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第三部分 大环境系统模型——环境质量基本模型计算题1、河流中稳定排放污水，污水排放量)(q 为·s -1，污水中BOD 5=30mg·L -1，河流径流量)(Q m 3·s -1，河水平均流速)(x u 为 m 3·s -1，河水BOD 5的本底浓度为 mg·L -1。
已知，BOD 5的衰减速率常数12.0-=d k ，弥散系数1210-⋅=s m D x 。
试求排放点下游10km 处BOD 5的浓度。
解（1）求起始点的5BOD 初始浓度 根据一维稳态初始浓度式，有（P36）12,c q i o Q c c Q q+=+ q —污水流量5.50.50.15300.15 5.5⨯+⨯=+11.2832()mg L -=⋅~（2）求下游10km 处的5BOD 浓度a.河流推流和弥散共同作用下的i c ,任一维稳态浓度分布公式，有：,exp 12x i i o xu xc c D ⎡⎤⎛=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦（P36）（3）30.310101.2832exp 1210⎡⎤⎛⨯⨯=-⎢⎥ ⨯⎢⎥⎝⎣⎦11.18793()mg L -=⋅ b.忽略弥散作用，只考虑推流的i c,exp i i o x kx c c u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭P36（4）()310.2/8640010101.2832exp 0.31.18791()mg L -⎡⎤⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦=⋅}由题可见，在稳态条件下，考虑和忽略弥散，两者的计算结果几乎一致，说明存在对流作用时。
纵向弥散对污染物的影响可忽略。
2、连续点源排放，源强为50g.s -1，河流水深m .h 51=，流速-130s .m .u x =，横向弥散系数-125s .m D y =，污染衰减速率常数0=k 。
试求： ⑴在无边界的情况下，)102000()(m ,m y ,x =处污染物的浓度；⑵在边界上排放，环境宽度无限大时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度； ⑶在边界上排放，环境宽度m B 100=时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度。
2。
1 如图2-34所示钢材在单向拉伸状态下的应力－应变曲线，请写出弹性阶段和非弹性阶段的σε-关系式.tgα'=E'f y 0f y 0tgα=E 图2—34 σε-图（a ）理想弹性－塑性（b ）理想弹性强化解：(1）弹性阶段:tan E σεαε==⋅非弹性阶段：y f σ=(应力不随应变的增大而变化) （2）弹性阶段：tan E σεαε==⋅ 非弹性阶段：'()tan '()tan y y y y f f f E f Eσεαεα=+-=+-2。
2如图2-35所示的钢材在单向拉伸状态下的σε-曲线，试验时分别在A 、B 、C 卸载至零，则在三种情况下，卸载前应变ε、卸载后残余应变c ε及可恢复的弹性应变y ε各是多少？2235/y f N mm = 2270/c N mm σ= 0.025F ε= 522.0610/E N mm =⨯2'1000/E N mm =f yσF图2—35 理想化的σε-图解：（1）A 点：卸载前应变：52350.001142.0610y f Eε===⨯卸载后残余应变：0c ε=可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-=（2)B 点：卸载前应变：0.025F εε==卸载后残余应变:0.02386y c f Eεε=-=可恢复弹性应变:0.00114y c εεε=-=（3）C 点: 卸载前应变:0.0250.0350.06'c yF f E σεε-=-=+=卸载后残余应变:0.05869cc Eσεε=-=可恢复弹性应变：0.00131y c εεε=-=2.3试述钢材在单轴反复应力作用下，钢材的σε-曲线、钢材疲劳强度与反复应力大小和作用时间之间的关系。
答：钢材σε-曲线与反复应力大小和作用时间关系：当构件反复力y f σ≤时,即材料处于弹性阶段时，反复应力作用下钢材材性无变化，不存在残余变形，钢材σε-曲线基本无变化；当y f σ>时，即材料处于弹塑性阶段，反复应力会引起残余变形,但若加载－卸载连续进行，钢材σε-曲线也基本无变化；若加载－卸载具有一定时间间隔，会使钢材屈服点、极限强度提高，而塑性韧性降低(时效现象）。
2.1 如图2-34所示钢材在单向拉伸状态下的应力－应变曲线，请写出弹性阶段和非弹性阶段的σε-关系式。
tgα'=E'f y 0f y 0tgα=E 图2-34 σε-图（a ）理想弹性－塑性（b ）理想弹性强化解：（1）弹性阶段：tan E σεαε==⋅非弹性阶段：y f σ=（应力不随应变的增大而变化）（2）弹性阶段：tan E σεαε==⋅非弹性阶段：'()tan '()tan y yy y f f f E f E σεαεα=+-=+-2.2如图2-35所示的钢材在单向拉伸状态下的σε-曲线，试验时分别在A 、B 、C 卸载至零，则在三种情况下，卸载前应变ε、卸载后残余应变c ε及可恢复的弹性应变y ε各是多少？2235/y f N mm =2270/c N mm σ=0.025F ε=522.0610/E N mm =⨯2'1000/E N mm =f yσ图2-35 理想化的σε-图解：（1）A 点： 卸载前应变：52350.001142.0610y f Eε===⨯卸载后残余应变：0c ε=可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-=（2）B 点：卸载前应变：0.025F εε==卸载后残余应变：0.02386y c f Eεε=-=可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-=（3）C 点： 卸载前应变：0.0250.0350.06'c yF f E σεε-=-=+=卸载后残余应变：0.05869cc Eσεε=-=可恢复弹性应变：0.00131y c εεε=-=2.3试述钢材在单轴反复应力作用下，钢材的σε-曲线、钢材疲劳强度与反复应力大小和作用时间之间的关系。
答：钢材σε-曲线与反复应力大小和作用时间关系：当构件反复力y f σ≤时，即材料处于弹性阶段时，反复应力作用下钢材材性无变化，不存在残余变形，钢材σε-曲线基本无变化；当y f σ>时，即材料处于弹塑性阶段，反复应力会引起残余变形，但若加载－卸载连续进行，钢材σε-曲线也基本无变化；若加载－卸载具有一定时间间隔，会使钢材屈服点、极限强度提高，而塑性韧性降低（时效现象）。
第十一章后习题解答1. 区别下列名词：(1) 内层与外层(2) 单齿配体与多齿配体(3) d2sp3杂化和sp3d2杂化(4) 内轨配合物和外轨配合物(5) 强场配体和弱场配体(6) 低自旋配合物和高自旋配合物解（1）配合物的内层是由中心原子提供杂化轨道，配体中配位原子提供孤对电子，通过配位键形成的配离子。
与配离子带相反电荷的离子称为配合物的外层。
（2）只含有一个配位原子的配体称为单齿配体，如NH3，H2O，OH-，F -等。
含有两个或两个以上配位原子的配体称为多齿配体，如：乙二胺，EDTA等。
（3）以2个（n-1）d轨道、1个n s轨道和3个n p轨道杂化形成6个杂化轨道，称为d2sp3杂化。
以1个n s轨道、3个n p轨道和2个n d轨道杂化形成6个杂化轨道，称为sp3d2杂化。
（4）中心原子全部用最外层轨道杂化所形成的配合物称为外轨配合物；用次外层(n-1)d轨道和最外层n s，n p轨道杂化所形成的配合物称为内轨配合物。
（5）依据配体使中心原子d轨道能级的分裂程度不同，配体有强场、弱场之分。
使d轨道能级分裂能力强的配体称为强场配体，如CN-，CO；使d轨道能级分裂能力弱的配体称为弱场配体，如H2O、F -、Cl-、Br-、I-。
（6）中心原子电子组态为d4～d7的配合物中，单电子数多的称为高自旋配合物，单电子数少的称为低自旋配合物。
强场配体形成低自旋配合物，弱场配体形成高自旋配合物。
2. 命名下列配离子和配合物，指出中心原子、配体、配位原子和配位数，写出K s的表达式(1) Na3[Ag(S2O3)2] (2) [Co(en)3]2(SO4)3(3) H[Al(OH)4] (4) Na2[SiF6](5) [PtCl5(NH3)]-(6) [Pt(NH3)4(NO2)Cl](7) [CoCl2(NH3)3H2O]Cl (8) NH4[Cr(NCS)4(NH3)2]解名称中心原子配体配位原子配位数K s表达式(1) 二(硫代硫酸根)合银(I)酸钠Ag+S2O32-S2O32-中的S2 32322223[Ag(S O)][Ag][S O]-+-(2) 硫酸三(乙二胺)合钴(Ⅲ)Co3+en en中的N6 333+3[Co(en)][Co][en]+(3) 四羟基合铝(Ⅲ)酸Al3+OH-OH-中的O4434[Al(OH)][Al][OH]-+-(4) 六氟合硅(Ⅳ)酸钠Si(Ⅳ) F-F-中的F 62646[SiF][Si][F]-+-(5) 五氯•氨合铂(Ⅳ)酸根Pt4+Cl-,NH3Cl，N 653453[Pt(Cl)(NH)][Pt][Cl][NH]-+-(6) 氯•硝基•四氨合铂(Ⅱ)Pt2+NO2-,Cl-,NH3N，Cl、N 6 2342423[PtCl(NO)(NH)][Pt][Cl][NO][NH]+--(7) 氯化二氯•三氨•水合钴(Ⅲ)Co3+Cl-,NH3,H2OCl，N，O 623323233[Co(Cl)(NH)(H O)][Co][Cl][NH]++-(8) 四(异硫氰酸根)•二氨合铬(Ⅲ)酸铵Cr3+NCS-,NH3N，N 64323423[Cr(NCS)(NH)][Cr][NCS][NH]-+-3. 什么是螯合物？螯合物有何特点？它的稳定性与什么因素有关？形成五员环和六员环的螯合物，要求配体应具备什么条件？解由中心原子与多齿配体形成有环状结构的配合物称为螯合物。
5.1 影响轴心受压稳定极限承载力的初始缺陷有哪些?在钢结构设计中应如何考虑?5.2 某车间工作平台柱高2.6m,轴心受压,两端铰接.材料用I16,Q235钢,钢材的强度设计值2215/d f N mm =.求轴心受压稳定系数ϕ及其稳定临界荷载.如改用Q345钢2310/d f N mm =,则各为多少?解答:查P335附表3-6,知I16截面特性,26.57, 1.89,26.11x y i cm i cm A cm === 柱子两端较接, 1.0x y μμ== 故柱子长细比为 1.0260039.665.7x x xli μλ⨯===,2600 1.0137.618.9y y y l i μλ⨯===因为x y λλ<,故对于Q235钢相对长细比为137.61.48λπ=== 钢柱轧制, /0.8b h ≤.对y 轴查P106表5-4(a)知为不b 类截面。
故由式5-34b得()223212ϕααλλλ⎡=++⎢⎣ ()2210.9650.300 1.48 1.482 1.48⎡=+⨯+⎢⎣⨯ 0.354=(或计算137.6λ=,再由附表4-4查得0.354ϕ=)故得到稳定临界荷载为20.35426.1110215198.7crd d N Af kN ϕ==⨯⨯⨯=当改用Q365钢时,同理可求得 1.792λ=。
由式5-34b 计算得0.257ϕ= (或由166.7λ=,查表得0.257ϕ=)故稳定临界荷载为20.25726.1110310208.0crd d N Af kN ϕ==⨯⨯⨯=5.3 图5-25所示为一轴心受压构件,两端铰接,截面形式为十字形.设在弹塑性范围内/E G 值保持常数,问在什么条件下,扭转屈曲临界力低于弯曲屈曲临界力,钢材为Q235.5.4 截面由钢板组成的轴心受压构件,其局部稳定计算公式是按什么准则进行推导得出的.5.5 两端铰接的轴心受压柱,高10m,截面为三块钢板焊接而成,翼缘为剪切边,材料为Q235,强度设计值2205/d f N mm =,承受轴心压力设计值3000kN (包括自重).如采用图5-26所示的两种截面,计算两种情况下柱是否安全.图5-26 题5.5解答:截面特性计算: 对a)截面:32394112(5002020500260)8500 1.436101212x I mm =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯ 3384112205005008 4.167101212y I mm =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯ 2250020500824000A mm =⨯⨯+⨯=244.6x i mm ==131.8y i mm==对b)截面:32384112(4002540025212.5)104009.575101212x I mm =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯ 33841122540040010 2.667101212y I mm =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯ 24002524001024000A mm =⨯⨯+⨯=199.7x i mm ==105.4y i mm==整体稳定系数的计算:钢柱两端铰接,计算长度10000ox oy l l mm == 对a)截面: 1000040.88244.6ox x x l i λ=== 1000075.87131.8ox y y l i λ=== 对b)截面: 1000050.08199.7kx x x l i λ=== 1000094.88105.4ox y y l i λ=== 根据题意,查P106表5-4(a),知钢柱对x 轴为b 类截面,对y 轴为c 类截面.对a)截面:对x 轴:40.880.440x λπ===()223212x x x x ϕααλλλ⎡=++⎢⎣()2210.9650.30.440.4420.44⎡=⨯+⨯+-⎢⨯⎣0.895=(或计算40.88λ=,再由附表4-4查得0.896xϕ)对y 轴:25.870.816y λπ===()223212y y y y ϕααλλλ⎡=++⎢⎣()2210.9060.5950.8160.81620.816⎡=⨯+⨯+⎢⨯⎣0.604=(或计算75.87λ=,再由附表4-5查得0.604yϕ)故取该柱的整体稳定系数为0.604ϕ=对b)截面,同理可求得0.852x ϕ=,0.489y ϕ=,故取该柱截面整体稳定系数为0.489ϕ= 整体稳定验算:对a)截面 0.604240002052971.68 3000 crd d N Af kN kN ϕ==⨯⨯=<不满足。
1：[论述题]16、有人说，轴心受压格构式构件绕虚轴失稳时截面产生剪力，因此需要采用换算长细比考虑剪切变形的影响；绕实轴失稳时截面不会产生剪力，因此采用与实腹式构件相同的计算方法。
你认为对吗？为什么？17、高强螺栓连接有几种类型？其性能等级分哪几级？并解释符号的含义。
参考答案：16、不对。
绕实轴失稳时截面上也会产生剪力，但由于剪切变形很小，可以忽略不计。
17、答：高强螺栓连接有两种类型：摩擦型连接和承压型连接。
高强螺栓性能等级分8.8级和10.9级。
8.8级和10.9级：小数点前数字代表螺栓抗拉强度分别不低于2/800mmN和2/1000mmN，小数点后数字表示屈强比。
2：[判断题] 15、加大梁受压翼缘宽度，且减少侧向计算长度，不能有效的增加梁的整体稳定性。
（）参考答案：错误3：[判断题]14、当梁上翼缘受有沿腹板平面作用的集中荷载，且该处又未设置支承加劲肋时，则应验算腹板计算高度上边缘的局部承压强度。
参考答案：正确4：[判断题]13、在焊接连接中，角焊缝的焊脚尺寸愈大，连接的承载力就愈高。
（）参考答案：错误5：[单选题]10、高强度螺栓摩擦型连接与高强度螺栓承压型连接主要区别是（）。
A：预拉力不同B：连接处构件接触面的处理方法不同C：采用的材料等级不同 D：设计计算方法不同参考答案：D6：[单选题]9、某工厂工作平台静重5.4kN/m2，活载2.0kN/m2，其荷载组合设计值为（）kN/m2。
A：8.97B：8.44C：9.25D：9.28参考答案：D7：[单选题]8、有四种不同厚度的Q345钢其中（）厚的钢板强度设计值最高。
A：12mmB：18mmC：36mmD：52mm参考答案：A8：[单选题]7、A或B级普通螺栓、C级普通螺栓、锚栓、高强度螺栓其性能等级应分别标示为（）。
A：5.6或8.8级、4.6或4.8级、Q235或Q345、8.8或10.9级；B：Q235或Q345、Q235、Q235或Q345、20MnTiB;C：45号钢或35号钢、Q235、Q235或Q345、40B钢；D：5.6、4.6、4.6或5.6、10.9。
结构复习题要1、验算墙、柱高厚比是为了满足（）。
A、稳定性要求B、承载力要求C、节省材料2、下列哪项措施不能提高砌体受压构件的承载力（）。
A．提高构件的高厚比B．提高块体和砂浆的强度等级C．增大构件截面尺寸D．减小构件轴向力偏心距3、钢筋砖过梁内的钢筋，在支座内的锚固长度不得小于（A．120mm B．200mm C．240mm D．370mm4、有抗震要求的砖砌体房屋，构造柱的施工（A、应先砌墙后浇筑混凝土柱B、条件许可时宜县砌墙后浇筑柱C、如混凝土柱留出马牙槎，则可先浇筑柱后砌墙。
D、如混凝土柱留出马牙槎并预留拉结钢筋，则可先浇筑柱后砌墙5、某砌体结构房屋的山墙高度为4.1m（取山墙顶和檐口的平均高度），山墙厚240mm，采用M2.5混合砂浆砌筑，墙上有1.2m宽、1.5m高的窗三扇，山墙两端房屋纵墙的距离为8.4m。
下列四个高厚比验算，哪一个是正确的？（）H o17.1A、hH o17.1C、h 1 21218.3H o17.1hB、20.7H o17.1hD、1 21222.021.96、钢筋混凝土楼盖中主梁是主要承重构件，应按（）计算。
A．塑性内力重分布B．弹性理论C．混凝土按塑性，钢筋按弹性D．混凝土按弹性，钢筋按塑7、在设计一个有抗震设防要求的框架结构中，有的设计人员在绘制施工图时，任意增加计算和构造所需的钢筋面积，认为“这样更安全”。
但是下列各条中，哪一条会由于增加了钢筋面积反而可能使结构的抗震能力降（）。
A．增加柱子的纵向钢筋面积B．增加柱子的箍筋面积C．增加柱子核心区的箍筋面积D．增加梁的箍筋面积8、一般上人平屋面的均布荷载标准值为（）kN/m2。
A．O.5 B．O.7 C．1.5 D．2.09、计算基本组合的荷载效应时，永久荷载分项系数的取值下列哪一项是对的（）。
A．任何情况下均取 1.2 B．其效应对结构不利时取 1.2C．其效应对结构有利时取 1.2 D．验算抗倾覆和滑移时取 1.210、在下列关于构造柱主要作用的叙述中，哪一项是正确的（）。
2011年课程考试复习题及参考答案钢结构设计原理一、填空题：1.钢结构计算的两种极限状态是和。
2.提高钢梁整体稳定性的有效途径是和。
3.高强度螺栓预拉力设计值与和有关。
4.钢材的破坏形式有和。
5.焊接组合工字梁，翼缘的局部稳定常采用的方法来保证，而腹板的局部稳定则常采用的方法来解决。
6.高强度螺栓预拉力设计值与和有关。
7.角焊缝的计算长度不得小于，也不得小于；侧面角焊缝承受静载时，其计算长度不宜大于。
8.轴心受压构件的稳定系数φ与、和有关。
9.钢结构的连接方法有、和。
10.影响钢材疲劳的主要因素有、和。
11.从形状看，纯弯曲的弯矩图为，均布荷载的弯矩图为，跨中央一个集中荷载的弯矩图为。
12.轴心压杆可能的屈曲形式有、和。
13.钢结构设计的基本原则是、、和。
14.按焊缝和截面形式不同，直角焊缝可分为、、和等。
15.对于轴心受力构件，型钢截面可分为和；组合截面可分为和。
16.影响钢梁整体稳定的主要因素有、、、和。
二、问答题：1.高强度螺栓的8.8级和10.9级代表什么含义？2.焊缝可能存在哪些缺陷？3.简述钢梁在最大刚度平面内受荷载作用而丧失整体稳定的现象及影响钢梁整体稳定的主要因素。
4.建筑钢材有哪些主要机械性能指标？分别由什么试验确定？5.什么是钢材的疲劳？6.选用钢材通常应考虑哪些因素？7.在考虑实际轴心压杆的临界力时应考虑哪些初始缺陷的影响？8.焊缝的质量级别有几级？各有哪些具体检验要求？9.普通螺栓连接和摩擦型高强度螺栓连接，在抗剪连接中，它们的传力方式和破坏形式有何不同？10.在计算格构式轴心受压构件的整体稳定时，对虚轴为什么要采用换算长细比？11.轴心压杆有哪些屈曲形式？12.压弯构件的局部稳定计算与轴心受压构件有何不同？13.在抗剪连接中，普通螺栓连接和摩擦型高强度螺栓连接的传力方式和破坏形式有何不同？14.钢结构有哪些连接方法？各有什么优缺点？15.对接焊缝的构造有哪些要求？16.焊接残余应力和焊接残余变形是如何产生的？焊接残余应力和焊接残余变形对结构性能有何影响？减少焊接残余应力和焊接残余变形的方法有哪些？17.什么叫钢梁丧失整体稳定？影响钢梁整体稳定的主要因素是什么？提高钢梁整体稳定的有效措施是什么？18.角焊缝的计算假定是什么？角焊缝有哪些主要构造要求？19.螺栓的排列有哪些构造要求？20.什么叫钢梁丧失局部稳定？怎样验算组合钢梁翼缘和腹板的局部稳定？三、计算题：1.一简支梁跨长为5.5m，在梁上翼缘承受均布静力荷载作用，恒载标准值为10.2kN/m（不包括梁自重），活载标准值为25kN/m，假定梁的受压翼缘有可靠侧向支撑。
第二章混凝土结构的设计方法一、填空题1、结构的、、、统称为结构的可靠性。
2、当结构出现或或或状态时即认为其超过了承载力极限状态。
3、当结构出现或或或状态时即认为其超过了正常使用极限状态。
4、结构的可靠度是结构在、、完成的概率。
5、可靠指标 = ，安全等级为二级的构件延性破坏和脆性破坏时的目标可靠指标分别是和。
6、结构功能的极限状态分为和两类。
7、我国规定的设计基准期是年。
8、结构完成预定功能的规定条件是、、。
9、可变荷载的准永久值是指。
10、工程设计时，一般先按极限状态设计结构构件，再按极限状态验算。
二、判断题1、结构的可靠度是指：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率值。
2、偶然作用发生的概率很小，持续的时间很短，但一旦发生，其量值可能很大。
3、钢筋强度标准值的保证率为97.73%。
HPB235级钢筋设计强度210N/mm2，意味着尚有2.27%的钢筋强度低于210N/mm2。
4、可变荷载准永久值：是正常使用极限状态按长期效应组合设计时采用的可变荷载代表值。
5、结构设计的基准期一般为50年。
即在50年内，结构是可靠的，超过50年结构就失效。
6、构件只要在正常使用中变形及裂缝不超过《规范》规定的允许值，承载力计算就没问题。
7、某结构构件因过度的塑性变形而不适于继续承载，属于正常使用极限状态的问题。
8、请判别以下两种说法的正误：(1)永久作用是一种固定作用；(2)固定作用是一种永久作用。
9、计算构件承载力时，荷载应取设计值。
10、结构使用年限超过设计基准期后，其可靠性减小。
11、正常使用极限状态与承载力极限状态相比，失效概率要小一些。
12、没有绝对安全的结构，因为抗力和荷载效应都是随机的。
13、实用设计表达式中的结构重要性系数，在安全等级为二级时，取00.9γ=。
14、在进行正常使用极限状态的验算中，荷载采用标准值。
15、钢筋强度标准值应具有不少于95%的保证率。
16、结构设计的目的不仅要保证结构的可靠性，也要保证结构的经济性。
第11章 结构的稳定计算习题解答习题11.1 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。
（ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。
（ ）（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。
（ ）（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。
（ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。
（ ）【解】（1）错误。
能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。
（2）错误。
既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。
（3）错误。
在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（4）正确。
一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。
（5）正确。
（6）错误。
习题 12.2 填空题（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。
（2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。
（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y (x )必须满足 条件，并尽量满足 条件。
（4）利用对称性，求习题11.2（4）图所示结构的临界荷载F Pcr ＝ 。
习题11.2（4）图（5）习题11.2（5）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（5）图（b ）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k ＝ 。
1=l3EI(a) (b)习题11.2（5）图（6）习题11.2（6）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（6）图（b ）计算，则抗移动弹簧刚度系数k 1＝ ，抗转动弹簧刚度系数k 2＝ 。
(a)(b)习题11.2（6）图【解】（1）二重性。
（2）大。
（3）位移边界；力的边界。
（4）22l EIπ。
该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。
（5）lEI 。
（6）33lEI ；l EI 3。
习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。
(a) (b) (c)习题11.3图【解】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a ）图所示。
由∑=0AM得P (3)0F kl y -= ∴Pcr 13F kl =(c)习题解11.3图（2）给出失稳形式，如习题解11.3（b）图所示。
由∑=0AM得P(2)0kl F y-=∴Pcr12F kl=（3）给出失稳形式，如习题解11.3（c）图所示。
先求得支反力：PR124FF k yl⎛⎫=+⎪⎝⎭由∑=0AM得P56kl F y⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr56F kl=习题11.4用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。
k为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。
习题11.4图【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。
分析AC，由0CM=∑得P20yk F yl⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭P 20k F y l ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr 2kF l=习题解11.4图习题11.5 用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。
(a) (b)习题11.5图【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a ）图所示。
弹性支承刚度系数为(a)(b)习题解11.5图33623l EIl EI k =⨯=可求得Pcr 2132EI F kl l== （2）原体系可简化为习题解11.3（b ）图所示。
弹性支承刚度系数为4EIk l=可求得Pcr 4k EI F h lh== 习题11.6 用能量法重做习题11.3（c ）。
【解】 变形能 21111222522223372U ky y ky y ky =⨯⨯+⨯⨯= 荷载势能P P U F ∆=-，其中2221153()2()232212y y l l y l l l∆=⋅+⋅=总势能P P E U U =+由P d 0d E y =及0y ≠得P 25507212k F l-= ∴Pcr 56F kl =习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。
EI /l (抗转动刚度)(1)(2)(3) (4)(5)习题11.7图【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。
微分方程为 P P 1()2EIy M F y F x θ''=-=-+ 或 2212y y x ααθ''+=- 其中 2PF EIα=该微分方程的通解为x x B x A y θαα21sin cos -+= 代入边界条件：0, 0; , 0; , x y x l y x l y θ'======- 所得齐次方程中，由θ,,B A 不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得tan 0l l αα+=P习题解11.7（1）图（2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。
微分方程为P ()EIy M F y k θ''=-=--或 22P , F ky y EI EIαθα''+== 通解为Pcos sin ky A x B x F ααθ=++。
代入边界条件：0, 0; 0, ; , 0x y x y x l y θ''====== 由θ,,B A 不全为零的条件，整理后得1tan 04l l αα+=习题解11.7（2）图（3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b ）图所示。
微分方程为P(a)(b)习题解11.7（3）图P ()EIy M F y k x δ''=-=--或 22P , F k y y x EI EIδαα''+== 通解为 Pcos sin k y A x B x x F δαα=++由边界条件 0, 0; , ; , 0x y x l y x l y δ'====== 得稳定方程为333()1tan ()12l l l EI l l kl ααααα=-=-（4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（4）（b ）图所示。
微分方程为（a）P4EIlk=习题解11.7（4）图PEIy M F y''=-=-22P0,Fy yEIαα''+==该方程的通解为xBxAyααsincos+=由边界条件,; ,x l y x l yδθ'====得稳定方程为4tan=llαα（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD求出。
（a ）FEI3l4k= =M(b) 图习题解11.7（5）图分析ACD，如习题解11.7（5）（b）图所示。
在A点加单位力偶并作M图，图乘得柔度系数为EIl34=δ则弹性支承的刚度系数为lEIk431==δ该题的稳定方程为43tan==EIklllαα习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数33l EI k =，设失稳曲线为(1cos )2xy l πδ=-。
习题11.8图【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 sin22xy llπδπ'=，22cos 42xy llππδ''=42222330113()d 22264lEI EI U k EI y x l l πδδδ''=+=+⎰222P P P P 01()d 216lF U F F y x lπ∆δ'=-=-=-⎰由P d()0d U U δ+=及0δ≠得Pcr 24.9F EI l=习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。
已知各杆长为l ，EI ＝常数。
习题11.9图【解】（1）对称失稳2Pcr 2EIF l π=对称（2）反对称失稳F (a)(b)M (c) 图习题解11.9图取半结构分析，如习题解11.9（a ）图所示，可等效为习题解11.9（b ）图进行分析。
其中，弹性支承的刚度系数k ，可先由习题解11.9（c ）图所示弯矩图自乘求得柔度系数δ后，取倒数而得，为3221122122323l l l l l EI EI EIδ=⨯⨯+⨯⨯=故31lEIk ==δ在习题解11.9（b ）图中，由∑=0AM得P ()0F kl ∆-= 由此，反对称失稳时的临界荷载为Pcr 2=EI F kl l=反对称 经比较，原结构的临界荷载为Pcr Pcr 2EI F F l ==反对称 习题11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。
习题11.10图【解】（1）对称失稳(b)(d)lF (a)(c)EIl 3EIl k=习题解11.10图对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（a ）图所示。
将其等效为习题解11.10（b ）图分析，求得稳定方程为22)(1)(1tan l lEIkll l l ααααα+=+=（2）反对称失稳反对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（c ）图所示。
将其等效为习题解11.10（d ）图分析，求得稳定方程为3tan ==EIkll l αα 习题11.11 试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。
设失稳时基础绕D 点转动，地基的抗转刚度系数为k 。
习题11.11图【解】计算简图如习题解11.11（a ）图所示，失稳形式如习题解11.11（b ）图所示。
（a）F （b）P=∞习题解11.11图由0DM=∑即P ()F a k δθθ+=求得P()ka F δθ=-。
微分方程为P EIy M F y ''=-=-22P0, F y y EIαα''+==通解为 x B x A y ααsin cos +=代入边界条件： 0, 0; , ; , x y x l y x l y δθ'====== 求得稳定方程为2tan ()l a kl l l l EI ααα⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
