左JGP-V′-环的若干性质

群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。

一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。

2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。

3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。

元素b称为元素a的逆元。

群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。

2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。

类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。

3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。

二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。

2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。

3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。

4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。

元素-b称为元素a的加法逆元。

5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。

第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。

在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。

如：（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。

即a G ∀∈，有00a a a +=+=。

（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。

即有()0a a a a -+=+-=。

利用负元可定义加群的减法运算：()a b a b-+-。

（3）()a a--=。

（4）a c b c b a+=⇔=-。

（5）(),()a b a b a b a b-+=----=-+（6）(00()()a a a n a nna nn a n+++⎧⎪==⎨⎪--⎩个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。

加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S⇔∀∈，有,a b a S+-∈,a b S⇔∀∈，有a b S-∈。

加群G的子群H的陪集表示为：a H H a+=+。

二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。

关于ZP-凝聚环徐龙玉;胡葵;万吉湘;王芳贵【摘要】In this paper,the notion of the ZP-coherent ring is defined.An example is given to reveal that left ZP-coherent rings are not necessarily right ZP-coherent rings.The cover of ZP-injective modules and the envelope of ZP-flat modules are used to characterize ZP-coherent rings.It is proved that the ring R is left ZP-coherent if and only if any direct product of ZP-flat right R-modules is ZP-flat if and only if any right R-module has a ZP-flat preenvelope.In light of these facts,it is shown that every left R-module over a left ZP-coherent ring has a ZP-injective cover.If R is a left ZP-coherent ring,then RR is ZP-injective if and only if every left R-module has an epimorphic ZP-injective cover if and only if every right R-module has a monomorphic ZP-flat preenvelope.%给出ZP-凝聚环的概念,举例说明左ZP-凝聚环不一定是右ZP-凝聚环,并利用ZP-内射盖及ZP-平坦预包对ZP-凝聚环进行一系列的等价刻画,如R是左ZP-凝聚环,当且仅当 ZP-平坦右R-模的直积是ZP-平坦右R-模,当且仅当任意右R-模有一个ZP-平坦预包.证明左 ZP-凝聚环上的任意左R-模存在 ZP-内射盖,并揭示若R是左ZP-凝聚环,则RR是ZP-内射模,当且仅当任意左R-模有一个满的ZP-内射盖,当且仅当任意右R-模有一个单的ZP-平坦预包.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)001【总页数】5页(P68-72)【关键词】ZP-凝聚环;ZP-内射模;ZP-平坦模;ZP-内射盖;ZP-平坦预包【作者】徐龙玉;胡葵;万吉湘;王芳贵【作者单位】西南科技大学理学院,四川绵阳 621010;西南科技大学理学院,四川绵阳 621010;绵阳师范学院数学与计算机科学学院,四川绵阳 621000;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O153.3;O1543. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066)本文所有的环都是带有单位元1的结合环,所有的模都是酉模.令M为左R-模以及X为M的一个子集.对任意x∈X,记lR(X)={r∈R:rx=0}为X在R中的左零化子.若Y是R的一个子集,Y在M中的右零化子用rM(Y)表示.特别地,对于a∈R,r(a)与l(a)分别表示a的右零化子和左零化子.对于任意m∈M,若l(m)是RR的本质理想,则称m是奇异元.M中所有奇异元的集合用Z(RM)表示[1].特别地,R的左(右)奇异理想用Z(RR)(Z(RR))表示,为R的双边理想.称环R为右非奇异环,若Z(RR)=0.反之,称环R为右奇异环,若Z(RR)=R[2].R-模M的特征模M+定义为M+=HomZ(M,Q/Z).左R-模M的对偶模M*=HomR(M,R)是右R-模.左R-模M是有限表现的,若存在一个正合列0→K→F→M→0,其中F是有限生成自由模且K是有限生成模.左R-模M是凝聚模[2],若M的每个有限生成子模是有限表现的.R是左凝聚环，若RR是一个凝聚模.凝聚环的性质以及推广得到了广泛的关注[3-13].本文将凝聚环中的有限生成理想限定到环的奇异理想中的主理想,提出了ZP-凝聚环的概念,并利用包和盖对该环进行系列的等价刻画.首先介绍包与盖的定义.定义 1[14] 令C为R-模类.对于R-模M,C∈C,模同态f:C→M称为M的C-盖[14],若以下条件成立:1) 对任意同态h:C′→M,其中C′∈C,存在一个同态g:C′→C,使得h=fg;2) 若g是C的自同态,其中f=fg,则g一定是自同构.若1)成立,但2)不一定成立,f:C→M称为C-预盖.对偶地,有C-(预)包的定义.一般情况下,C-盖和C-包不一定成立,但若成立,在同构的意义下是惟一的.定义 2.1 称环R为左ZP-凝聚环,若对于任意a∈Z(RR),Ra是有限表现左R-模.相应地,可定义右ZP-凝聚环,称环R是ZP-凝聚环,若R既是左ZP-凝聚环也是右ZP-凝聚环.命题 2.2 对于环R,以下条件等价:1) R是左ZP-凝聚环;2) 对任意a∈Z(RR),l(a)是有限生成左R-模;3) 对任意a∈Z(RR),(R/aR)*是有限生成左R-模.证明 1)⟺2) 对任意a∈Z(RR),存在一个正合列0→l(a)→R→Ra→0;因此Ra有限表现当且仅当l(a)是有限生成左R-模.2)⟺3) 由文献[15]知(R/aR)*≅l(a).凝聚环显然是ZP-凝聚环,然而ZP-凝聚环不一定是凝聚环.例 2.3 1) 右非奇异环是右ZP-凝聚环;2) 显然,整环是ZP-凝聚环,但整环不一定是凝聚环;3) 令R为非凝聚交换整环且G是一个自由交换群,其中rank G=∞.群环RG不是凝聚环,但是RG是一个半本原整环,因此是ZP-凝聚环.例2.4说明了左ZP-凝聚环不一定是右ZP-凝聚环.例 2.4 令域K的子域L使得dimLK=∞,且存在一个域同构f:K→L(例如,L=Q(x2,x3,…,xn),K=Q(x1,x2,x3,…,xn)).令R=K×K且乘法为由以上法则知R有3个右理想,(0),R,及(0,K)=(0,1)R,易验证(0,K)也是一个左理想.Z(RR)以及Z(RR)是环R的双边理想,由其性质知Z(RR)=Z(RR)=(0,K).现令a=(0,1),则r(a)=(0,K),故(0,K)是一个有限表现右R-模;因此R是一个右ZP-凝聚环.另一方面,a∈Z(RR)且l(a)=(0,K),而(0,K)不是有限生成左R-模[3];因此由命题2.2知R不是左ZP-凝聚环.为了在刻画ZP-凝聚环时便于描述,此处介绍ZP-平坦模与ZP-内射模的定义.定义 2.5 对于任意a∈Z(RR),RM称为ZP-内射左R-模,若称NR为ZP-平坦右R-模,若.注 2.6 显然,P-内射左R-模是ZP-内射的;P-平坦右R-模是ZP-平坦的,但反之不一定成立.如令R是整环但不是域,则Z(RR)=Z(RR)=0且RR不是可除的.由文献[2]知,RM是P-内射模当且仅当RM是可除模;因此RR是ZP-内射模但不是P-内射模.现取非零非单位元a∈R,则R/aR是ZP-平坦模但不是P-平坦模.命题 2.7 ZP-平坦右R-模的纯子模是ZP-平坦右R-模.证明令N1是ZP-平坦右R-模N的纯子模,则存在分裂的正合列.对任意a∈Z(RR),由≅知N+是ZP-内射左R-模.由正合列分裂可知N+≅⊕(N/N1)+.对任意a∈Z(RR),故(N1)+是ZP-内射左R-模.同理可知N1是ZP-平坦右R-模.定理 2.8 对于环R,以下条件等价:1) R是左ZP-凝聚环;2) ZP-平坦右R-模的直积是ZP-平坦模;3) RR的任意直积是ZP-平坦模;4) (ZP-)内射左R-模的正向极限是ZP-内射模;5) 左R-模M是ZP-内射模当且仅当M+是ZP-平坦模;6) 左R-模M是ZP-内射模当且仅当M++是ZP-内射模;7) 右R-模N是ZP-平坦模当且仅当N++是ZP-平坦模;8) 任意右R-模有一个ZP-平坦预包;9) 对任意a∈Z(RR),l(a)是有限生成左理想;10) 对任意a∈Z(RR)及右R-模集≅).证明 1)⟺2) 令(Ni)i∈I是ZP-平坦右R-模集.由R是左ZP-凝聚环知,对任意a∈Z(RR),Ra是有限表现左R-模,故存在如图1的行为正合列的交换.故由文献[2]及图1知α及β同构,则f是单同态.2)⟺3) 显然.3)⟺1) 由3)知,对任意,故存在如图2的行为正合列的交换.既然R/Ra是有限表现左R-模,由文献[2]及图2知g和h同构,故由五引理知f同构,且由文献[2]知Ra是有限表现左R-模,故R是左ZP-凝聚环.1)⟺5) 令M是左R-模.对任意a∈Z(RR),Ra有限表现,由文献[5]知≅,故M是ZP-内射模当且仅当M+是ZP-平坦模.5)⟺2) 令(Ni)i∈I是一族ZP-平坦右R-模.由命题2.7的证明过程知是ZP-内射左R-模.由文献[16]知,≅(⊕,故由5)知是ZP-平坦模.由文献[17]知∏Ni是的纯子模,由命题2.7知∏Ni是ZP-平坦模.1)⟺4) 令(Mj)j∈Γ是ZP-内射左R-模的正向系统(Γ是正向集),对任意a∈Z(RR),Ra 是有限表现左R-模,由文献[5]知,≅,因此是ZP-内射模.4)⟺1) 令(Mi)i∈Γ是内射左R-模的正向系统(Γ是正向集).由4)知 Mi是ZP-内射模,故,因此对任意a∈Z(RR),存在如图3的行为正合列的交换.由文献[7]及图3知f和g同构,故由五引理知h同构.由文献[7]知Ra是有限表现左R-模,故R是左ZP-凝聚环.2)⟺8) 令N为右R-模,对于任意同态f:N→D,其中D是ZP-平坦右R-模.由文献[14]知,由Card(N)及Card(R)可确定基数Nα,且存在模D的一个纯子模C,使得Card(C)≤Nα及f(N)⊆C,故由命题2.7知f有分解:N→C→D,其中C是ZP-平坦右R-模.现令{gi|i∈I}为同态gi:N→Ci,其中Card(Ci)≤Nα,且Ci是ZP-平坦右R-模,故对任意同态N→W,W是ZP-平坦右R-模,存在某一j∈I使得存在分解N→Cj→W.由2)知,是ZP-平坦右R-模;因此由所有gi导出的同态是一个ZP-平坦预包.8)⟺2) 可直接由文献[18]得.1)⟺9) 由命题2.2可得.5)⟺6) 对于任意左R-模M及任意a∈Z(RR),由≅知结论成立.5)⟺7) 对于任意右R-模N及任意a∈Z(RR),由≅可证结论成立.7)⟺2) 由(Ni)i∈I一簇ZP-平坦右R-模.对任意a∈Z(RR),由(⊕Ni,R/Ra)≅⊕知⊕Ni 是ZP-平坦模,故由7)知(⊕Ni)++≅是ZP-平坦模.由文献[17]知⊕是的纯子模,(⊕分裂,因此≅(⊕是ZP-平坦模.由文献[17]知∏Ni是的纯子模,由命题2.7知∏Ni是ZP-平坦模.1)⟺10) 由文献[5]可知.10)⟺3) 显然.推论 2.9 若R为左ZP-凝聚环,则任意左R-模存在ZP-内射盖.证明令0→A→B→C→0左R-模的纯正合列,其中B是ZP-内射模,则0→C+→B+→A+→0分裂.由定理2.8知,B+是ZP-平坦模,则C+是ZP-平坦模,C 是ZP-内射模;因此ZP-内射左R-模类在纯商模下是封闭的,故由文献[19]知任意左R-模有ZP-内射盖.推论 2.10 令R为左ZP-凝聚环.以下条件等价:1) 任意ZP-平坦右R-模是平坦模;2) 任意ZP-内射左R-模是FP-内射模;3) 任意ZP-内射且为纯内射左R-模是内射模.此种情况下,R是左凝聚环.证明 1)⟺2) 令M为任意ZP-内射左R-模.由定理2.8知,M+是ZP-平坦模,故由1)知M+是平坦模;因此M++是FP-内射模.既然M是M++的纯子模,则M是FP-内射模.2)⟺3) 显然.3)⟺1) 令N为任意ZP-平坦右R-模.对任意a∈Z(RR),由≅知纯内射左R-模N+是ZP-内射模,故由3)可知N+是内射模,因此N是平坦模.此种情况下,由定理2.8知,FP-内射左R-模的任意正向极限是FP-内射模,故由文献[6]知R是左凝聚环.现在考虑什么条件下任意左R-模有一个满ZP-内射盖以及任意右R-模有一个ZP-平坦预包.命题 2.11 令R为左ZP-凝聚环,以下条件等价:1) RR是ZP-内射模;2) 任意左R-模有一个满的ZP-内射盖;3) 任意右R-模有一个单的ZP-平坦预包;4) 任意内射右R-模是ZP-平坦模;5) 任意平坦左R-模是ZP-内射模.证明 1)⟺2) 令M为任意左R-模.由推论2.9知,M有一个ZP-内射盖f:C→M.另一方面,存在一个满同态g:R(I)→M.由于RR是左ZP-内射模,故由命题2.7的证明过程知,R(I)是左ZP-内射左R-模;因此存在同态h:R(I)→C使得g=fh.既然g是满同态,故f满同态.2)⟺1) 令f:RM→RR是满的ZP-内射盖,则RR同构于M的一个直和加项,故由命题2.7的证明过程知,RR是ZP-内射左R-模.1)⟺3) 令N为右R-模.由定理2.8知,N存在ZP-平坦预包f:N→F.由于(RR)+是右R-模范畴的余生成子,故存在正合列因此由定理2.8知,∏(RR)+是ZP-平坦模,存在同态h:F→∏(RR)+使得hf=g.既然g是单同态,则f也是单同态.3)⟺4) 令E是内射右R-模,则由3)知E能嵌入ZP-平坦右R-模.由定理2.8中7)⟺2)的证明可知,ZP-平坦右R-模的直和加项也是ZP-平坦右R-模,故E是ZP-平坦右R-模.4)⟺5) 令M为任意平坦左R-模,则M+是内射模,由4)知M+是ZP-平坦R-模,因此由定理2.8知M是ZP-内射左R-模.5)⟺1) 显然.以下定理给出了交换ZP-凝聚环的等价刻画.定理 2.12 对于交换环R,以下条件等价:1) R是ZP-凝聚环;2) 对任意ZP-内射R-模M及内射R-模N,同态模HomR(M,N)是ZP-平坦模;3) 对任意内射R-模N,同态模HomR(R+,N)是ZP-平坦模.证明 1)⟺2) 对任意ZP-内射R-模M及内射R-模N,既然Q/Z是内射余生成子,则存在正合列0→N→∏(Q/Z).因为N是内射模,则存在某一R-模C,使得∏(Q/Z)≅N⊕C,HomR(M,∏(Q/Z))≅HomR(M,N⊕C)≅HomR(M,N)⊕Ho mR(M,C).另一方面,HomR(M,∏(Q/Z))≅∏HomR(M,Q/Z)=∏M+,则HomR(M,N)是∏M+的直和加项.既然M是ZP-内射R-模,由定理2.8知∏M+是ZP-平坦模.由定理2.8中7)⟺2)的证明中可知ZP-平坦模的直和加项也是ZP-平坦模,HomR(M,N)是ZP-平坦模.2)⟺3) 由R+是(ZP)-内射模.3)⟺1) 注意到∏R++≅∏HomR(R+⊗R,Q/Z)≅∏HomR(R+,R+)≅HomR(R+,∏R+).既然R是R++的纯子模,则由文献[17]知∏R是∏R++纯子模.由3)知∏R++是ZP-平坦模.由命题2.7知∏R是ZP-平坦模,因此由定理2.8 知R是ZP-凝聚环.【相关文献】[1] FUELBERTH J D, TEPLY M L. 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环论基础知识环论，又称抽象代数中的群论，是现代数学的一个分支，研究的是集合和运算之间的关系。

环论基础知识包括环的定义、运算法则、子环、理想、同态映射以及模和域等概念。

本文将为读者介绍环论的基础知识，并以清晰简洁的方式解释相关概念。

1. 环的定义及运算法则在环论中，环是一个非空集合R，配备了两种运算：加法和乘法。

加法运算使得R成为一个交换群，乘法运算则需要满足封闭性、结合律和分配律等运算法则。

具体而言，对于环R中的任意元素a、b、c，需满足以下条件：（1）加法运算：a +b = b + a （交换律）(a + b) + c = a + (b + c) （结合律）存在一个元素0，使得a + 0 = 0 + a = a （零元素）对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0 （负元素）（2）乘法运算：a ·b = b · a （交换律）(a · b) · c = a · (b · c) （结合律）a · (b + c) = a · b + a ·c （左分配律）(a + b) · c = a · c + b · c （右分配律）2. 子环与理想在环论中，子环和理想是两个重要的概念。

（1）子环：若集合S是环R的非空子集，并且对于R中的加法、乘法和相反元素运算封闭，那么S就是R的一个子环。

此外，子环S还需满足加法单位元和乘法单位元的要求。

（2）理想：若集合A是环R的非空子集，并且对于R中的加法和乘法运算封闭，在加法和乘法运算下形成一个环，那么A就是R的一个理想。

理想可以分为左理想、右理想和双边理想，具体取决于乘法运算的位置。

3. 同态映射与同构环论中，同态映射和同构是两个重要的概念，它们描述了环之间的关系和对应。

（1）同态映射：设R和S是两个环，映射φ：R → S是一个函数，如果同态映射保持加法、乘法和乘法单位元的关系，即对于R中的每对元素a、b，有：φ(a + b) = φ(a) + φ(b)φ(a · b) = φ(a) · φ(b)φ(1) = 1（乘法单位元）（2）同构：若环R和S之间存在一个双射φ：R → S，并且φ是同态映射，那么我们称R与S是同构的。