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第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数第1课时 正弦基础题知识点1 已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若AB ＝5，BC ＝3，则sinA ＝(A)A.35B.45C.34D.432．(2018·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于(A)A.35B.45C.34D.433．(教材P65练习T2变式)将Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A)A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定4．如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为513． 5．分别求出图1，图2中∠A ，∠B 的正弦值.图1 图2解：图1中AC ＝AB 2－BC 2＝62－22＝42， ∴sinA ＝BC AB ＝26＝13，sinB ＝AC AB ＝426＝223.图2中AB ＝AC 2＋BC 2＝（6）2＋（2）2＝22， ∴sinA ＝BC AB ＝222＝12，sinB ＝AC AB ＝622＝32.6．(教材P64练习T1变式)如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sinA 和sinB 的值．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)， ∴b ＝c 2－a 2＝5k.∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D)A ．4B ．6C ．8D ．108．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC ＝0.8，则BC ＝6．9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， AB ＝15，sinA ＝BC AB ＝45，∴BC ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝152－122＝9. ∴△ABC 的周长为9＋12＋15＝36. 易错点 点的位置不确定10．(分类讨论思想)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 5或13中档题11．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值为(C)A.23B.43C.34D.3512．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A)A.53B.255C.52D.2313．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinC 的值为(B)A.23B.21313C.31313D.131314．如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP ＝35．15．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1.如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α516．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．解：∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，sinA ＝DE AD ，即35＝DE10.解得DE ＝6.∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)．17．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求sin ∠OPA 的值．解：作OC ⊥AB 于点C. 根据垂径定理，得 AC ＝BC ＝4.(cm)∴CP ＝4＋2＝6(cm)．在Rt △OAC 中，根据勾股定理，得 OC ＝OA 2－AC 2＝52－42＝3(cm)． 在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OP ＝OC 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm)． 故sin ∠OPA ＝OC OP ＝335＝55.综合题18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝(D)A.34 B.43C.35D.45第2课时 锐角三角函数基础题知识点1 余弦1．(2017·湖州)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosB 的值是(A)A.35B.45C.34D.432．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A ．4B ．2 5C.181313D.1213133．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是(D)A.34B.43C.35D.454．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则AB ＝10，cosA ＝35.知识点2 正切5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanB ＝32，BC ＝23，则AC 等于(C) A ．4 5B ．4C ．3D ．66．(2018·广州)如图，旗杆高AB ＝8 m ，某一时刻，旗杆影子长BC ＝16 m ，则tanC ＝12．7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm 58．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD 的值．解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.又∵∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tanA ＝BC AC ＝25＝255.∴tan ∠BCD ＝tanA ＝255.知识点3 锐角三角函数9．(2017·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列四个选项中，错误的是(C)A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110．(2018·滨州)在△ABC 中，∠C ＝90°.若tanA ＝12，则sinB 511．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sinA ，cosA ，tanA 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.中档题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是(D)A.13B ．3C.24D ．2 213．(2018·河北考试说明)如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A ，关于∠A 的锐角三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(A)A ．sinA 的值越大，梯子越陡B ．cosA 的值越大，梯子越陡C ．tanA 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的锐角三角函数值无关14．如图，以O 为圆心，1为半径的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是弧上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C)A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为(D)A. 3B.55C.255D ．216．(转化思想)(2018·河北考试说明)如图，∠1的正切值等于13．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点，连接CD.如果AD ＝1，那么tan ∠BCD18．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB 的值．解：在Rt △ACD 中， CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32， 即AD ＝4.又∵AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.综合题19．(2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是(B)A ．2B ．3C ．4D ．520．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处．如果AB BC ＝23，那么tan ∠DCF 2提示：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知，CF ＝BC ，∴CD CF ＝23. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.21．如图所示，正方形ABCD 边长为2，点E 在CB 的延长线上，BD ＝BE ，则tan ∠BAE 的值为(C)A.22B ．1C. 2D ．2 2第3课时 特殊角的锐角三角函数值基础题知识点1 特殊角的锐角三角函数值 1．tan60°的值等于(D)A.12B.33C.32D. 3 2．(2018·河北第二次模拟大联考)cos30°的相反数是(C)A ．－12B ．－33C ．－32D ．－223．(2018·白银)计算：2sin30°＋(－1)2 018－(12)－1＝0． 4．计算：tan45°＋2cos45°＝2.5．在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ＝1. 6．(教材P67练习T1变式)计算：(1)sin30°＋cos45°；解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan45°； 解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12.(3)sin 260°＋cos 260°；解：原式＝(32)2＋(12)2＝1.(4)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由锐角三角函数值求特殊角7．(2018·河北考试说明)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cosB ＝12，那么sinA 的值是(B)A ．1B.12C.32D.228．(2018·河北模拟)在△ABC 中，若|cosA －32|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是(D) A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°9．如果在△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形知识点3 用计算器计算锐角三角函数值10．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)11.已知sinA ＝0.370 6，则锐角A ＝21.75°.(保留两位小数)12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．(结果保留四位小数)解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0， cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.中档题13．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于(C)A.12B.22C.32D. 314．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为(C)A ．(2，1)B ．(1，2)C ．(2＋1，1)D ．(1，2＋1)15．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC ＝120°，则tanA 的值为(A)A. 3B.33C.32D.2216．式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是0．17．(2017·烟台)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．18．正比例函数y ＝33x 的图像与x 轴的夹角为α，则α＝30°． 19．计算：(1)8×sin45°－2 0180＋2－1； 解：原式＝22×22－1＋12＝2－1＋12＝32.(2)|－3|＋2sin45°＋tan60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1 ＝3＋1＋3＋3－23＋1 ＝5.20．已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－3tan(α＋15°)的值．解：解方程x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－3. ∵tan α＞0，∴tan α＝1.∴α＝45°.∴2sin 2α＋cos 2α－3tan(α＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan(45°＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan60° ＝2×(22)2＋(22)2－3× 3 ＝－32.综合题21．如图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝30°，延长CD 到点A ，连接AB ，∠A ＝15°，求tan 15°的值．(结果保留根号，提示：12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－3)解：∵∠A ＝15°，∠BDC ＝30°， ∴∠ABD ＝∠BDC －∠A ＝15°. ∴AD ＝BD.设BC ＝x ，在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝30°， ∴BD ＝2BC ＝2x ，DC ＝BD 2－BC 2＝3x. ∴AD ＝BD ＝2x ，AC ＝AD ＋DC ＝(2＋3)x.在Rt △ABC 中，tan15°＝BC AC ＝x（2＋3）x＝2－ 3.22．如图为张小亮的答卷，他的得分应是(C)姓名__张小亮__ 得分 __？__填空(每小题20分，共100分)①sin30°＝12．②tan30°－13－1．③若∠α的补角为135°，则cos α2④若钝角α满足3tan(α＋20°)＝1，则∠α＝30°． ⑤在sin60°，3.14，π，0中，无理数的个数为2．A ．100分B ．80分C ．60分D ．40分河北常考点专题(六) 求锐角三角函数值的常用方法方法1 定义法直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可．1．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE.若BE ＝5，BC ＝6，则cosC ＝35．2．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PC 经过圆心且与该圆相交于点B ，C 两点．若PA ＝4，PB ＝2，则sinP ＝35．方法2 设参数法若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)A.32B.23C.62D.634．(2018·枣庄)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 (A)A.24B.14C.13D.235．(2018·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE106．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝FE.在Rt△ACE和Rt△AFE中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ，∴Rt △ACE ≌Rt △AFE(HL)． (2)由(1)可知△ACE ≌△AFE ， ∴AC ＝AF.设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，∴AB ＝3m. ∴BC ＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m.∴在Rt △ABC 中，tanB ＝AC BC ＝2m 5m ＝25.在Rt △EFB 中，EF ＝BF ·tanB ＝2m 5，∴CE ＝EF ＝2m 5.在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC ＝2m52m ＝55，∴tan ∠CAE ＝55.方法3 等角转换法若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值．7．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处．若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则tanB ′的值为(B)A.12B.13C.14D.248．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝(D)A.12B.34C.45D.359．(2018·河北模拟)将一张矩形纸片ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8.则sin ∠C ′ED 的值为(B)A ．2B.12C.22D.3210.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．11.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC ＝90°， ∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠CFG ＝90°. ∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝90°. ∴∠AGD ＝∠CFD.又∵∠ADG ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， ∠DCF ＋∠CDE ＝90°， ∴∠ADG ＝∠DCF. 在△DCF 和△ADG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC ＝∠AGD ，∠DCF ＝∠ADG ，DC ＝AD ，∴△DCF ≌△ADG(AAS)．(2)设正方形ABCD 的边长为2a. ∵点E 是AB 的中点， ∴AE ＝12×2a ＝a.在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（2a ）2＋a 2＝5a ， ∴sin ∠ADG ＝AE DE ＝a 5a ＝55.∵∠ADG ＝∠DCF ＝α， ∴sin α＝55. 方法4 构造直角三角形若要求三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决．12．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin ∠AOB 的值等于(A)A.55 B.52 C.32 D.1213．(2018·河北沧州期末)如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为(C)A.102B.32C.55D.2314．(2017·贵港)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，连接AP ′，则sin ∠PAP ′的值为35．28.2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形基础题知识点1 已知两边解直角三角形1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C)A ．计算tanA 的值求出B ．计算sinA 的值求出C ．计算cosA 的值求出D ．先根据sinB 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2.(2017·日照)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sinA 的值为(B)A.513B.1213C.512D.1253.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B b4.(教材P73例1变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知BC ＝＝解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°， AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)解直角三角形5.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B)A ．10tan50°B ．10cos50°C ．10sin50°D.10cos50°6.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B) A ．4.5 cm 2B ．9 3 cm2C ．18 3 cm 2D ．36 cm 27.(2017·广州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，则AB ＝17．8.(教材P73例2变式)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形． 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∴b ＝12c ＝4 3.∵sinA ＝ac，∴a ＝c ·sinA ＝83×sin60°＝83×32＝12. 9.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∵∠B ＝55°，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. ∵tanB ＝ACBC ，∴BC ＝AC tanB ＝4tan55°≈2.8. ∵sinB ＝ACAB ，∴AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9. 易错点 忽视钝角三角形而漏解10．(分类讨论思想)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B ＝30°，则∠C ＝60°或120°，BC ＝2或4．中档题11．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是(A)A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2Rsin36°C ．a ＝2rtan36°D ．r ＝Rcos36°12．在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cosB ＝22，则BC 边的长为(D) A ．7 B ．8C ．8或17D ．7或1713．(2018·河北考试说明)如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，AD ＝5，sinA ＝45，E 是DC 上一点，且BE ＝BC ，则DE 的长为2．14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠DAB ＝∠CDB ＝90°，∠ABD ＝45°，∠DCA ＝30°，AB ＝6，则AE ＝2．15．(2018·河北考试说明)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD.求AC的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝12，∴AC ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2.解得x ＝5. ∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝6.求：(1)sinC 的值；(2)AC 边上的高BD 的长．解：(1)作AE ⊥BC 交BC 于点E. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC ＝3. 在Rt △AEC 中，AE ＝92－32＝62，∴sinC ＝AE AC ＝629＝223.(2)在Rt △BDC 中，sinC ＝BDBC ，∴BD 6＝223.∴BD ＝4 2. 综合题17．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A ＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；图1 图2应用：如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．解：探究：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D. ∵AB ＝c ，∠A ＝α，∴BD ＝c ·sin α.∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12bcsin α.应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α＝ECCO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝12b.∴S △BCD ＝12CE ·BD＝12×12asin α×b ＝14absin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12absin α.河北必考点专题(七) 与解直角三角形有关的综合类型1 三角形、四边形中的三角函数1.如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3B.163C.203D.1652．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是2．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝65．4．(2017·石家庄模拟)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A ，C 分别落在点A ′，C ′处，并且点A ′，C ′，B 在同一条直线上，则tan ∠ABA 25．如图，在正方形ABCD 中，DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F.若AF ＝2，四边形ABED 的面积为24，则sin ∠EBF 136．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，则sin ∠B ′EC 的值为2425．7．(2018·石家庄新华区二模)如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A ，O ，B ，C 均在格点上．当菱形的边长为1且∠AOB ＝60°时，则有AB sin ∠ABC 148．(2018·邢台宁晋县模拟)已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5.若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45.求：(1)cos ∠ABC 的值； (2)AC 的长．解：(1)在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD ＝90°，∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACD.∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45.(2)在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k.由BE ∶AB ＝3∶5， 知BE ＝3k.则CE ＝k.∵CE ＝2， ∴k ＝2，AC ＝3 2.9．(分类讨论思想)(2017·河北改编)平面内，如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，tanA ＝43，点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的大小；(2)当tan ∠ABP ∶tanA ＝3∶2时，求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号)． 解：(1)如图1，①当点Q 在▱ABCD 内时，∠AP ′B ＝180°－∠Q ′P ′B －∠Q ′P ′D ＝180°－90°－10°＝80°. ②当点Q 在▱ABCD 外时，∠APB ＝180°－(∠QPB －∠QPD)＝180°－(90°－10°)＝100°. 综上所述，当∠DPQ ＝10°时，∠APB 为80°或100°.图1图2(2)如图2，连接BQ ，作PE ⊥AB 于点E.∵tan ∠ABP ∶tanA ＝3∶2，tanA ＝43，∴tan ∠ABP ＝2.在Rt △APE 中，tanA ＝PE AE ＝43，设PE ＝4k ，则AE ＝3k.在Rt △PBE 中，tan ∠ABP ＝PEEB ＝2，∴EB ＝2k. ∴AB ＝5k ＝10. ∴k ＝2.∴PE ＝8，EB ＝4.∴PB ＝82＋42＝4 5.∵△BPQ 是等腰直角三角形，∴BQ ＝2PB ＝410. 类型2 圆中的三角函数10.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E.若∠A ＝30°，则sinE 的值为(A)A.12B.22C.32D.3311.如图，已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC ＝4，则sinB 的值为23．12．(分类讨论思想)(2018·石家庄裕华区一模)如图1、图2，在圆O 中，OA ＝1，AB ＝3，将弦AB 与弧AB 所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B 顺时针旋转α度(0≤α≤360)，点A 的对应点是A ′.(1)点O 到线段AB 的距离是12；∠AOB ＝120°；点O 落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是30°≤α≤60°；(2)如图3，线段A ′B 与优弧ACB 的交点是D ，当∠A ′BA ＝90°时，说明点D 在AO 的延长线上； (3)当直线A ′B 与圆O 相切时，求α的值并求此时点A ′运动路径的长度．解：(2)连接AD ，∵∠A ′BA ＝90°， ∴AD 为直径．∴D 在AO 的延长线上．(3)①当A ′B 与⊙O 相切，∴∠OBA ′＝90°.此时∠ABA ′＝90°＋30°＝120° 或∠ABA ′＝90°－30°＝60° ∴α＝120°或300°. ②当α＝120°时，A ′运动路径的长度＝120·3180＝233π.当α＝300°时，A ′运动路径的长度＝300π·3180＝533π.13．(分类讨论思想)(2018·河北)如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧AB ︵，使点B 在O 右下方，且tan ∠AOB ＝43，在优弧AB ︵上任取一点P ，且能过P 作直线l ∥OB 交数轴于点Q.设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP.(1)若优弧AB ︵上一段AP ︵的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值； (2)求x 的最小值，并指出此时直线l 与AB ︵所在圆的位置关系； (3)若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值．解：(1)由题意知，r ＝OA ＝26，AP ︵的长为＝13π， ∴n πr 180＝n π×26180＝13π， ∴n ＝90°.∴∠AOP ＝90°. ∵l ∥OB ，∴∠PQO ＝∠AOB. ∵tan ∠AOB ＝43，∴tan ∠PQO ＝43.∴Rt △POQ 中，PO OQ ＝43，即26OQ ＝43.∴OQ ＝392，故x ＝392.(2)l 与AB ︵所在圆相切时，OP ⊥l ，l ∥OB ，OP ＝26，∠AOB ＝∠OQP ， ∴tan ∠AOB ＝tan ∠OQP ＝43，PO PQ ＝43，∴QP ＝392.在Rt △POQ 中，PQ 2＋OP 2＝OQ 2，即(392)2＋262＝OQ 2.∴OQ ＝32.5.∴x min ＝－32.5. (3)31.5，－31.5，－16.5.周测(28.1～28.2.1)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是(B)A ．sinA ＝ACABB ．sinA ＝BCABC ．sinA ＝ACBCD ．sinA ＝BCAC2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝2，AC ＝1，则tanA 的值为(D)A.12B.32C.33D. 33．计算sin 245°＋cos30°tan60°，其结果是(A) A ．2B ．1C.52D.544.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，b ＝12，c ＝13，下列结论成立的是(C)A ．sinA ＝125B ．cosA ＝513C ．tanA ＝512D ．cosB ＝12135.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则边AC 的长是(A)A. 5B ．3C.43D ．136.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D.若BD ∶CD ＝3∶2，则tanB 的值为(D)A.32B.23C.62D.637.如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD ＝13 cm ，cosB ＝513，则AC 的长等于(D)A ．5 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm8.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α－cos α＝(D)A.513 B ．－513C.713 D ．－713二、填空题(每小题4分，共24分)9.计算：(π－3.14)0＋tan6010.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值511.如图，将∠AOB 放在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12．12.如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α，则tan α＝34．13.如果等腰三角形的三边长分别为1，1，3，那么它的一个底角为30°．14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A ′处．若EA ′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 10三、解答题(共44分) 15．(9分)计算：(1)cos45°sin45°－tan45°；解：原式＝2222－1 ＝1－1 ＝0.(2)tan45°sin 260°－4sin30°cos45°＋6tan30°； 解：原式＝1×(32)2－4×12×22＋6×33＝34－2＋ 2 ＝34. (3)(－1)2 019＋2sin60°＋(π－3.14)0＋|－3|.解：原式＝－1＋2×32＋1＋ 3 ＝－1＋3＋1＋ 3 ＝2 3.16．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求tanB ，cosB ，sinB 的值．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D. ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10. ∴BD ＝DC ＝12BC ＝5.在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2－BD 2＝12.∴sinB ＝AD AB ＝1213，cosB ＝BD AB ＝513，tanB ＝AD BD ＝125.17．(12分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D，E 分别在AC ，AB 上，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，AE ＝6，cosA ＝35.求：(1)DE ，CD 的长； (2)tan ∠DBC 的值．解：(1)∵DE ⊥AB ，cosA ＝35，∴AE AD ＝35.又∵AE ＝6，∴AD ＝10.∴DE ＝8.又∵BD 平分∠ABC ，∠C ＝∠DEB ＝90°， ∴CD ＝DE ＝8，即DE ＝8，CD ＝8.(2)由(1)知AC ＝AD ＋DC ＝10＋8＝18， cosA ＝AC AB ＝35，∴18AB ＝35，解得AB ＝30.∴BE ＝AB －AE ＝30－6＝24.在Rt △BCD 和Rt △BED 中，BD ＝BD ，CD ＝DE ， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED.∴BC ＝BE ＝24， ∴tan ∠DBC ＝CD BC ＝824＝13.18．(14分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，ED ，AC 的延长线交于点F.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EB ＝32，且sin ∠CFD ＝35，求⊙O 的半径与线段AE 的长．解：(1)证明：连接OD ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACD. ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD. ∴∠B ＝∠ODC ，∴OD ∥AB. ∵DE ⊥AB ，∴OD ⊥EF. 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)在Rt △ODF 中，sin ∠OFD ＝OD OF ＝35，设OD ＝3x(x>0)，则OF ＝5x ， ∴AB ＝AC ＝6x ，AF ＝8x.在Rt △AEF 中，∵sin ∠AFE ＝AE AF ＝35，∴AE ＝35×8x ＝245x.∵BE ＝AB －AE ＝6x －245x ＝65x ，∴65x ＝32，解得x ＝54. ∴AE ＝245×54＝6，OD ＝3×54＝154，即⊙O 的半径为154，线段AE 的长为6.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1.如图，已知AC ＝100 m ，∠B ＝30°，则B ，C 两地之间的距离为(A)A.100 3 mB.50 2 mC.50 3 mD.10033m2．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA ＝35°，则小河宽PA 等于(C)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米3．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34，则梯子AB 的长度为4米．4．如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP ＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP ＝Rsin α－R ．5．(2017·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)解：过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ＝1.2米， ∴AC ＝sin ∠AOC ·AO ≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙． 知识点2 利用视角解直角三角形6．(教材P78习题T3变式)如图，飞机在空中A 处探测到它的正下方地面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1 200米，从飞机上看地面指挥台B 的俯角α的正切值为34，则飞机与指挥台之间的距离AB 为(D)A.1 200米B.1 600米C.1 800米D.2 000米7．(教材P75例4变式)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则 BD ＝CD ＝9米， ∴AD ＝CD ·tan37°＝6.75米． ∴AB ＝AD ＋BD ＝15.75米． 整个过程中国旗上升高度是： 15．75－2.25＝13.5(米)， ∵耗时45秒，∴上升速度为13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．中档题8．(2018·广西)如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120 m ，则乙楼的高CD 是结果保留根号)9．(2018·菏泽)2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为30°，B 处的俯角为45°.若此时直升机镜头C 处的高度CD 为200 m ，点A ，B ，D 在同一条水平直线上，则A ，B 两点间的距离为多少米？(结果保留根号)解：由图可知，∠ECA ＝30°，∠ECB ＝45°， ∴∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°. 在Rt △BCD 中，DC ＝BD ＝200 m. 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ADDC ，∵∠ACD ＝60°，DC ＝200 m ，∴AD ＝tan60°·DC ＝200 3 m. ∴AB ＝AD －BD ＝(2003－200)m.答：A ，B 两点间的距离为(2003－200)m.10．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：作AD ⊥BC 于点D ，BH ⊥水平线于点H.由题意，得∠ACH ＝75°，∠BCH ＝30°，AB ∥CH ， ∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°. ∵AB ＝32 m ，∴AD ＝CD ＝16 m ，BD ＝AB ·cos30°＝16 3 m. ∴BC ＝BD ＋CD ＝(163＋16)m. ∴BH ＝BC ·sin30°＝(83＋8)m.答：这架无人机的飞行高度是(83＋8)m.11．(2018·内江)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34.求灯杆AB 的长度．解：过点B 作BF ⊥CE 于点F ，过点A 作AG ⊥BF 于点G.则∠CAG ＝90°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝30°.设AB ＝x ，则BG ＝x 2，AG ＝32x.∴BF ＝x2＋11.∵DE ＝18，DF ＝BF tan α，EF ＝BFtan β，∴x 2＋116＋x 2＋1134＝18.∴x ＝2.答：灯杆AB 的长度为2米．综合题12.如图，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A 到最高点B 的距离为103米，A ，B 两点正前方有垂直于地面的旗杆DE ，在A ，B 两点处用仪器测量旗杆顶端E 的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角)．(1)求AE 的长；(2)已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F 点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？解：(1)∵BG ∥CD ，∴∠GBA ＝∠BAC ＝30°. 又∵∠GBE ＝15°，∴∠ABE ＝45°. ∵∠EAD ＝60°，∴∠BAE ＝ 90°.∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°.∴AB ＝AE ＝103米． 答：AE 的长为103米．(2)在Rt △ADE 中，DE ＝AE ·sin60°＝103×32＝15(米)，又∵DF ＝1米， ∴FE ＝14米．∴时间t ＝140.5＝28(秒)．答：这面旗到达旗杆顶端需要28秒．第2课时 与方位角有关的解直角三角形应用题基础题知识点 与方位角有关的应用问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A)A ．250米B ．2503米 C.50033米D ．5002米2．(2018·河北模拟)如图，在距离铁轨200米处的B 处观察由东向西的动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处北偏西45°方向上，则这时段动车的平均速度是(A)A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒3．(教材P77练习T1变式)(2018·成都)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C 位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：由题意可知：∠ACD ＝70°，∠BCD ＝37°，AC ＝80海里． 在Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ，∴0.34＝CD80.∴CD ＝27.2海里．在Rt △BCD 中，tan ∠BCD ＝BD CD ，∴0.75＝BD27.2.∴BD ＝20.4海里．答：还需航行的距离BD 的长为20.4海里．中档题4．(2018·青岛)某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC ＝840 m ，BC ＝500 m ．请求出点O 到BC 的距离．(参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247)解：由点O 分别向BC ，AC 作垂线，垂足为D ，E ，则四边形OECD 为矩形．设OD ＝x.在Rt △ODB 中， ∠ODB ＝90°， ∵tan ∠OBD ＝ODBD ，∴BD ＝OD tan ∠OBD ＝724x ，CD ＝500－724x.AE ＝AC －EC ＝840－x.又∵∠OAC ＝45°，∠OEA ＝90°， ∴OE ＝AE ＝840－x.∴840－x ＝500－724x.解得x ＝480.答：点O 到BC 的距离为480米．5．(2018·河北考试说明)如图，油井A 位于油库P 南偏东75°方向，主输油管道AP ＝12 km ，一新建油井B 位于P 的北偏东75°方向，且位于A 的北偏西15°方向．(1)∠PBA ＝90°； (2)求A ，B 间的距离；(3)要在AP 上选择一个支管道连接点C ，使从B 到C 处的支输油管道最短，求这时BC 的长．(结果保留根号) 解：(2)在Rt △APB 中，∠PBA ＝90°，∠BPA ＝180°－75°－75°＝30°，AP ＝12，∴AB ＝12AP ＝12×12＝6.∴A ，B 间的距离是6 km.(3)要使B 到C 的管道最短，则BC ⊥PA 于点C. ∵∠BPA ＝30°，∠PBA ＝90°，∴∠PAB ＝60°. 在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·sin ∠BAC ＝6×32＝33，∴BC 的长是3 3 km.第3课时 与坡度、坡角有关的解直角三角形应用题基础题知识点 与坡度、坡角有关的应用问题1.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i ＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(C)A ．sin α＝16B ．cos α＝16C ．tan α＝16D ．以上都不对2.如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，小辰上升了100米．3.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．若改动后电梯的坡面长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米．4．(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A 点10米处有一建筑物HQ ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°.若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？(计算最后结果保留一位小数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：由题意，得AH ＝10米，BC ＝10米，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，∴AB ＝BC ＝10(米)． 在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°， ∴DB ＝BCtan ∠CDB＝103(米)．∴DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)． ∵2.7＜3，∴该建筑物需要拆除．中档题5．(2018·重庆A 卷)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡面CD 的坡度i ＝1∶0.75，坡长CD ＝2米．若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1米，则旗杆AB 的高度约为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)(B)A ．12.6米B ．13.1米C ．14.7米D ．16.3米6.如图，天星山山脚下西端A 处与东端B 处相距800(1＋3)米，小军和小明同学分别从A 处和B 处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22米/秒．若小明与小军同时到达山顶C 处，则小明的行走速度是1米/秒．7.(2018·连云港)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD ，∠ABC ＝37°，坝顶DC ＝3 m ，背水坡AD 的坡度i(即tan ∠DAB)为1∶0.5，坝底AB ＝14 m.(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE ＝2DF ，EF ⊥BF ，求DF 的长．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)解：(1)过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ， ∵背水坡AD 的坡度i 为1∶0.5，∴tan ∠DAB ＝2. 设AM ＝x ，则DM ＝2x.又∵四边形DMNC 是矩形，∴DM ＝NC ＝2x. 在Rt △BNC 中，tan ∠ABC ＝tan37°＝CN BN ＝2x BN ＝34，∴BN ＝83x.由x ＋3＋83x ＝14，得x ＝3，∴DM ＝6，即坝高为6 m.(2)过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H ，过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M. 设DF ＝y ，则AE ＝2y. ∴EH ＝3＋2y －y ＝3＋y ， BH ＝14＋2y －(3＋y)＝11＋y.由FH ⊥BE ，EF ⊥BF ，得△EFH ∽△FBH. ∴HF HB ＝EH FH ，即611＋y ＝3＋y 6. 解得y ＝－7＋213或y ＝－7－213(舍)． ∴DF ＝213－7.答：DF 的长为(213－7)米．河北常考点专题(八) 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线． 类型1 构造单一直角三角形解决实际问题1．(2017·青海)如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°.若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是(结果保留根号)2．(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为3.4 m ．当起重臂AC 长度为9 m ，张角∠HAC 为118°时，求操作平台C 离地面的高度．(结果保留小。
微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河北热点】【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】◆类型一折叠问题中求角度和长度1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝50°，那么∠DEA等于( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG 的长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．23．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A．3 B．4 C．5 D．6第3题图第4题图4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.(1)求证：△BEA≌△DEF；(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．◆类型二特殊四边形的剪切与拼接8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )A．30° B．45° C．60° D．90°第8题图第9题图9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )A．2 B．3 C．4 D．510．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶112．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝ 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC 上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．参考答案与解析1．D 2.A 3.B 4.56°5．2－ 2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝ 2.由折叠易得△ABB ′为等腰直角三角形，∴BB ′＝AB 2＋AB ′2＝22，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，∴△B ′CF 为等腰直角三角形，∴CF 2＋B ′F 2＝B ′C 2，即2B ′F 2＝B ′C 2，∴B ′F ＝2－ 2.6．8 解析：由折叠可知EF ＝EC ＝12BC ＝6，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°.在Rt△ADG和Rt△FDG中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt△ADG ≌Rt△FDG (HL)，∴AG ＝FG .设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，由勾股定理得EG 2＝BE 2＋BG 2，即(x ＋6)2＝62＋(12－x )2，解得x ＝4，∴AG ＝4，∴BG ＝8.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠得FD ＝CD ，∠F ＝∠C ＝90°，∴AB ＝FD ，∠A ＝∠F .在△BEA 和△DEF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠FED ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD ，∴△BEA ≌△DEF .(2)解：∵△BEA ≌△DEF ，∴BE ＝DE ＝AD －AE ＝4－AE .设AE ＝x ，则BE ＝4－x .在Rt△BAE 中，由勾股定理得AB 2＋AE 2＝BE 2，∴22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，∴AE ＝32.8．B9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n 不可能为2.10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.11．A 解析：如图，易知四边形ACBE 是正方形，AB 与CE 是正方形的对角线，则CD ＝DE ＝AD ＝BD ，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.12．解：如图所示．13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB2＋BC2＝42＋62＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.。
