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物理竞赛专题四：等效法

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高中奥林匹克物理竞赛解题方法 四、等效法方法简介 在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法. 等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.

赛题精讲

例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度v0从两墙 之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ. 解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为 一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的 方法求解.

由题意得：gvvtvdsin2coscos2000

可解得抛射角 202arcsin21vgd 例2：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度. 解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为

nannaannanaaaaa2)13(232)1(2末初

平

由匀变速运动的导出公式得2022vvLaB平

解得 naLnvvB)13(20 例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为scmv/201，问当老 鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小?2v老鼠从A点到达B点所用的时间t=？ 解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即，v=P/F，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.

由此分析，可写出kxPFPv

当11,vvsx时 将其代入上式求解，得2211svPsvPk

所以老鼠到达B点时的速度scmvssv/1020211212 再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，21222121ksksPt 代入有关量可得)(21212211sssvPPt

由此可解得svssst5.72.012122)(22112122 此题也可以用图像法、类比法求解. 例4 如图4—2所示，半径为r的铅球内有一半径为2r的 球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔 的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力. 解析 因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M，然后在对于小球m对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球△M，这样加入的两个小铅球对小球m的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的. 带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧△M对m的引力之和. 设空腔铅球对m的引力为F，实心铅球与△M对m的引力分别为F1、F2. 则 F=F1－F2 ①

经计算可知：MM71，所以

22178)(LGmML

MMmGF ②

222)2(7)2(rLGmMrLMmGF

 ③

将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为

图4—2

图4—3 ])2(7178[2221rLLGmMFFF 例5 如图4-3所示，小球长为L的光滑斜面顶端自由下滑， 滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的

54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.

解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离L1、L2、……、Ln，则小球总共通过的路程为

LLLLsn)(221

，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦.

我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.

设第一次碰撞前后小球的速度分别为v、1v，碰撞后反弹的距离为L1，则

sin21sin211212mgLmvmgLmv

其中222111)54(,54vvLLvv所以 碰撞中损失的动能为)25161(2121212212mvmvmvEk 根据等效性有kELLf)(1 解得等效摩擦力sin419mgf 通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程，有sinmgLsf

解出小球总共通过的总路程为.941Ls 此题也可以通过递推法求解，读者可试试. 例6 如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球， 设L和已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 . 解析 此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了. 将双线摆摆长等效为单摆摆长sinLL，则此双线摆的周期为

glgLT/sin2/2 例8 如图4—5所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期. 解析 复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解. 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简

图4—4

图4—5 捷易行. 设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角处从静止开始摆

动，摆动到与竖直方向夹角为时，具有相同的角速度，对两摆分别应用机械能守恒定

律，于是得22)2(21)(21)cos(cos21)cos(coslmlmmgmgl 对单摆，得 200)(21)cos(coslmmgl 联立两式求解，得ll650

故原复摆的周期为.65220glglT 例9 粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平 面上，如图4—6所示，已知：L=10cm，当此U形管以4m/s2的 加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s2） 解析 当U形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重

力场中，g的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向

平行，即与g方向垂直.

设g的方向与g的方向之间夹角为，则4.0tanga 由图4—6可知液面与水平方向的夹角为， 所以，.04.044.010tanmcmLh 例10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带

电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v. 解析 小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中.

小球受到的等效重力为mgmgmgG332)33()(22

等效重力加速度gmGg332 与竖直方向的夹角30，如图4—7甲所示.所以B点为等效重力场中轨道的最高点，如图4—7，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B点时的速度RgvB

图4—6 图4—7 在等效重力场中应用机械能守恒定律 22021)cos(21BmvRRgmmv

将g、Bv分别代入上式，解得给小球的初速度为 gRv)13(20 例11 空间某一体积为V的区域内的平均电场强度（E）的定义为



niiniiinnnVVEVVVVEVEVEE11212211

如图4—8所示，今有一半径为a原来不带电的金属球，现 使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外， 与球心的距离为R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度. 解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q在金属球内产生的电场. 由平均电场强度公式得



niniiiiniiiiniiniiiVVrkqVVEVEVVVEE11211

11

设金属球均匀带电，带电量为q，其密度为Vq，则有 niniiiiirqkrVkE11221

niiirqk12为带电球体在q所在点产生的场强，因而有2RkqE，方向从O指向q.

例11 质量为m的小球带电量为Q，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v. 若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度. 解析 若把电场力Eq和重力mg合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力

图4—8

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巧妙使用等效思维解答高中物理试题

巧妙使用等效思维解答高中物理试题

巧妙使用等效思维解答高中物理试题等效思维是高中物理解题中一种非常重要的思维方式，它允许我们将复杂的物理问题简化为更易于处理的形式，或者将未知的问题转化为已知的问题来求解。

以下是一些巧妙使用等效思维解答高中物理试题的方法和示例：1. 等效替代法原理：在某些情况下，一个复杂的物理系统或过程可以被另一个更简单但效果相同的系统或过程所替代。

示例：在力学中，当分析多个力的共同作用时，可以使用力的合成与分解来等效替代。

例如，一个物体同时受到两个大小相等、方向相反的力的作用，这两个力的合力为零，可以等效为物体不受外力作用。

2. 等效电路法原理：在电路分析中，复杂的电路可以通过变换和简化，等效为简单的电路模型，从而方便求解。

示例：在求解复杂电路中的电流、电压或功率时，可以通过串并联电路的等效变换，将电路简化为简单的串并联组合，然后利用欧姆定律、基尔霍夫定律等求解。

3. 等效重力场法原理：在解决非惯性系中的物理问题时，可以引入一个等效的重力场，使得问题在惯性系中求解。

示例：在加速上升的电梯中，物体受到的支持力大于其重力，可以等效为物体在一个重力加速度更大的重力场中静止不动。

这样，就可以利用牛顿第二定律等惯性系中的规律来求解。

4. 等效过程法原理：在某些情况下，一个复杂的物理过程可以等效为一系列简单过程的组合。

示例：在求解变加速直线运动的位移时，如果加速度随时间变化，可以将其等效为多个匀变速直线运动的组合，然后分别求解每个阶段的位移并累加。

5. 等效质量法原理：在解决涉及多个物体相互作用的问题时，可以将多个物体看作一个整体，引入等效质量来简化问题。

示例：在连接体问题中，如果两个物体通过轻绳或轻杆相连，且加速度相同，可以将它们看作一个整体，引入等效质量（等于两物体质量之和），然后利用牛顿第二定律求解整体的加速度和受力情况。

应用技巧识别等效条件：在解题过程中，首先要识别出哪些条件或过程可以等效替代。

建立等效模型：根据等效条件建立等效模型，将复杂问题简化为简单问题。

高考物理解题方法：等效法

高考物理解题方法：等效法

高考物理解题方法：等效法高考物理频道为大家提供高考物理解题方法：等效法，赶紧学习一下并做一下例题吧！更多高考资讯请关注我们网站的更新!高考物理解题方法：等效法等效法是物理学中一个基本的思维方法，其实质是在效果相同的条件下，将复杂的情景或过程变换为简单的情景或过程.1.力的等效合力与分力具有等效性，将物体所受的多个恒力等效为一个力，就把复杂的物理模型转化为相对简单的物理模型，大大降低解题难度.2.运动的等效由于合运动和分运动具有等效性，所以平抛运动可看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。

“小船过河”中小船的运动可以看作是沿水流的方向的匀速直线运动和垂直于河岸方向的匀速直线运动的合运动。

在计算大小不变方向变化的阻力做功时，如空气阻力做功的时候，可以应用公式W=fS，只是式中的S是路程而不是位移，不管物体的运动方向如何变，均可等效为恒力f作用下的单向直线运动。

3.物理过程的等效若一个研究对象从同一初始状态出发，分别经过两个不同过程而最后得到的结束状态相同，这两个过程是等效的.4.模型的等效等效就是相互替代的效果相同。

利用等效法，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深层次。

在解题过程中，我们应用最多的、最典型的物理模型并不是很多，如碰撞模型、人船模型、子弹射木块模型、卫星模型、弹簧振子模型等等。

5.实验原理的等效在高中物理力学实验中，几乎可以说离开了等效的思想将“寸步难行”。

在《力的测量》中根据平衡的条件，利用等效的观点，将我们要测量的力等效为弹簧中的弹力，将物体受到的重力等效为处于平衡状态的物体受到的支持面的支持力或悬挂物的拉力。

在《验证力的平行四边形定则》实验中更是充分运用了等效的观点。

用一个力的作用效果与两个力的作用效果相同――使橡皮筋伸长至某一位置，从而得到这一个力可以等效为那两个力。

在《验证动量守恒定律》实验中等效的运用更是达到了极至。

等效法在高中物理中的应用

等效法在高中物理中的应用

等效法在高中物理中的应用在高中物理的学习中，有许多物理现象、物理过程很复杂，为了把问题简化，通常会采用一种很有效的方法----等效法。

等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法，也是物理学研究的一种重要方法。

比如：合力与分力的等效替代关系；单摆的等效摆长，等效重力加速度；总电阻与分电阻的等效替代关系；交流电的有效值等，都是根据等效思想引入的。

以下几个例子来探讨等效法的应用。

一、力的等效当几个力的作用效果与一个力的作用效果相同时，便可用这一个力来代替其他几个力的作用效果，这便是力的等效原理，如等效重力，等效电场力等。

例1.如图所示，一个长为L的细线上端固定，下端有一个质量为m的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，场强大小为E，方向水平向右，已知Eq=mg，求小球摆动的周期。

解析：物体受到竖直向下的重力，水平向右的电场力，绳子的拉力，其中重力与电场力的合力大小、方向始终没有发生变化，= ，就好像有一个力场存在，其中等效力场重力加速度gˊ= ，把gˊ= 带入单摆周期公式，即可计算结果：T=二、长度的等效在有些物理问题中，物体的实际长度对物理计算并不起决定作用，起作用的是它在某个方向的投影。

比较典型的例子是计算安培力，电磁感应，等效单摆。

例2.如图所示，两根长直导线平行放置，中间放有一个半径为r=0.5m的半圆形导线，磁感应强度为B=2T的磁场垂直穿过导线所在的平面，整个装置通有I=5A的电流，求半圆形导线所受的安培力。

解析：通电导线所受安培力，其中L=2r，所以例3.如图是一个双线摆，两个线的长度均为L，摆线与水平面夹角为α，求双线摆的周期？解析：如图所示的双线摆中，等效摆长为Lˊ= L ，把它带入单摆的周期公式，三、物理过程的等效在处理某些复杂物理过程时，如果能换一个角度去分析，如把已有的物理过程反过来用等效处理，往往会简化思路。

例如竖直上抛与自由落体，刹车过程与启动过程。

2024年中考物理专题复习—“等效法”突破非纯电阻电路的计算

2024年中考物理专题复习—“等效法”突破非纯电阻电路的计算

2024年中考物理专题复习—“等效法”突破非纯电阻电路的计算一、要点解读1.常规计算：Q=I2Rt（Q：J、I：A、R：Ω、t：s）2.非纯电阻（电动机）：W=UIt（W：J、U：V、I：A、t：s）3.能量流程：消耗的电能（关键词“输入”）：W=UIt—→P=UI产生的热量（关键词“浪费”）：Q=I2Rt—→P=I2R输出的机械能（关键词“输出”）：UIt－I2Rt—→UI－I2R效率：22=W UIt I Rt UI I RW UIt UI η--==有总例1.如图所示，电动机线圈电阻为1Ω，闭合开关，使电动机转动，调节滑片使电压表示数为2V时，电流表示数为0.4A，电动机消耗的功率为________W，此时输出的机械功率为________W。

解析：P=UI=2V×0.4A=0.8WP Q=I2R=（0.4A）2×1Ω=0.16WP机械=P－P Q=0.8W－0.16W=0.64W答案：0.8W；0.64W。

二、电动机○M等效理解例2.如图所示，闭合开关，发现电动机不转动，此时电压表示数为0.2V 时，电流表示数为0.5A 。

调节滑动变阻器的滑片P ，使电动机转动，此时电压表示数为2V ，电流表示数为1A 。

则该电动机线圈电阻为_______Ω，电动机正常转动时输出功率为________W ，效率为_________。

0.2V 0.40.5AU R I ===Ω内U 内=1A ×0.4Ω=0.4V U 机=U －U 内=2V －0.4Ω=1.6V1.6V1.61AR ==Ω机P 机=U 机I =1.6V ×1A=1.6W1.6W==80%2WW P W P η==有有总总答案：0.4Ω 1.6W80%三、归纳总结1.原始公式：（重要）2.能流关系：四、巩固升华一台电风扇接在家庭电路中，通过电动机的电流为0.5A，电动机线圈电阻为20Ω，则在1min内消耗的电能为_______J，产生的热量为________J，转化为机械能为_______J，效率为_________。