八年级 第12讲 直角三角形性质的应用(修改稿)

DCBAE

八年级 第12讲 直角三角形性质的应用 知识点1：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E， ∠A=30°，求BC，CD和DE的长 分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD. 在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求. 解：在Rt△ABC中

∵∠ACB=90 ∠A=30°∴ABBC21 ∵AB=8 ∴BC=4 ∵D为AB中点，CD为中线

∴421ABCD ∵DE⊥AC，∴∠AED=90° 在Rt△ADE中，ADDE21， ABAD21

∴241ABDE 限时训练一： 选择题：

1、直角三角形两条直角边长为3cm和4cm，斜边上的高为（ ）

A、3cm B、2cm C、2.4cm D、3.6cm 2、若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于（ ）度. A、60°或120°；B、30°或150°； C、150°； D、 30°. 3、如图1，在Rt△ABC中，CD 是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中不正确的 是 （ ） A、∠ACD=∠B; B、∠ECB=∠DCE; C、∠ACD=∠ECB; D、∠ECB=∠A-∠ECD.

图1 图2 图3 4、如图2，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点， 有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°； ④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

ACBEDBCDA B C

D

E

F 5、如图3，△ABC中，∠ACB=900，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则∠DCE等于（ ） A、45° B、60° C、50° D、65° 6、在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（ ） A、4BD B、3BD C、2BD D、BD 7、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ） A、15°或75° B、15° C、75° D、150°或30°

8、 如图4，Rt△ABC中，90ACB，BD=CD，7.8AB，3.9AC，则图中有（ ）个60的角． Ａ、2 Ｂ、3 Ｃ、4 Ｄ、5

图4 压轴题链接1：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC. 求证：AB=BO. 分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA

由已知中等腰直角三角形的性质，可知BCDF21。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证. 证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E ∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD

∴BCDF21

∵BC=AC ∴ACDF21 ∵DF=AE ∴ACAE21 ∴∠ACB=30° ∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75° ∴∠OBA=30° ∴∠AOB=75° ∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO 2、如图，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由. 证明 ： ∵AB=CA， ∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD， ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ

八年级 第14讲 命题与逆命题、轨迹和交轨法作图 知识点一 ：命题与逆命题概念理解 例1：下列说法中，正确的是（ ） A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理 C、真命题的逆命题一定是真命题 D、假命题的逆命题一定是假命题 答案：A 说明：一个命题的逆命题不一定是正确的，但肯定存在，但一个定理的逆定理必须在这个定理的逆命题通过证明是正确的才能存在。 限时训练一： 一、 是非题 1、下列语句中，是命题的在括号内打上“√”，不是命题的在括号内打上“×”. （1）过点A作直线BC的垂线. （ ） （2）这两个角相等吗？ （ ） （3）延长线段AB到 C. （ ） （4）直角都相等. （ ） （5）任何一条线段有且只有一条垂直平分线. （ ） （6）同位角相等，两直线平行. （ ） 2、判断下列命题的真假性，是真命题的请打“√”，是假命题的请打“×”. （1）两直线被第三条直线所截，内错角相等. （ ） （2）锐角的补角是直角. （ ） （3）相等的角是对顶角. （ ） （4）平角都相等. （ ） （5）对应角相等的三角形是全等三角形. （ ） （6）两对角线互相平分的四边形是平行四边形. （ ） 二、选择题 1、下列命题的逆命题正确的是（ ） A、全等三角形的面积相等 B、全等三角形的对应角相等 C、直角都相等 D、直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半 2、下列语句是命题的个数为（ ）． ①画∠AOB的平分线; ②直角都相等; ③同旁内角互补吗？ ④若│a│=3，则a=3. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、下列5个命题，其中真命题的个数为（ ）． ①两个锐角之和一定是钝角; ②直角小于夹角; ③同位角相等，两直线平行; • ④内错角互补，两直线平行; ⑤如果a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、下列说法正确的是（ ）． A．互补的两个角是邻补角; B．两直线平行，同旁内角相等; C．“同旁内角互补”不是命题; D．“相等的两个角是对顶角”是假命题 5、下列命题正确的是（ ）． ①若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角 ②若∠A+∠B=180°，则∠A与∠B互为邻补角 ③120°的角和60°的角都是补角 ④同角的余角相等 ⑤由两条射线组成的图形叫做角 A．①③ B．②⑤ C．③④ D．①④ 6、下列的真命题中，其逆命题也真的是（ ） A．全等三角形的对应角相等； B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形 C．等边三角形是锐角三角形 D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 7、下列说法中，正确的是（ ） A．每个命题不一定都有逆命题； B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题； D．假命题的逆命题未必是假命题 8、下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．内错角相等，两直线平行； B．直角三角形中两锐角互余 C．相反数的绝对值相等； D．同位角相等，两直线平行 9、下列命题中真命题的个数是（ ）

①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；

②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2； ③在直角三角形中，若两直角边边长为n2-1和2n，则斜边长为n2+1； ④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、将下列命题改写成“如果„„，那么„„”的形式，并写出题设和结论. 1、同旁内角互补，两直线平行.

2、两个实数的平方之和是正数. 3、对顶角相等. 4、等腰三角形两腰上的高相等. ODCB

A

OPDCB

A

图1 图2

5、平分弦的直径必垂直于弦. 6、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边.

知识点二： 轨迹 例2、如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安

装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置P。

分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。 解：如图2所示，作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，相交于点P。 点P就是所求作的点。 限时训练 一、填空题 1、三角形三边垂直平分线的交点到 的距离相等. 2、三角形三个内角的平分线的交点到 的距离相等. 3、到点O的距离等于3cm的点的轨迹是 。 4、和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是 。 5、到已知角的两边距离相等的点的轨迹是 。 二、选择题： 1、若△ABC内一点O到△ABC的三个顶点距离都相等，则O点是（ ） A、三角形内角平分线的交点 B、三角形三边上中线的交点 C、三角形三条高的交点 D、三条边垂直平分线的交点 2、如图所示：PB平分∠MBC，PC平分∠BCN，下列结论正确的是（ ） A、∠MBP=∠P B、BP∥AN C、若连AP，则被BC平分 D、点P到AM与到AN的距离相等 M

ABC

P9题图N