2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12(D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，x +20y -=37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====g(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=1a +由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).AB C DA 1B 1C 1D 1O【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B CD 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）3 （B ）3 （C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯=o g ,21122ACD S AD CD a ∆==g . 所以1313ACD ACD S DD DO a S ∆∆===g ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+u u u v u u u v此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x--•==+-≥u u u v u u u v 【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C)()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-u u u v u u u v12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年陕西省高考数学全真预测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 定义A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}，若M ={x ∈N|y =lg(6x −x 2)}，N ={2, 3, 6}，是N −M 等于（ ）A {1, 2, 3, 4, 5}B {2, 3}C {1, 4, 5}D {6}2. 设复数z 满足关系：z +|z ¯|＝2+i ，那么z 等于（ ）A −34+iB 34+iC −34−iD 34−i3. 给出如下三个命题：①若“p 且q”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x <2且y <3，则x +y <5”； ③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad =bc ；④在△ABC 中，“∠A >45∘”是“sinA >√22”的充分不必要条件． 其中不正确的命题的个数是（ ）A 4B 3C 2D 14. 在棱长为2的正方体AC 1中，G 是AA 1的中点，则BD 到平面GB 1D 1的距离是（ ） A √63 B 2√63 C 2√33 D 235. 在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(x i , y i )，i =1，2，…，n ；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x ，y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（ ）A ①②⑤③④B ③②④⑤①C ②④③①⑤D ②⑤④③①6. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A 98B 3√1010C 3√24D 6√37377. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<−1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A 11B 19C 20D 218. 某服装加工厂某月生产A ，B ，C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是（ ）A 80B 800C 90D 9009. 已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足|OA →+OB →|=|OA →−OB|→，则实数a 的值（ ）A 2B −2C √6或−√6D 2或−210. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( ) A 16种 B 36种 C 42种 D 60种 11. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a 2的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）A 1−π4B π4C 1−π8 D 与a 的取值有关12. 已知定义域为R 的函数y =f(x)满足f(−x)=−f(x +4)，当x >2时，f(x)单调递增，若x 1+x 2<4且(x 1−2)(x 2−2)<0，则f(x 1)+f(x 2)的值（ ）A 恒大于0B 恒小于0C 可能等于0D 可正可负二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+1100值的一个程序框图，其中判断框中应该填的条件是________． 14. 如果(2x 2√x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 15. 设不等式组{|x|−2≤0y −3≤0x −2y ≤2所表示的平面区域为S ，则S 的面积为________；若A 、B 为S 内的两个点，则|AB|的最大值为________．16. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题（共6小题，满分74分）17. 已知复数z1=bcosC+(a+c)i，z2=(2a−c)cosB+4i，且z1=z2，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．（1）求角B的大小；（2）若b=2√2，求△ABC的面积．18. 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记ξ=(x1−3)2+(x2−3)2．（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望．19. 如图，多面体AED−BFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．(1)求证：MN // 平面CDEF；(2)求多面体A−CDEF的体积；(2)求证：CE⊥AF．20. 已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n=a n2+2a n−3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知b n=2n，求T n=a1b1+a2b2+...+a n b n的值．21. 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x−y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（1）求椭圆的方程；（2）过点S(0,−13)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=13ax3−14x2+cx+d(a, c, d∈R)满足f(0)=0，f′（1）=0，且f′(x)≥0在R上恒成立．（1）求a，c，d的值；（2）若ℎ(x)=34x2−bx+b2−14，解不等式f′(x)+ℎ(x)<0；（3）是否存在实数m，使函数g(x)=f′(x)−mx在区间[m, m+2]上有最小值−5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．2010年陕西省高考数学全真预测试卷答案1. D2. B3. B4. B5. D6. C7. B8. B9. D10. D11. A12. B13. I≤98，或I<100等14. 715. 16,√4116. 三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体,平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；17. 解：（1）∵ z1=z2∴ bcosC=(2a−c)cosB①，a+c=4，②由①得2acosB=bcosC+ccosB，③在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB=csinC，设asinA =bsinB=csinC=k(k>0)则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入③得；2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，2sinAcosB=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA∵ 0<A<π∴ sinA>0∴ cosB=12，∵ 0<B<π∴ B=π3（2）∵ b=2√2，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB⇒a2+c2−ac=8，④由②得a2+c2+2ac=16⑤由④⑤得ac=83，∴ S△ABC=12acsinB=12×83×√32=2√33．18. 解：（1）掷出点数x可能是：1，2，3，4．则x−3分别得：−2，−1，0，1．于是(x−3)2的所有取值分别为：0，1，4．因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．当x1=1且x2=1时，ξ=(x1−3)2+(x2−3)2可取得最大值8，此时，P(ξ=8)=14×14=116；当x1=3且x2=3时，ξ=(x1−3)2+(x2−3)2可取得最小值0．此时，P(ξ=0)=14×14=116．P(ξ=0)=P(ξ=8)=116；（2）由(I)知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．当ξ=1时，(x1, x2)的所有取值为(2, 3)、(4, 3)、(3, 2)、(3, 4)．即P(ξ=1)=416；当ξ=2时，(x1, x2)的所有取值为(2, 2)、(4, 4)、(4, 2)、(2, 4)．即P(ξ=2)=416；当ξ=4时，(x1, x2)的所有取值为(1, 3)、(3, 1)．即P(ξ=4)=216；当ξ=5时，(x1, x2)的所有取值为(2, 1)、(1, 4)、(1, 2)、(4, 1)．即P(ξ=5)=416．P(ξ=8)=1 16∴ ξ的分布列为：所以Eξ=1×14+2×14+4×18+5×14+8×116=319. 证明：(1)由多面体AED-BFC的三视图知，三棱柱AED−BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．连接EB，则M是EB的中点，∵ 在△EBC中，MN // EC，且EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴ MN // 平面CDEF．(2)∵ DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴ EF ⊥AD ，又EF ⊥AE ，∴ EF ⊥平面ADE ，∴ 四边形CDEF 是矩形.且侧面CDEF ⊥平面DAE ，取DE 的中点H ，∵ DA ⊥AE ，DA =AE =2，∴ AH =√2. 且AH ⊥平面CDEF ．∴ 多面体A −CDEF 的体积V =13S CDEF ⋅AH =13DE ⋅EF ⋅AH =83．(3)∵ DA ⊥平面ABEF ，DA // BC ，∴ BC ⊥平面ABEF ，∴ BC ⊥AF ，∵ 面ABFE 是正方形，∴ EB ⊥AF ，∴ AF ⊥面BCE ，∴ CE ⊥AF ．20. 解：（1）当n =1时，a 1=s 1=14a 12+12a 1−34，解出a 1=3， 又4S n =a n 2+2a n −3①当n ≥2时4s n−1=a n−12+2a n−1−3②①-②4a n =a n 2−a n−12+2(a n −a n−1)，即a n 2−a n−12−2(a n +a n−1)=0，∴ (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，∵ a n +a n−1>0∴ a n −a n−1=2(n ≥2)，∴ 数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，∴ a n =3+2(n −1)=2n +1．（2）T n =3×21+5×22+...+(2n +1)⋅2n ③又2T n =3×22+5×23+(2n −1)⋅2n +(2n +1)2n+1④④-③T n =−3×21−2(22+23++2n )+(2n +1)2n+1−6+8−2⋅2n−1+(2n +1)⋅2n+1=(2n −1)⋅2n +221. 解：（1）由{x −y +b =0y 2=4x 消去y 得：x 2+(2b −4)x +b 2=0 因直线y =x +b 与抛物线y 2=4x 相切，∴ △=(2b −4)2−4b 2=0∴ b =1，∵ 圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴ a =√2b =√2故所求椭圆方程为x 22+y 2=1.（2）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：x 2+(y +13)2=(43)2 当L 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆的方程：x 2+y 2=1由{x 2+(y +13)2=(43)2x 2+y 2=1解得{x =0y =1 即两圆相切于点(0, 1)因此，所求的点T 如果存在，只能是(0, 1)事实上，点T(0, 1)就是所求的点，证明如下．当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T(0, 1)若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L:y =kx −13由{y =kx −13x 22+y 2=1消去y 得：(18k 2+9)x 2−12kx −16=0记点A(x 1, y 1)、B(x 2，y 2)，则{x 1+x 2=12k 18k 2+9x 1x 2=−1618k 2+9又因为TA →=(x 1,y 1−1)，TB →=(x 2,y 2−1)所以TA →⋅TB →=x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=x 1x 2+(kx 1−43)(kx 2−43) =(1+k 2)x 1x 2−43k(x 1+x 2)+169=(1+k 2)⋅−1618k 2+9−43k ⋅12k 18k 2+9+169=0 所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(0, 1)所以在坐标平面上存在一个定点T(0, 1)满足条件．22. 解：（1）∵ f(0)=0，∴ d =0 ∴ f′(x)=ax 2−12x +c 及f ′(1)=0，有a +c =12 ∵ f ′(x)≥0在R 上恒成立，即ax 2−12x +c ≥0恒成立 显然a =0时，上式不能恒成立∴ a ≠0，函数f ′(x)=ax 2−12x +12−a 是二次函数 由于对一切x ∈R ，都有f ′(x)≥0，于是由二次函数的性质可得{a >0(−12)2−4a(12−a)≤0.即{a >0a 2−12a +116≤0，即{a >0(a −14)2≤0，解得：a =14，a =c =14．（2）∵ a =c =14．∴ f′(x)=14x 2−12x +14．∴ 由f ′(x)+ℎ(x)<0，即14x 2−12x +14+34x 2−bx +b 2−14<0即x 2−(b +12)x +b 2<0，即(x −b)(x −12)<0当b >12时，解集为(12, b)，当b <12时，解集为(b, 12)，当b =12时，解集为⌀． （3）∵ a =c =14，∴ f ′(x)=14x 2−12x +14 ∴ g(x)=f′(x)−mx =14x 2−(12+m)x +14．该函数图象开口向上，且对称轴为x =2m +1．假设存在实数m 使函数g(x)=f′(x)−mx =14x 2−(12+m)x +14区间[m ．m +2]上有最小值−5．①当m <−1时，2m +1<m ，函数g(x)在区间[m, m +2]上是递增的．∴ g(m)=−5，即14m 2−(12+m)m +14=−5． 解得m =−3或m =73．∵ 73>−1，∴ m =73舍去②当−1≤m <1时，m ≤2m +1<m +2，函数g(x)在区间[m, 2m +1]上是递减的， 而在区间[2m +1, m +2]上是递增的，∴ g(2m +1)=−5．即14(2m +1)2−(12+m)(2m +1)+14=−5解得m =−12−12√21或m =−12+12√21，均应舍去 ③当m ≥1时，2m +1≥m +2，函数g(x)在区间[m, m +2]上递减的∴ g(m +2)=−5 即14(m +2)2−(12+m)(m +2)+14=−5．解得m =−1−2√2或m =−1+2√2．其中m =−1−2√2应舍去．综上可得，当m =−3或m =−1+2√2时，函数g(x)=f ′(x)−mx 在区间[m, m +2]上有最小值−5．。
2010年陕西省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•陕西）集合A=｛x｜0≤x≤2｝，B=｛x｜x＜1｝，则A∩（∁R B）=（）A．｛x｜x≥1｝B．｛x|x＞1} C．{x｜1＜x≤2｝ D．{x｜1≤x≤2｝【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁R B，进而交集的含义，计算可得A∩（∁R B），即可得答案．【解答】解：根据题意，B=｛x｜x＜1}，则∁R B=｛x｜x≥1},又由集合A={x|0≤x≤2},则A∩（∁R B）=｛x|1≤x≤2}，故选D．【点评】本题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标,得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）(2010•陕西）对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是(）A．f(x）在（,）上是递增的B．f（x)的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f(x）=2sinxcosx=sin2x，是周期为π的奇函数，对于A，f（x)在（，）上是递减的,A错误；对于B，f（x）是周期为π的奇函数，B正确；对于C，f（x）是周期为π，错误；对于D，f（x)=sin2x的最大值为1，错误；故选B．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式,在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．4．（5分)（2010•陕西）(x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3,列出方程求出a 的值．【解答】解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．5．（5分）(2010•陕西）（陕西卷理5）已知函数f（x）=若f（f(0)）=4a，则实数a等于(）A．B．C．2 D．9【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型．【分析】先求出f(0)=2,再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f(0）=2,f(2）=4+2a，由4+2a=4a,解得a=2．故选C．【点评】本题考查对分段函数概念的理解．6．（5分)（2010•陕西）如图是求样本x1,x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1,x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n【解答】解：由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1，x2，…,x10平均数,由于“输出”的前一步是“"，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点,应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）（2010•陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知图形的形状,求解即可．【解答】解:本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式,是基础题．8．（5分)(2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p 的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解:抛物线y2=2px（p＞0)的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0)的准线与圆(x﹣3）2+y2=16相切，所以故选C【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．9．（5分）（2010•陕西）对于数列{a n｝，“a n+1＞｜a n｜(n=1，2,…）"是“｛a n}为递增数列”的（)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】要考虑条件问题,需要从两个方面来考虑，由a n+1＞｜a n｜（n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,这样前者可以推出后者，反过来，｛a n}为递增数列，不一定有a n+1＞|a n｜(n=1，2，)．【解答】解：由a n+1＞｜a n｜(n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,即｛a n｝为递增数列反之，{a n}为递增数列,不一定有a n+1＞|a n｜（n=1,2，),如﹣2，﹣1，0，1，2，故选B【点评】有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．10．（5分)（2010•陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=［x］（[x］表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A．y=[]B．y=[]C．y=[]D．y=［]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6,排除A；故选：B．【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题(共5小题，每小题5分,满分25分）11．（5分）（2010•陕西)已知向量=（2，﹣1)，=（﹣1，m)，=(﹣1，2）,若（+）∥,则m=﹣1．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1)=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1【点评】掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题,能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12．（5分）（2010•陕西）观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加,右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2,3，4；,右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．【点评】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．13．（5分）（2010•陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．【考点】定积分的简单应用．【专题】数形结合．【分析】本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．【解答】解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3｜=1，所以点M取自阴影部分部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．（5分）（2010•陕西)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表a b(万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学(必修+选修)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos 300︒=(A)2-12(C)12(D)21.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1co s 300co s 36060co s 602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.x +20y -=【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫--=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111A B C A B C -中，若90B A C ∠=︒，1A B A C A A ==，则异面直线1B A 与1A C 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111A B C A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得A D A C =，则11A D A C 为平行四边形，1D A B ∠就是异面直线1B A 与1A C 所成的角，又三角形1A D B 为等边三角形，0160D A B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+b=1a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=+1a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b a b <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y xx'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，ABC DA 1B 1C 1D 1 O则12||||P F P F =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F=222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-()(22221212121212122221co s 60222P F P F P FP F P F PF F F P F P F P F P F +--+-⇒=⇒=12||||P F P F = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：122212126011co t1co tsin 6022222F P F S b P F P FP F P F θ∆=====12||||P F P F = 4（9）正方体A B C D-1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（A ） 3（B ）3（C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222A C D S A C A D ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1313AC DAC DS D D aD O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则1sin 3D O DD θ==,所以co s 3θ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，1111co s 1/3O O O O D O D ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D)c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21lo g 3, b=In2=21lo g e,而22lo g 3lo g 1e >>,所以a<b,c=125-1,222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log2=321lo g ,b =ln2=21lo g e, 3221lo g lo g 2e <<< ，32211112lo g lo g e<<<；c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A P B ∙的最小值为 (A) 4-+3-+(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，sin α=，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x xx -+，令P A P B y ∙= ，则4221x xy x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故m in ()3P A P B ∙=-+此时x =【解析2】设,0A P B θθπ∠=<<，()()2co s 1/tan co s 2P A P B P A P B θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sinsin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2s i n,012x x θ=<≤，()()1121233x x P A P B x x x--∙==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001A O P A x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233P A P B x x x x y x xx x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 33(C) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有AB C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,m ax h ==故m ax 3V =第Ⅱ卷注意事项：()()22210110111001,,2P A P B x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
