高考数学一轮总复习 第12章 几何证明选讲高考AB卷 理

第十二章 不等式选讲考点集训(七十五) 第75讲 含绝对值不等式1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋2，g (x )＝－|x ＋2|＋3.(1)解不等式：g (x )≥－2；(2)当x ∈R 时，f (x )－g (x )≥m ＋2恒成立，某某数m 的取值X 围．2．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)设g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，某某数m 的取值X 围．3．设不等式－2<||x －1－||x ＋2<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较||1－4ab 与2||a －b 的大小，并说明理由．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(1)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，某某数b 的取值X 围；(2)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．5．已知函数f ()x ＝||x －a .(1)若f ()x ≤m 的解集为[]－1，5，某某数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t <2时，解关于x 的不等式f ()x ＋t ≥f ()x ＋2.6．已知关于x 的不等式||2x －1－||x －1≤log 2a .(1)当a ＝8时，求不等式解集；(2)若不等式有解，求a 的取值X 围．7．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围．8．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值X围．考点集训(七十六) 第76讲不等式证明的基本方法1．已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M、N的大小关系为__________．2．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．3．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．4．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b|.5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.6．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n >n ＋22(n ∈N *，n ≥2)．7．已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立，试某某数m 的取值X 围或值．第十二章 不等式选讲第75讲 含绝对值不等式【夯实基础】基础检测1．B 2.[0，4]3.A 4.D 5.(－∞，8]【知识要点】3．－a ＜x ＜ax ＜－a 或x ＞a(1)－c ≤ax ＋b ≤cax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c【走进高考】【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f(x)＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|23＜x ＜2. (2)由题设可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值X 围为(2，＋∞)．【考点集训】1．【解析】(1)由g ()x ≥－2得||x ＋2≤5，解得－7≤x ≤3，所以不等式的解集是{}x |－7≤x ≤3.(2)设h ()x ＝f ()x －g ()x ＝||2x －1＋||x ＋2－1，则h ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ≤－2，－x ＋2，－2<x<12，3x ，x ≥12.所以h ()x ≥32， 所以对应任意x ∈R ，不等式f ()x －g ()x ≥m ＋2恒成立，得m ＋2≤32，得m ≤－12.所以m 的取值X 围是m ≤－12. 2．【解析】(1)由题意原不等式可化为：|x －1|>1－x 2，即：x －1>1－x 2或x －1<x 2－1，由x －1>1－x 2得x >1或x <－2，由x －1<x 2－1得x >1或x <0，综上原不等式的解集为{x |x >1或x <0}．(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空，令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，即h (x )＝(|x －1|＋|x ＋3|)min <m ，由|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，所以h (x )min ＝4，所以m >4.3．【解析】(1)记f (x )＝||x －1－||x ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1. ∴由－2<－2x －1<0解得－12<x <12， 即集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 12. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13||a ＋16||b <13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14， ∵||1－4ab 2－(2||a －b )2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴||1－4ab 2>(2||a －b )2，即||1－4ab >2||a －b .4．【解析】(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤ |x －1|＋b ⇔－b ≤|x －1|＋|x －2|，|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立． 实数b 的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2，0<x <1，2x －2，1≤x ≤2，2，x >2.当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x－2＝0； 当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0.5．【解析】(1)因为||x －a ≤m ，所以a －m ≤x ≤a ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)a ＝2时等价于||x －2＋t ≥||x ，当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t <2，所以舍去；当0≤x <2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立； 当x <0，2－x ＋t ≥－x 成立．所以，原不等式解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.6．【解析】(1)由题意可得：||2x －1－||x －1≤3，当x ≤12时，－2x ＋1＋x －1≤3，x ≥－3，即－3≤x ≤12； 当12<x <1时，2x －1＋x －1≤3，即x ≤53； 当x ≥1时，2x －1－x ＋1≤3，即x ≤3，∴该不等式解集为{} |x －3≤x ≤3.(2)令f (x )＝||2x －1－||x －1，有题意可知：log 2a ≥f (x )min ，又∵f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤12，3x －2，12<x <1，x ，x ≥1.∴f (x )min ＝－12，即a ≥2－12，a ≥22. 7．【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 8．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3. 当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值X 围为[－3，0]．第76讲 不等式证明的基本方法【考点集训】1．M ≥N2.M>N3．【解析】(1)由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.4．【解析】|f(a)－f(b)|＝|1＋a 2－1＋b 2| ＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b||a ＋b|1＋a 2＋1＋b2 ≤|a －b|（|a|＋|b|）1＋a 2＋1＋b 2<|a －b|（|a|＋|b|）a 2＋b2＝|a －b|. 5．【解析】 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝（b ＋c ）（a ＋c ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8. (2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c)≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c)2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c)2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.6．【解析】(1)当n ＝2时，1＋12＋13＋14>1＋12＋14＋14＝2＋22，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋22， 则n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 >k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1,\s\do4(2k 个)) ＝k ＋22＋12＝（k ＋1）＋22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)可知，对任何n ∈N ，n ≥2不等式成立．7．【解析】(1)∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0.∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x . (2)(ⅰ)若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－3xy xy <－3xy xy＝－3， 即x 3＋y 3xy （x ＋y ）<－3，∴m >－6； (ⅱ)若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于 m 2≤x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）≥1，∴m ≤2. 综上所述，实数m 的取值X 围是(－6，2]．。

备战高考数学一轮复习第12单元圆锥曲线单元训练（A 卷，理，含解析）单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第12单元 圆锥曲线注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．4k >B ．4k =C ．4k <D ．04k <<2．已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3或62C ．33D ．2或623．抛物线28y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,44．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）A ．25B ．35C ．235D ．2555．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(,0)F c ，若a 、b 、c 成等比数列，则该双曲线的离率e =（ ） A ．132+ B ．152+ C ．512- D ．21-6．已知抛物线y 2＝2px （p >0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（）B ．（0，）C ．（2）D ．（0，2）7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的,A B 两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±9．设斜率为3的直线过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，且163AB =，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方．若，的内切圆的面积为9π16，则直线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．过抛物线的焦点的直线交该抛物线，两点，该抛物线的准线与轴交于点， 若，则的面积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．833B．433C．233D ．2312．已知直线与双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、，且211cos4PF F∠=-，则双曲线的离心率为（）A．53B．53或3 C．1611D．1611或4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于35的椭圆的标准方程为________．14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____．15．已知以F为焦点的抛物线24y x=上的两点,A B满足3AF FB=，则AB的中点到y轴的距离为________．16．如图所示，正方形ABCD的边长为2，椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>及双曲线22222:1(0,0)x yC m nm n-=>>均以正方形顶点,B D为焦点且经过线段AB的中点E，则椭圆1C与双曲线2C离心率之比为_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求适合下列条件的标准方程：（1）已知椭圆经过点，，求它的标准方程；（2）已知双曲线的离心率，经过点，求它的标准方程．18．（12分）抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A（4，4），过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M、N两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段MN的长．19．（12分）已知椭圆C 的焦点为1(22,0)F -和2(22,0)F，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点．求：（1）椭圆C 的标准方程； （2）弦AB 的中点坐标及弦长．20．（12分）已知双曲线221:14y C x -=． （1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程．（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于，两点．当3OA OB ⋅=时，求实数的值．21．（12分）已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>3P的坐标为22,⎭．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC△面积的最大值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第12单元 圆锥曲线 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<．故选D ．2．【答案】B【解析】焦点在x 轴时2b a =，22222212b c a e a a -==-=，3c e a ==， 焦点在y 轴时2a b=，2222221 12b c a e a a -==-=，62e =．故选B ．3．【答案】A【解析】抛物线的标准方程为218x y =，焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 4．【答案】B【解析】由题216.4b =，220.5a =，则45b a =，则离心率243155e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故选B ．5．【答案】B【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以222b ac c a ac =⇒-=，21e e -=，所以210e e --=， 因为1()e ∈+∞,，所以512e +=，故选B ． 6．【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px （p >0）上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离是，即32p=，则抛物线的焦点坐标为（，0）．故选A ．7．【答案】C【解析】椭圆2222 10x y a b a b+=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，可得3c =，22 4b a=， 222c a b =-，解得3a =，6b =，所以所求椭圆方程为22196x y +=，故选C ． 8．【答案】C【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线by x a=±的距离为22bc b a b=+，则AF b =，所以OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=， 所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±．9．【答案】C【解析】因为斜率为3的直线过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，所以直线方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，由2322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 整理得2233504x px p -+=，所以1253p x x +=，因此1283p AB x x p =++=，又163AB =，所以81633p =，解得2p =，故选C ． 10．【答案】D【解析】设内切圆半径为，则29ππ16r =，34r ∴=， ，内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又，所以方程为，由内切圆圆心到直线距离为，即2233343434c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=+，得，所以方程为故选D 项． 11．【答案】A 【解析】的准线l ：x ＝﹣1，∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为4， ∴1+＝4，∴＝3，∴＝±2，不妨设A （3，2），∴1223232AFM S =⨯⨯=△， ∵F （1，0），∴直线AB 的方程为y（x ﹣1），∴()2314y x y x=-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得123,33B ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴123232233BFM S =⨯⨯=△，∴23832333MAB AFM BFM S S S +=+==△△△， 故选A ． 12．【答案】 C【解析】设双曲线的左右焦点分别为，且211cos 4PF F ∠=-， 可得2212115sin 1cos 4PF F PF F ∠=-∠=，即有直线的斜率为，由直线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点，可得，设直线与x 轴交于点M ，则222tan 152MP bPF M MF a c∠===-，即有，化为，由ce a=，可得，解得1611e =或，又由211cos 04PF F ∠=-<，可得，则，所以1611e =，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】22110064x y +=【解析】由题可得216b =，解得8b =，又22235c e a a b c⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得2100a =，所以所求椭圆的标准方程为22110064x y +=．14．【答案】2y x =【解析】由已知得222431b-=，解得2b =2b =因为0b >，所以2b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =． 15．【答案】53【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为两点,A B 满足3AF FB =，11(1,)AF x y =--，22(1,)FB x y =-，所以21122212124413(1)3y x y x x x y y ⎧=⎪=⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩，即211222121244433y x y x x x y y ⎧=⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，解得2221343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故121312x y =⎧⎨=⎩，AB 的中点到y 轴得距离为12523x x +=． 16．35-【解析】因为正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 中点，所以1EB =，145ED，4422BD ，由椭圆定义可得251aEDEB ，根据双曲线定义可得251m EDEB，所以椭圆1C 与双曲线2C 离心率之比为251625352242512BDm a BD a m，故答案为352-．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）221259x y +=；（2）2211616x y -=． 【解析】（1）已知椭圆经过点，可得焦点在轴，所以，则标准方程221259x y +=． （2）因为离心率，所以，又经过点，所以222591a b a b-==⎧⎪⎨⎪⎩，解得，或229251a b a b-==⎧⎪⎨⎪⎩，无解． 所以双曲线的标准方程为2211616x y -=． 18．【答案】（1）y 2＝4x ；（2）8．【解析】（1）依题意设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，将A （4，4）代入得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ． （2）F （1，0），直线:1l y x =-，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x +=-， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则126x x +=，根据抛物线的定义可得12628MN x x p ++=+==．19．【答案】（1）2219x y +=；（2）中点坐标为91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，弦长635． 【解析】（1）椭圆C 的焦点为()122,0F -和()222,0F ，长轴长为6，∴椭圆的焦点在x 轴上，22c =，3a =，221b a c ∴=-=，∴椭圆C 的标准方程为2219x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22992x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得21036270x x ++=， 12185x x ∴+=-，122710x x =，120925x x x +∴==-，00912255y x ∴=+=-=， ∴弦AB 的中点坐标为91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2222121212182763114245105AB k x x k x x x x ⎛⎫=+-=++-=--⨯= ⎪⎝⎭． 20．【答案】（1）2214x y -=；（2）．【解析】（1）双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则222251631a b a b+=-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎪⎨⎪⎩，∴双曲线的标准方程为2214x y -=． （2）双曲线的渐近线方程为，．设，．由2204y x y x m -==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去化简得，由()()222243160Δm mm=--⨯⨯-=>，得．。

1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，大事A 的概率的计算公式 P (A )＝构成大事A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并把握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能消灭的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机大事的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赐予每个随机数肯定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN 作为所求概率的近似值．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本大事就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以大事发生的频率估量概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2021·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则大事“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 答案 A解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2022·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8 答案 B解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为大事A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2022·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估量阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求大事的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2021·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 由于∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则大事“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2021·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划学问交汇命题的问题例3 (2022·重庆)某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，依据题意可画出图形，如图所示，则总大事所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的大事A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2021·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的留意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4(2)(2022·湖北)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.78(3)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 (1)B (2)D (3)B解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 大事A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4，所以选B.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB＝2－142＝78.(3)依据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为⎠⎜⎛π4π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪ππ4＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.题型三 与体积有关的几何概型例5 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为______________________ __________________________________________________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的留意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 由于VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S 矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.18．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率． 易错分析 不能正确理解题意，无法找出精确 的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 由于是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1， 即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[4分]要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分] 由于阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[12分]温馨提示 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确推断大事是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证大事是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本大事的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机大事需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本大事，然后利用平面直角坐标系就能顺当地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机大事需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本大事，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．精确 把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2022·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 B解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )A.12B.13C.25D.35 答案 D解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.5.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13 C.14 D.16 答案 B解析 依据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3|10＝13，所以点M 取自阴影部分的概率为S S 正方形OABC ＝131×1＝13.6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示大事“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2 ＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、其次次消灭的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本大事总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本大事为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本大事的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本大事的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项力量提升 (时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽视不计)，可捕获距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内回旋，则苍蝇被捕获的概率是( )A.π180B.π150C.π120D.π90 答案 C解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕获到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕获的概率是π260＝π120.12．(2021·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为大事“x ＋y ≥12”的概率，p 2为大事“|x －y |≤12”的概率，p 3为大事“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个大事对应的图形，依据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．大事“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；大事“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；大事“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.13．(2022·辽宁)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_________________________________________________________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )． (1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停靠两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．假如甲船停靠时间为1 h ，乙船停靠时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记大事A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求大事构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}． A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。

12・4证明不等式的基本方法E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］1.(2018 •沈阳质检)已知函数f(x) = \x—a\—|x(a>0).(1)若仪=3,解关于无的不等式A^XO；(2)若对于任意的实数x,不等式f(x) — f(x+臼)〈/+自亘成立，求实数臼解⑴当a=3时，f(劝= |x-3|_話,即|x-3|_*x<0,x 1原不等式等价于一-<%—3<-^,解得2<K6,故不等式的解集为{^|2<K6}.(2) f{x) — f{x+ a) = \x—a\— |^r| +号, 原不等式等价于\x-a\-\x\^, 由三角绝对值不等式的性质，得I x—a\—| ” W | (才_$) —” = | 自|,原不等式等价于I a\<a ,又日>0,・"</,解得日>1・故实数自的取值范围为(1, +->)・2.(2017 •河北石家庄二模)设函数f(x) = | x— 11 — 12卄11的最大值为(1)作出函数的图象;(2)若a+2C,2+3Z?"=/27,求ab+2bc的最大值.解(1)因为代方="—1|一|2卄1|,所以f(x)=<画111图象如图.的取值范围.m.3(2)由⑴可知z^=2«因为|=/〃=#+2d + 3Z/= (/ + /) +2(d+F) $2曰力+4力c,3 1所以"+2方cW,当且仅当曰=b=c=°时，等号成立.所以ab+2bc的最大值为扌.3.(2017 •广东肇庆统测)已知函数心)=|卄1|, g{x)=2\x\+a.(1)若自=0,解不等式f(x) ^g(x)；(2)若存在圧R,使得2呂3成立，求实数臼的取值范围.解(1)当日=0 时，由f(x)2g(x),得\x+l\^2\x\f两边平方，并整理得(3%+1)(1-%)>0,所以所求不等式的解集为卜一».(2)解法一:由f(/) Mg(x),得|jr+l | $2|” +日，即 | *+11 —21 x\ Ma.令F(x) = \x+l\-2\x\,依题意可得P\X)max 2 9.Fg — |x+11 —|” 一 |x| W |x+l~x\ — \x\ =1—\x\ ^1,当且仅当x=0时，上述不等式的等号同时成立，所以尸(劝啊=1.所以自的取值范围是(一8, 1].解法二：由f(x)MgCr),得 | x+11 22|”+臼，即 | x~\~ 11 —21 x\ 2 日.令F3 = |x+l | —2|x|,依题意可得F(x)max^a.1—x,F{x) = | x+11 —2| x\ =« 3x+l, —1<%<0,.x—1, xW — l,易得F(x)在(一8, 0)上单调递增，在(0, +°°)上单调递减，所以当x=0时，F(x)収得最大值，最大值为1.故已的取值范围是(一8, 1]・4.(2017 •衡阳联考)已知函数/W = k-3|.(1)若不等式的解集为空集，求实数日的取值范圉；(2)若hKl, |^|<3,且$工0,判断/ J与/(#)的大小,并说明理由.解(1)因为fix— 1) + f\x) = | x—4| + | x—i | 2 | x—4+3—” =1,不等式fd—l)+f(0〈白的解集为空集，则12$即可，所以实数白的取值范围是(一<-,证明：要证 一>£)，只需证\ab~i i\>\b —3a\,即证{ab — 3) 2> {b — 3a)2,又(臼方一3)'— (b —3a)2=a +9= (a 2—1) (Z?2—9). 因为|a|<l, |引<3,所以(”一3)2>(力一3»成立，所以原不等式成立.5. (2017 •泉州一模)已知函数 f(x) = \x+\\ + \2x-A\.(1) 解关于x 的不等式/«<9；(2) 若直线尸/〃与曲线尸fd)围成一个三角形，求实数/〃的取值范围，并求所围成的 三角形面积的最大值.解 (1)^-1,不等式可化为一以一 1一2才+4〈9,x>—2, :.—— 1 ；—1〈水2,不等式可化为/+1 — 2/+4〈9,x>—4, — 1〈水2； x22,不等式可化为 x+l+2x —4〈9,K4,・・・2W*4；综上所述，不等式的解集为U|-2<X4)・(2) f(x) = \x+l\+2\x-2\, 由题意作图如右， 结合图象可知,力(3, 6),f abhl〃（一1,6）, C（2,3）；故3<777^6,且/77=6时面积最大为gx （3+1） X3=6.6.（2018 •东北三校模拟）已矢口盘，b, c〉0, a+ b+ c=\.求证：⑴込萌;1 1 1 3⑵ 3e?+l+3Z?+l + 3c+1^2，证明⑴由柯西不等式得（込+边+&•）'= （1・y[a+ 1・y[b+ 1 •讥）V （12 + 12 + 严）[（谄）2+（羽尸+（｛；）2]=3,当且仅当即a=b=c=^时等号成立，.*.y[a+yj~l）+y[c^萌.（2）由柯西不等式得［（3 臼 +1） + （3 力 +1） +（3Q+1）］（3?+［•枸+时•祢+时・书士）= 9（当且仅当尸b=（=*时取等号X a+b+c=\f・•・6（3臼+1 + 3b+1 + 3c+1）$9，3^+l+3Z?+l+3c?+1^2。