数学(浙教版)八年级下册 第2章 2.4 一元二次方程根与系数的关系(原卷版)

一、韦达定理：一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系(能用这个结论的前提条件为△≥0)

如果1x，2x是一元二次方程02cbxax的两个根，那么21xx_abxx21________；21xxacxx•21_________。

证明：设一元二次方程02cbxax)04(2acb的两个根为1x，2x，则

1x__________________，2x_____________________221244,22bbacbbacxxaaQ

21xx224422bbacbbacaa 22442bbacbbaca22ba ba

21xxaacbbaacbbxx24242221 22244aacbb244aac ac

二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：

1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；

2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；

3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；

4．不解方程判断两个根的符号.

三、应用

1.一元二次方程根与系数的关系

2.利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值

3.利用根与系数的关系求未知系数的值

一元二次方程根与系数的关系

一．选择题

1.关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )

A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k≠0 D．k≥－1

2.[2018·宁夏]若2－3是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是( )

A．1 B.3－3 C．1＋3 D．2＋3

3. [2018·湘西]若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为( )

A．1 B.－3 C．3 D．4

4.[2018·贵港]已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )

A．3 B.1 C．－1 D．－3

5.[2018·罗平一模]若方程x2－3x－4＝0的两根分别为x1和x2，则1x1＋1x2的值是( )

A．1 B.2 C．－34 D．－43

6. 若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可以是( )

A．x2＋3x－2＝0 B.x2－3x＋2＝0

C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝0

7. 已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn的值为( )

A．9 B.±3 C．3 D．5

8. 若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )

A．－13 B.12 C．14 D．15

9. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则据求根公式可得两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该结论求值：已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则1x1＋1x2的值为( )

A．2 B.－2 C．6 D．－6

10.(2018•泰州)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是( )

A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0

11.(2018•宜宾)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1•x2为( )

A．﹣2 B．1 C．2 D． 0

12. (2018•眉山)若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则的值是( )

A．274 B．274 C．2758 D．2758

二．填空题

1.(2018•四川达州)已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则nnmn1的值为 ．

2.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1，x2，若x21＋x22＝11，则实数k的值为____．

3.设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝____，m＝____．

4.[2018·烟台]已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根x1，x2满足3x1x2－x1－x2＞2，则m的取值范围是____．

5.[2018·锦江区模拟]已知m，n是方程x2－2x－7＝0的两个根，那么m2＋mn＋2n＝____．

6.[2018·惠山区一模]已知一元二次方程x2－3x－6＝0有两个实数根x1，x2，直线l经过点A(x1＋x2，0)，B(0，x1x2)，则直线l不经过第____象限．

7.[2018·威海]关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是___．

8.[2018·青羊区模拟]已知关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两根x1，x2满足x21＋x22＝14，则m＝____．

9.[2018·眉山]若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则βα＋αβ的值是____．

10．关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个实数根x1，x2，且|x1|－|x2|＝5，则k＝____．

三．解答题

1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：

(1)x2－3x＋5＝0； (2)3x2＋2x－4＝0； (3)2x－1＝－6x2.

2.已知x1，x2是方程2x2－5x＋1＝0的两实数根，求下列各式的值：

(1)x1x22＋x21x2； (2)x2x1＋x1x2； (3)(x1－x2)2.

3.[2018·杭州期末]已知x1，x2是方程x2－6x＋k＋4＝0(k为实数)的两个实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2满足3x1－2＝|x2|，求k的值．

4.[2019春·越城区期末]已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k值．

5.[2019春·杭州期中]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋3)x＋3m＝0.

(1)求证：方程总有实数根；

(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且x21＋x22＝25，求m的值．

6.[2019春·西湖区校级期中]阅读材料：

已知方程a2－2a－1＝0，1－2b－b2＝0且ab≠1，求ab＋1b的值．

解：由a2－2a－1＝0及1－2b－b2＝0，可知a≠0，b≠0，

又△ab≠1，△a≠1b.

1－2b－b2＝0可变形为1b2－21b－1＝0，

根据a2－2a－1＝0和1b2－21b－1＝0的特征，得a，1b是方程x2－2x－1＝0的两个不相等的实数根，则a＋1b＝2，即ab＋1b＝2.

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．

已知：3m2－7m－2＝0，2n2＋7n－3＝0且mn≠1，求nmn＋m＋1的值．

7．[2018·孝感]已知关于x的一元二次方程(x－3)·(x－2)＝p(p＋1)．

(1)试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；

(2)若原方程的两根x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．

8.[2019春·余姚校级月考]已知关于x的一元二次方程x2－45x＋12＋m＝0.

(1)若方程的一个根是5，求m的值及方程的另一根；

(2)若方程的两根恰为等腰三角形的两腰，而这个三角形的底边长为m，求m的值及这个等腰三角形的周长．

9.[2019·杭州高桥中学期末]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋2)x＋m2＝0的两个实数根．

(1)当m＝0时，求方程的根；

(2)若(x1－2)(x2－2)＝41，求m的值；

(3)已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

10.[2019·杭州校级期中]如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：

(1)若p＝－4，q＝3，求方程x2＋px＋q＝0的两根；

(2)已知实数a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求ab＋ba的值；

(3)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．