第三章(2)周期信号的频谱分析

信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析学院专业班级学号指导教师实验报告评分：_______实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。

二、实验容实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部例程序。

实验开始时，先在计算机上运行这些例程序，观察所得到的信号的波形图。

并结合例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。

实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。

Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。

抄写程序Q3_1如下： clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')执行程序Q3_1所得到的图形如下：Q3-2给程序Program3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。

周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。

频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。

f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。

要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。

计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。

2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。

3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。

计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。

频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。

1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。

幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。

2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。

相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。

通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。

频域分析的应用十分广泛。

在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。

在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。

此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。

总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。

通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。

实验报告一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。

本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。

通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。

二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。

2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。

对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。

2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。

2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。

三、主要仪器设备MATLAB编程。

四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理clc;clf;clear;%清除缓存%第一组数据的MATLAB程序（之后几组只需要将参数改变即可） T=0.000625;length=32;n=0:length-1;t=0:0.0001:31;%原序列和采样序列xn=sin(2*pi*50*n*T);xt=sin(2*pi*50*t);%画第一幅图（原序列和采样序列）figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('xt');axis([0,0.2,-1.1,1.1]);title('原序列时域');subplot(2,1,2);stem(n,xn ,'filled');xlabel('n');ylabel('xn');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样后序列时域');%画第二幅图（采样序列实部、虚部、模和相角）figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,real(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('real(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的实部');subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('imag(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的虚部');subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('abs(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的模');subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('angle(xn)');axis([0,length,-(pi+0.5),pi+0.5]);title('采样序列的相角');%计算DFTDFT=fft(xn,length);%画第三幅图（DFT的幅度、实部和虚部）figure(3);subplot(3,1,1);stem(n,abs(DFT) ,'filled');xlabel('k');%DFT后的频域变量为kylabel('abs(DFT)');title('DFT 幅度谱');subplot(3,1,2);stem(n,real(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('real(DFT)');title('DFT的实部');subplot(3,1,3);stem(n,imag(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('imag(DFT)');title('DFT的虚部');六、实验结果与分析实验结果：第一组数据：实验名称：DFT/FFT的应用之一 确定性信号谱分析姓名：张清学号：3110103952 P.4第二组数据：第三组数据：第四组数据：第五组数据：第六组数据：6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。

实验名称：周期信号的频谱分析教材名称：电工电子实验技术（下册）页码：P142 实验目的：1、了解和掌握周期信号频谱分析的基本概念；2、掌握Multisim软件用于频谱分析的基本方法；3、加深理解周期信号时域参数变化对其谐波分量的影响及变化趋势。

实验任务：1、根据9－1给定的波形和参数测量各谐波分量的幅度值。

2、根据所测数据绘制每一波形的谱线图。

设计提示：实验电路图：图一、分析用电路及信号发生器调整窗口实验结果：表9－1数据：周期信号的频谱分析（Multisim）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 矩形波10％－4.023 1.923 1.833 1.689 1.499 1.273 1.024 0.763 0.506 0.263 0.047 矩形波30％－2.023 5.123 3.040 0.699 0.897 1.271 0.659 0.236 0.739 0.595 0.046 矩形波50％－0.022 6.366 0.045 2.121 0.045 1.271 0.045 0.906 0.045 0.703 0.045 正弦波0 4.999 0 0 0 0 0 0 0 0 0三角波50％0 4.053 0 0.451 0 0.162 0 0.083 0 0.050 0三角波70％0 3.903 1.147 0.166 0.177 0.193 0.079 0.030 0.072 0.048 0三角波90％0 3.479 1.654 1.012 0.669 0.450 0.298 0.186 0.103 0.043 0N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 注：谱线数取10＋直流。

矩形波10％：矩形波30％：矩形波50％：正弦波50％：三角波50％：三角波70％：三角波90％：实验中注意事项：1、仿真过程中要在Simulate/Fourier Analysis/Output Variables中添加要进行分析的节点。

周期信号的时域及其频域分析周期信号是指具有固定周期的信号，即在其中一时间区间内重复出现的信号。

对于周期信号的时域分析，主要包括以下几个方面：1.周期：周期信号的主要特征是具有固定的周期。

周期可以通过观察信号的周期性重复来确定，也可以通过计算信号的基波频率的倒数得到。

2.幅值：周期信号的幅值是指信号在各个周期中的最大值或最小值。

幅值可以表示信号的强度或振幅大小。

3.相位：周期信号的相位是指信号相对于一些参考点的位置。

相位可以用角度或时间来表示，通常用角度表示。

4. 周期谐波分解：周期信号可以用一组基本波形的线性组合来表示，这组基本波形称为谐波。

周期信号的谐波分解可以用Fourier级数展开来实现。

Fourier级数展开将周期信号分解为基频和各个谐波的叠加，其中基频是周期信号的最低频率分量，谐波是基频的整数倍。

对于周期信号的频域分析，主要包括以下几个方面：1.频谱：频谱是指信号的频率成分及其强度。

周期信号的频谱通常是离散的，只包含基波和谐波成分。

2.频率分量：频率分量是指信号中的各个频率成分。

周期信号中的频率分量由基频和谐波组成。

3.谱线：谱线是频谱图中的一条直线，代表一些频率成分的强度。

周期信号的谱线通常为离散的峰值。

4.谱分辨率：谱分辨率是指频谱分析能够区分不同频率分量的能力。

谱分辨率取决于采样频率和频率分辨率。

频域分析可以通过傅里叶变换来实现。

傅里叶变换能够将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。

对于周期信号，可以使用傅里叶级数展开来进行频域分析，得到信号的频率成分及其强度。

综上所述，周期信号的时域分析主要关注周期、幅值和相位等特征，而频域分析则关注频率成分及其强度。

通过时域及频域分析，可以深入理解周期信号的性质和特点，从而更好地理解和处理周期信号。

周期信号的频谱分析周期信号是指在一定时间内重复出现的信号，其频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。

频谱分析是信号处理领域中的重要内容，它能够揭示周期信号的频率成分以及它们在信号中的相对强度。

周期信号可以用正弦函数来表示，即一个频率为f的正弦波。

频谱分析的目的就是要确定这个周期信号中包含的各个频率成分。

为了进行频谱分析，我们通常使用傅里叶变换。

傅里叶变换可以将一个周期信号转换为一系列频率成分的复数表示。

傅里叶变换将一个周期信号分解成一系列复振幅和相位分量。

复振幅表示了信号中每个频率分量的强度，而相位则表示了每个频率分量的相对位置。

通过傅里叶变换，我们可以得到一个频谱图，它显示了信号中各个频率成分的幅度和相位信息。

在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。

每个频率成分对应的幅度可以通过幅度谱来表示，而相位信息则可以通过相位谱来表示。

通过分析频谱图，我们可以得到周期信号中的主要频率成分、频率分量的强度以及它们在信号中的相对位置。

频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用。

例如，它可以用于音频信号的处理与分析。

在音频信号中，不同的频率成分对应着不同的音调和音色。

通过频谱分析，我们可以识别音频信号中的主要频率分量，从而实现对音频信号的合成、去噪等处理操作。

另外，频谱分析也可以用于振动信号和通信信号的分析。

在振动信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解结构的固有频率以及存在的振动模态。

而在通信信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解信号的带宽和调制方式，从而实现信号的解调和解码。

总之，周期信号的频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。

通过傅里叶变换，我们可以将周期信号分解成一系列频率成分，并通过频谱图来展示这些成分的幅度和相位信息。

频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用，对于理解和处理周期信号具有重要作用。

例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。

已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。

输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。

周期信号的频谱的特点对于周期信号，其频谱特点主要有以下几个方面：1.频谱呈现出离散的频率分量：周期信号的频谱是由一系列离散的频率分量组成的，这些频率分量可以看作是正弦波的谐波。

具体来说，周期信号的基波频率对应着信号的周期，而高次谐波频率对应着信号的周期的整数倍。

因此，周期信号的频谱呈现出离散的频率分量。

2.频率分量的幅值逐渐衰减：对于周期信号的频谱，随着频率的增大，各个频率分量的幅值逐渐衰减。

这是因为周期信号的频谱是由一系列频率为整数倍的正弦波叠加而成的，而高次谐波频率对应着幅度较小的频率分量。

因此，随着频率的增大，高次谐波频率分量的幅值逐渐变小，频谱呈现出幅度逐渐衰减的特点。

3.频谱具有对称性：对于实信号的周期信号，其频谱具有对称性。

具体来说，周期信号的频谱关于零频率轴对称。

这是因为周期信号的频谱是由实信号频谱叠加而成的，而实信号频谱及其傅里叶变换的共轭都是对称的，因此周期信号的频谱具有对称的特点。

4.频谱的带宽与周期信号的周期有关：对于周期信号，其频谱的带宽与信号的周期有关。

具体来说，频谱的带宽在理论上等于周期的倒数。

这是因为在频谱中，由于频率分量的间隔等于周期的倒数，频谱的带宽也等于周期的倒数。

5.频谱的相位对称性：对于周期信号，它的频谱在幅度谱的基础上还有相位谱。

频谱的相位是随着频率变化的，由于周期信号的频率分量是正弦波，而正弦波的相位是以周期为单位的，所以频谱的相位也具有周期性。

具体来说，频谱的相位存在对称性，即频率分量的相位和其对称频率分量的相位相差180度。

这是由于正弦波的周期性特点决定的。

综上所述，周期信号的频谱特点包括频谱呈现出离散的频率分量、频率分量的幅值逐渐衰减、频谱具有对称性、频谱的带宽与周期信号的周期有关，以及频谱的相位对称性等。

这些特点在信号处理和通信系统中具有重要的理论和实际意义，为信号的分析、处理和传输提供了基础。

第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。

●简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。

1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：原函数()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：⎩⎨⎧=≠=⋅⎰nm K nm dt t g t g m t t n m ,,0)()(21()t g r 称为完备正交函数集的基底。

一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。

2．能量信号和功率和信号（§一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为R t i t P )()(2=一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。

令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ✍∞<<W 0(有限值) 0=P✍∞<<P 0(有限值)∞=W满足✍式的称为能量信号，满足✍式称功率信号。

3．帕斯瓦尔定理设{})(t g r 为完备的正交函数集，即信号的能量 基底信号的能量 各分量此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。

物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。

二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式： ()∑∞=++=1110sin cos )(n n nt n b t n aa t f ωω=∑∞=++110)cos(n n nt n cc ϕω指数形式：t jn n e n F t f 1)()(1ωω∑∞-∞==(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性()↓↑)(,1ωn F n谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处，唯一性：)(t f 的谱线唯一(3)两种频谱图的关系● 三角形式：ω~n c ，ωφ~n 单边频谱● 指数形式：ωω~)(1n F , ωφ~n 双边频谱两者幅度关系 )(1ωn F =()021≠n c n000a c F ==● 指数形式的幅度谱为偶函数 ●指数形式的相位谱为奇函数(4) 引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。