，体现了数学的应用价值.试题以北京大兴国际机场为背景，给出“曲率”的概念，要求学生理解这个概念，并在具体的问题情境中求出曲率.题目设置从三棱锥到四棱锥，总曲率都是4π，猜想一般情况也是4π，这是从特殊到一般的归纳推理.类比四棱锥的解题过程，总曲率=2π×n-各面的内角和，破解本题的关键在于找到“棱数，面数”之间的关系，通过观察会发现每条棱被两个平面共用.本题题根来源人教版教材选修2-2第 83 页凸多面体的性质：顶点数-棱数+面数=2.3 对高三后阶段复习备考的思考及2021年新高考的展望基于核心素养大背景下的新高考在山东、海南等省份已经开始改革试点，2021年又将有包括江苏在内的八个省实行高考综合改革，必将对高中数学教学带来巨大的影响.2021年八省联考明确了风向标，高三数学教学如何应对考试内容的变化和数学学科核心素养的培养，是每一个高中数学教师面对的问题，特别是高三数学教师.3.1 关注对题型结构的优化与完善，深入开展“大单元、大概念”教学2020年新高考与之前的新课程卷相比，选择题部分由原来的12道单选题变成了8道单选题与4道多选题.这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题就会丢掉5分.在2021年八省联考数学卷中，多选题分数结构调整，部分选对只得2分，无疑给那些想要3分保底的考生增加了难度;在填空题方面，出现一题两空和具有开放性、探究性色彩的试题，更加体现试题的区分度.在高三后阶段备考中，传统的高三二轮复习以及“微专题”教学就显得单薄，适时穿插“大单元、大概念”教学让高三复习课更加综合厚重，同时重视知识板块化的梳理、构建知识网络，让考生更加系统全面地掌握知识.3.2 关注对基本概念的理解与领悟，让教学回归数学问题本质2021年八省联考数学试题在体现秉承素养导向、能力为重的原则下，突出考查学生的理性思维和探究能力，彰显了综合运用数学思想方法发展“四能”的意识.通过一定量的试题创新设计，比如第13题考查圆台体积，第14题是平面几何与解析几何的结合，第15题是一个开放性试题，第16题是一道跨学科融合的试题，这些题目的设置丰富了试卷的内容和形式、优化了试卷的结构.其中第15题更是加强对基本概念的理解和领悟，让数学考试逐步回归本质.在高中后阶段教学中，我们不能一味地追求教学的进度，高中数学的重点不仅仅是高三复习，更应该重视高一、高二新知识的构建过程，回归课本、回归到数学知识的本质，师生之间多一些探究和对话，弱化公式训练，重视知识的推导生成过程，在教学过程中提升能力，塑造品质.3.3 关注发展学生素养与能力，让教学“慢下来”思维“深起来”2021年八省联考数学解答题打破了固有的“定势思维”，特别是该卷第20题，此题以大兴机场的建设成就、大学微分几何中的曲率为背景，结合立体几何的相关知识命制试题，旨在考查学生获取新知识，探究新问题的能力;试题反映了大融合的理念，新课改的精神，对培养学生的创新应用意识起到积极引导作用.第21题解析几何题，习惯中的“双曲线不考大题，只考小题”的经验主义被成功打破，通过代数方法求解双曲线的离心率，以及通过代数语言证明和揭示角度关系式，均是解析几何的重点方法，考生打破“定势思维”，冷静探究，并没有想象中的难，通过短期“刷题”来提高成绩的日子一去不复返了.在教学中，我们需要把教学的脚步“慢”下来，思维的深度提上去，让学生多去“悟”，提高从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.这样我们面对新题型，新问题就会多一些勇气，多一些理解和处理的方法.3.4 关注领会教育部考试命题理念，科学整合引领新高考一份试卷很难做到面面俱到、完美无缺.比如2020年新高考Ⅰ卷1943 个字，而2021年八省联考数学卷仅有1215个字，没有很好地做到对学生阅读能力的考查;在数学建模、数学文化、数学应用方面题目设置也有缺憾;对立体几何中点线面的关系、空间想象能力的考查还有待商榷.在后阶段复习教学中，我们要根据2021年八省联考数学卷的亮点和创新点及时做出调整，遵循高考命题理念，科学整合、精心备考，力争在2021年新高考中让学生放飞梦想、取得令人满意的成绩.参考文献[1]董荣森，柳建锋.注重四基础与四翼凸显能力与素养[J].数学通讯，2020（8）（下半月）：39.[2]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.作者简介董荣森（1969—），男，安徽芜湖人，教育硕士，中学正高级教师，江苏省特级教师，江苏省教学名师，江苏省“333高层次人才”培养对象，主要从事数学教育与中学数学研究.。

高中化学学习材料唐玲出品1.以下有关原子结构及元素周期律的叙述正确的是A．第IA族元素铯的的两种同位素137Cs比133Cs多4个质子B．同周期元素（除0族元素外）从左到右，原子半径逐渐减小C．第VIIA族元素从上到下，其氢化物的稳定性逐渐增强D．同主族元素从上到下，单质的熔点逐渐降低2.短周期元素W、X、Y和Z的原子序数依次增大。

元素W是制备一种高效电池的重要材料，X原子的最外层电子数是内层电子数的2倍，元素Y是地壳中含量最丰富的金属元素，Z 原子的最外层电子数是其电子层数的2倍。

下列说法错误的是A．元素W、X的氯化物中，各原子均满足8电子的稳定结构B．元素X与氢形成的原子比为1：1的化合物有很多种C．元素Y的单质与氢氧化钠溶液或盐酸反应均有氢气生成D．元素Z可与元素X形成共价化合物XZ23.下列说法不正确．．．的是A．化学反应有新物质生成，并遵循质量守恒定律和能量守恒定律B．原子吸收光谱仪可用于测定物质中的金属元素，红外光谱仪可用于测定化合物的官能团C．分子间作用力比化学键弱得多，但它对物质的熔点、沸点有较大的影响，而对溶解度无影响D．酶催化反应具有高效、专一、条件温和等特点，化学模拟生物酶对绿色化学、环境保护及节能减排具有重要意义4.X、Y、Z、M、W为五种短周期元素。

X、Y、Z是原子序数依次递增的同周期元素，且最外层电子数之和为15；X 与Z可形成X Z2分子；Y与M形成的气态化合物在标准状况下的密度为0．76· L -1 ,W的质子数是X、Y 、Z 、M四种元素质子数之和的12。

下列说法正确的是A．原子半径：W>Z> Y> X> MB．XZ2 X2M2W2Z2均为直线型的共价化合物C．由X元素形成的单质不一定是原子晶体D．由X、Y、Z、M四种元素形成的化合物一定既有离子键，又有共价键5.下列叙述正确的是A．Fe分别与氯气和稀盐酸反应所得氯化物相同B．K、Zn分别与不足量的稀盐酸反应所得溶液均呈中性C．Li、Na、K的原子半径和密度随原子序数的增加而增加D．C、P、S、Cl的高价氧化物对应水化物的酸性逐渐增强6.(15分)甲、乙、丙、丁、戊为原子序数依次增大的短周期元素。