直角三角形的性质应用(弦图)(北师版)(含答案)

“直角三角形”典例剖析勾股定理及其逆定理，互逆命题（定理），直角三角形的判定是直角三角形这一节的重要知识，下面就其典型题举例分析.一、勾股定理及其逆定理的应用㈠ 涉及线段的平方，考虑应用勾股定理或其逆定理证明例1 已知ΔABC 是直角三角形，E 、D 分别是直角边AB 、BC 上的任意点. 求证：2222AD CE AC DE +=+.分析：如图1，此题存在条件直角三角形，且所要证明的是线段的平方之间的关系，因此考虑应用勾股定理证明.所要证明的等式中的四条线段分属于四个直角三角形的斜边，只要应用勾股定理将四个直角三角形中的边的关系列出，便可得证.证明：∵ΔABD ，ΔCEB 都是直角三角形，∴222AD AB BD =+， 222CE BE BC =+.∴222222AD CE AB BD BE BC +=+++.同理可得：222222AC DE AB BC BD BE +=+++.∴2222AD CE AC DE +=+.㈡ 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形.例 2 在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是,,a b c ，且2a c b +=，12c a b -=，则ΔABC 的形状是（ ）A.直角三角形B. 等边三角形C.等腰三角形D. 等腰直角三角形 分析：要判断ΔABC 的形状关键是利用条件得到三边之间的关系. 将题目中的两式相乘，得222c a b -=，即222a b c +=，因此ΔABC 的形状是直角三角形，答案选A.二、逆命题的说法及其真假的判断例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.⑴ 等腰三角形的两个底角相等.⑵ 全等三角形的对应角相等.⑶ 如果a b =，那么22a b =.分析：一对互逆命题的条件、结论正好相反，据此可写出命题的逆命题，但应该注意的是在条件、结论互换的同时，由于条件变了，说法也应相应地改变，以避免出现知识上的错误. 判断命题的真假，可以据相关的定理、法则判断，也可以试举反例，或加以证明等.解：⑴ 逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，原命题，逆命题都是真命题（都是定理）.⑵ 逆命题为“角对应相等的两个三角形是全等三角形”，原命题是真命题，逆命题是假命题（没有边对应相等的条件）.⑶ 逆命题为“如果22a b =，那么a b =”，原命题是真命题，逆命题是假命题（说法不全面，少了a b =-的结论）.点评：⑴的逆命题，同学们最易这样说“两个底角相等的三角形是等腰三角形”，由于条件不再是等腰三角形，因此不存在底角，所以此说法是错误的. ⑵中，最易说出这样的逆命题“对应角相等的三角形是全等三角形”，由于条件不再是全等三角形，因此不存在对应角，所以此说法错误.三、直角三角形全等的判定.例4 如图2，BD 、CE 是三角形ΔABC 的高，且BD=CE. 求证：ΔABC 是等腰三角形.分析：要证ΔABC是等腰三角形，只要证明两边相等，或两角相等即可，由此题条件，可考虑利用全等三角形证明. 观察图形，发现CE、BD所在的三角形有两对，即ΔABD与ΔACE，ΔEBC与ΔDCB，可证明任一对三角形全等. 显然，ΔABD与ΔACE可利用AAS证明全等，得AB＝AC，因此ΔABC是等腰三角形；ΔEBC与ΔDCB，可通过HL证明全等，得∠ABC＝∠ACB，因此ΔABC 是等腰三角形.证明：略.。

直角三角形课前测试【题目】课前测试如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE 垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？【答案】立柱BC长4m，DE长2m【解析】首先根据BC⊥AF，∠A=30°，应用含30°角的直角三角形的性质，求出BC的长度是多少；然后根据BC、DE垂直于横梁AC，推得BC∥DE，再根据D是AB 的中点，求出DE的长度是多少即可．解：∵BC⊥AF，∠A=30°，∴BC=AB=4m，∵BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，又∵D是AB的中点，∴DE=BC=2m．答：立柱BC长4m，DE长2m．此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．【难度】3【题目】课前测试如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【答案】Rt△ABE≌Rt△CBF【解析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握HL【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是直角三角形。

了解，掌握直角三角形的定理，还有勾股定理，还有含30°角的直角三角形的性质以及直角三角形的斜边中线定理，会证明直角三角形全等。

这部分在考试中很重要，中考中直角三角形的性质是重点适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握三角形全等的判定方法重点选讲：①直角三角形的性质②含30°角的直角三角形③证明直角三角形全等知识梳理知识梳理1：直角三角形定理：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）有两个角互余的三角形是直角三角形勾股定理：（1）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（2）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平面直角坐标系中坐标的处理原则是什么？问题2：平面直角坐标系下点的坐标有哪两个特征？问题3：中点坐标公式是什么？问题4：若点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（-4，6），则线段AB的中点M的坐标为多少？问题5：中点坐标公式是如何证明的？坐标的应用（特殊角与弦图）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，已知点A（a，b），O是原点，OA=OB，OA⊥OB，则点B的坐标是( )A.（b，a）B.（a，-b）C.（-a，b）D.（-b，a）答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化2.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=2，∠ABO=30°，则点A的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标3.如图所示，正方形OABC在平面直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，已知点C的坐标为（，1），则点D的坐标为( )A. B.（0，2）C. D.（2，0）答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化4.如图，将一副直角三角板（含45°的直角三角板OAB及含30°角的直角三角板OBC）按如图所示方式放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（2，2），则图中两块三角板的交点P 的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化5.四边形OABC的四条边都相等，且OC∥AB，BC∥OA，将其放在平面直角坐标系中，如图所示，点A在x轴上，且∠AOC=45°，，则点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的相互转化6.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，OE是△AOB的中线．若OB=OE=5，，则点E的坐标为( )A. B.C.（3，4）D.（4，3）答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化7.如图，∠AOC=∠BOC=15°，DC∥x轴，CB⊥x轴于点B，点D的横坐标为，则点C的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴上，AC，BD交于点M，，则点C的坐标是( )A.（5，4）B.（6，4）C.（6，5）D.（4，6）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：毕达哥拉斯图。

第三部分直角三角形一、知识梳理：1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：222+=a b c （5）勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．2.直角三角形的判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系式：222+=a b c，那么这个三角形是直角三角形．二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例1.若直角三角形的一个锐角为15︒，则另一个锐角等于________．75°【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°－90°－15°＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．变式11.如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.60°【答案】A【解析】【分析】由AC l ⊥及160∠=︒，可求得ACB ∠的度数，再由//a b 即可求出2∠的度数．【详解】∵AC l ⊥，160∠=︒∴90130ACB ∠=︒-∠=︒∵//a b∴230ACB ∠=∠=︒故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．题型二直角三角形斜边上的中线例2.如图在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，5EF ＝，EFM ∆的周长为13，则BC 的长是（）A .6B .8C .10D .12B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC ＝2MF ＝2EM ，所以MF ＝EM ，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC＋EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC＝2MF，BC＝2EM．∴MF＝EM．∴△EFM的周长＝MF＋EM＋EF＝BC＋EF．∵EF＝5，△EFM的周长为13，∴BC＝13－5＝8故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．变式22.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=12AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．题型三直接考查勾股定理例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A.4B.5C.4或5D.5C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论．【详解】解： 直角三角形的两边长分别为3和4，∴①4是此直角三角形的斜边长；②当45=．综上所述，斜边长为4或5故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式33.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A. 2.5B.3C.2D.3.5【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：∵AC =3，BC =4，∴AB =5，∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD =AC ，∴AD =3，∴BD =AB -AD =5-3=2．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．题型四勾股数例4.下列数组是勾股数的是（）A .2、3、4B .0.3、0.4、0.5C .6、8、10D .7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】A ．22223134+=≠，此数组不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C ．222 6810+=，此数组是勾股数；D ．222 71219315+=≠，此数组不是勾股数；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形．变式44.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的边长是（）A.13B.C.47D.【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，根据勾股定理进行求解．【详解】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，由勾股定理得：x 2＝32+52＝34，y 2＝22+32＝13，z 2＝x 2+y 2＝47，即最大正方形E 的面积为：z 2＝47，边长为z 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．见解析．【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a =-，根据Rt ABC Rt DAE D @D ，易证90DAB ︒∠=，再根据ADE ABC ADFB DFCE S S S S D D =++四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a=-ADE ABC ADFB DFCES S S S D D =++四边形四边形()1122ab ab b a b =++-⋅2ab b ab=+-2b =Rt ABC Rt DAE∆≅∆ AB AD c\==ADE BAC∴∠=∠90ADEDAE °??Q 90BAC DAE °\??即90DAB ︒∠=，∴AD AB⊥∴ADB DFBADFB S S S ∆∆=+四边形()()21122c a b b a =++⋅-222111222c b a =+-即有：2222111222b c b a =+-∴222+=a b c 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．变式55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF 的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的边长，求出其面积，代入12348S S S ++=，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵Rt ABF Rt DAE Rt CDH Rt BCG∆≅∆≅∆≅∆∴BF AF DH CG a ====，AF DE CH BG b====∴小正方形EFGH 的边长=b a-又大正方形的边长为c∴正方形ABCD 的面积为2c ，4个全等直角三角形的面积和为2ab ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;2214()2c ab b a =⨯+-∴()222c ab b a =+-经过整理可得222c a b =+（2）∵大正方形ABCD 的面积是13，∴213c =∵2BF =，且222BF AF AB +=∴2221349AF AB BE =-=-=∴3AF =(负值舍去)∴321EF =-=∴小正方形EFGH 的面积为1；（3）∵正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，∴AM AF b ==，MB BF a ==，∴正方形MNKT 的边长为a b +，∴正方形MNKT 的面积为()2a b +．而正方形ABCD 的边长为c ，正方形EFGH 的边长为()b a -，∴正方形ABCD 的面积为2c ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，∴()()22248a b c b a +++-=，整理得，2348c =，∴4c =（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．题型六勾股定理的实际应用例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m ，顶端距离地面2m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m ，那么小巷的宽度为（）A .3.2mB .3.5mC .3.9mD .4mC【分析】如图，在Rt △ACB 中，先根据勾股定理求出AB ，然后在Rt △A ′BD 中根据勾股定理求出BD ，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1.5米，AC ＝2米，∴AB 2＝1.52＋22＝6.25，∴AB ＝2.5米，在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝0.7米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2，∴BD 2＋0.72＝6.25，∴BD 2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC＋BD＝1.5＋2.4＝3.9米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16mB.20mC.24mD.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC=10米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+102=（x+2）2，解得：x=24，∴AB=24．∴旗杆的高24米，故选：C ．【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．题型七勾股定理的逆定理例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A .4，5，6B .7，24，25C .5，12，13D .1，2A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、∵222456+≠，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵22272425+=，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵22251213+=，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵22212+=，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键．变式77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，若AD 是ABC 的高，则AD 的长为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB 2，AC 2，BC 2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB =+=222215AC =+=2223425BC =+=∵222+AB AC BC =∴△ABC 是直角三角形又∵AD 是ABC 的高∴1122AC AB BC AD ⋅=⋅，11522AD ⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆是（）三角形．A .锐角B .直角C .钝角D .等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断．【详解】解：根据网格图可得：2224117AC =+=，2223110AB =+=，2224325CB =+=，222171025AC AB CB +=+>= ，ABC ∆∴是锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ，①当a 2＋b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2＋b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形；③当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 为直角三角形．变式88.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A.北偏西15︒B.南偏西75°C.南偏东15︒或北偏西15︒D.南偏西15︒或北偏东15︒【答案】C【解析】【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．题型九勾股定理与折叠问题例9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求GF 的长．（1）详见解析；（2）3【分析】（1）根据翻折的性质可得AEF CEF ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等可得∠=∠AFE CEF ，然后求出AEF AFE ∠=∠，根据等角对等边可得AE AF =；（2）根据翻折的性质可得AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，再根据勾股定理有：2224(8)x x =+-，于是有5AE AF ==，进而得到3GF FD ==．【详解】解：（1）由翻折的性质得，AEF CEF ∠=∠，矩形ABCD 的对边//AD BC ，AFE CEF ∴∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）由翻折的性质得，AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2224(8)x x ∴=+-，解得：5x =，5AE ∴=，又由（1）可知，5AF =，853FD AD AF ∴=-=-=，由翻折的性质得，3GF FD ==．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE 的长度是解题的关键．变式99.如图，在Rt ABC 中，90,5,8ACB AC BC ∠=︒==，点D 是边BC 的中点，点E是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是（）A.2B.4-C.3D.4-【答案】B【解析】【分析】连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，∵点D 是边BC 的中点，∴142CD GD BC ===,在Rt △ACD 中AD =∴4AG AD GD =-=．故选：B【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F 的运动轨迹是解题的关键．题型十最短距离问题例10.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它爬的最短距离是_____．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：20AC =，55515BC =++=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC =+，即2222015AB =+，∴25AB =，故答案为：25【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1010.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，3AE =，1EB =，在AC 上有一点P ，使为EP BP +最短．则最短距离EP BP +为_________．【答案】5【解析】【分析】连接DE ，交直线AC 于点P ，根据四边形ABCD 是正方形可知B 、D 关于直线AC 对称，所以DE 的长即为EP+BP 的最短距离，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE=3，EB=1，∴AD=AB=AE+BE=4，∴5==．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．实战练11.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5km A.0.6km B.0.9km C.1.2km【答案】D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D视频12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，把Rt △ABC 绕着点A 逆时针旋转，使点C 落在AB 边的C ′上，C'B 的长度是（）A.1B.32C.2D.52【答案】A【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB =5，再由旋转的性质得出4AC AC '==，从而可求出BC '的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，∴222AB AC BC =+∴5AB ===由旋转的性质得，4AC AC '==∴541C B AB AC ''=-=-=故选：A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB =5是解答此题的关键．13.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3，4．5B.6．8．10C.5，12．13D.4，5，6【答案】D【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；B 、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；C 、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；D 、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…14.满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n 2﹣1，2n ，n 2+1；1+1-，6．其中能组成直角三角形的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为3:4:5；则有222(3)(4)(5)x x x +=，为直角三角形；②三个内角度数之比为3:4:5，则各角度数分别为31804512︒⨯=︒，41806012︒⨯=︒，51807512︒⨯=︒，不是直角三角形；③22222(1)(2)(1)n n n -+=+ ，∴是直角三角形；④116++=<，∴构不成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10=尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A.2223(1)x x -=- B.2223(10)x x -=-C.2223(1)x x +=- D.2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答．【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．16.如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（）A.0＜h ≤11B.11≤h ≤12C.h ≥12D.0＜h ≤12【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿()方向航行．A.西南B.东北C.西北D.东南【答案】C【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．【详解】解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．18.如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A.5B. 4.8C.3D.2.4【答案】B【解析】【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB 2+BC 2=AC 2，即∠ABC =90°．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形EDFB 是矩形，∴EF =BD ．∵BD 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8，∴EF 的最小值为4.8，故选：B ．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．19.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，CD =，AD =，AB BC ⊥，则四边形ABCD 的面积是()A. 2.5B.3C. 3.5D.4【答案】A【解析】【分析】如下图，连接AC ，在Rt △ABC 中先求得AC 的长，从而可判断△ACD 是直角三角形，从而求得△ABC 和△ACD 的面积，进而得出四边形的面积．【详解】如下图，连接AC∵AB=BC=1，AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中，，111122ABC S =⨯⨯=∵，又∵(222+=∴三角形ADC 是直角三角形∴122ADC S == ∴四边形ABCD 的面积=12+2=52故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC 是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．20.某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】【分析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，连接QB ，此时QA+QB 的值最小．作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AC 即可；【详解】解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE ⊥MN ，BF ⊥MN∴四边形AEFD 为矩形∴12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，∴由勾股定理得：13AC ===∴这个最短距离为13km ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．培优练21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．。

第3讲 直角三角形与勾股定理一、内容提要1、理解直角三角形的有关概念；2、掌握直角三角形中两锐角互余的性质，会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形；3、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质和直角三角形全等的HL 判定定理的应用；其它性质：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 4、掌握勾股定理及逆定理的应用二、热身练习 【A 】组题1. 1. 下列说法错误的是（下列说法错误的是（下列说法错误的是（ ））A.A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B. B. B.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形C.C.直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高D. D. D.任何一个三角形中，最大角不小于任何一个三角形中，最大角不小于60度 2．如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（为（ ） A ．21B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m 4．若△．若△ABC ABC 三边长a,b,c 满足满足|a+b |a+b |a+b－－7|+|a 7|+|a－－b －1|+1|+（（c －5）2=0=0，，则△则△ABC ABC 是（是（ ）） A ．等腰三角形．等腰三角形 B B B．等边三角形．等边三角形．等边三角形 C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形 D D D．等腰直角三角形．等腰直角三角形．等腰直角三角形 5、如图，△、如图，△ABC ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，AB AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=10AB=10，，AC=6AC=6，则△，则△ACD 的周长为（的周长为（ ）） A 、16 B 16 B、、14 C 14 C、、20 D 20 D、、186、已知直角三角形的两边长为3cm 和4cm 4cm，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是 cm cm cm，斜边上的高为，斜边上的高为，斜边上的高为7、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为O （第3题图）题图）的值是三、例题分析：例1、如图，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两直角边长分别是6 EFF BD CEAcC D A C E 第5题 13 3 4 第8题★★例4、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=q （0°＜q＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①q= 度；度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）. 图甲图甲活动二：活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1. 数学思考：数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1q= ，2q= ，3q= ；（用含q的式子表示）式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求q的范围. AEFBCDMN 第3题图乙图乙四、思维提升 【B 】组题1、如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n-1D n 的长为_ _ （n 为正整数）．2、在Rt ABC △中，90A Ð=°，BD 平分ABC Ð，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：的距离是：Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6 3、如图所示，90E F Ð=Ð=，B C Ð=Ð，AE AF =，结论：①EM FN =；②C D D N =；③FAN EAM Ð=Ð；④ACN ABM △≌△．其中正确的有．其中正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．5、如图，以Rt Rt△△ABC 的三边a 、b 、c 为边向外作三个正方形，面积分别是S 1 ，S 2 ， S 3，根据勾股定理可得，勾股定理可得，S S 1 +S 2=S 3DA C 第2题B BA第1题D 1 D 5 D 2D 3 D 4D 0C1第4题C A S 2 S3 S 1 B BC于E，，请说明AG=AB。

学生做题前请先回答以下问题问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则______________.以下是问题及答案，请对比参考:问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．答：问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．答：问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则.答：直角三角形的性质应用（弦图）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.10B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图5.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A.90B.100C.110D.121答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质6.如图，四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°，若，则正方形ABCD的面积为( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF，BE分别垂直于CD（或延长线）于F，E，则EF的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质第11页共11页。