北京邮电大学信号与系统-302-周期信号的频谱分析——傅里叶级数

将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性

e dt T 0 j(kn)0t
0
k
0 T 0 e j( k n ) 0 td t 0 T 0 c o s ( k n )0 t d t j0 T 0 s i n ( k n )0 t d t
0 , k n T0 , k n
T0 0
即： x(t) akeskt
k
同理： x[n] akZkn k
y(t) akH(sk)eskt
k
y[n] akH(Zk)Zkn
k
例：
x(t) akeskt
k
y(t) akH(sk)eskt
k
x[n] akZkn k
y[n] akH(Zk)Zkn
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
则 A x (t) B y (t) F S A a k B b k
二.时移: 若 x ( t ) 是以 T 为周期的信号，且
x(t) FSak
则
x(tt0) F S akejk0t0
0
2 T
三.反转: 若 x ( t ) 是以 T 为周期的信号，且
x(t) FSak 则
2 T T 0 1s in k k 0 T 0 1 T 1 2 T T 0 1 S a (k0 T 1 ) 2 T T 0 1 s in c (2 T T 0 1k )
其中 Sa(x) sin x
x
sinc(x) sinx x
sin c(x)
1
1
1
0
12
x
根据
a
k
Q a k * a k A k e jk A k e j k

sin 3t
1
3
sin
3
xˆ3
a3e j30t
a e j30t 3
2
3
cos3t
k k
5 : a5e j50t
1
5
5 : a5e j50t
cos5t j 1 5
1 cos5t j 5
sin
1
5
5t
sin 5t
xˆ5
a5e j50t
a5e j50t
2
5
cos5t
k k
2 : a2e j20t 0 2 : a2e j20t
为：
3
x(t) ak e jk 2t
k 3
其中， a0 1, a1 a1 1 4, a2 a2 1 2, a3 a3 1 3 求其三角函数傅里叶级数
注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶 级数间的互换可以通过欧拉公式来完成
cos x e jx e jx , sin x e jx e jx
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H就(zk是) 对应的特征值。
T
本证明供学有余力同学参考
x(t)
ak e jk0t x(t)e jn0t
a e e jk0t jn0t k
k
k
两边都从0 ~ T对t求积分：
T x(t)e jn0tdt T

1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn

，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n

jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0

T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0

T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T

f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1