函数关系

函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。

简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。

精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。

对应法则、定义域、值域是函数的三要素。

注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f( )=2× +1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。

由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。

运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。

自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

由映射定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A 到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。

其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。

集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。

则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。

（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）函数的集合论（关系）定义如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。

当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。

其特点：前域和定义域重合；单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。

如果存在数K1，使得f(x)<=K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。

如果存在数K2，使得f(x)>=K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。

如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。

函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

函数的奇偶性设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：f(x) = −f( −x) 或f( −x) = −f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：f(x) = f( −x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y 轴为镜射后不会改变。

偶函数的例子有|x|、x、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。

偶函数不可能是个双射映射。

函数的周期性狄利克雷函数设函数f(x)的定义域为D。

如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x 士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。

函数的连续性在数学中，连续是函数的一种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到的函数：。

f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f在点c上有定义。

c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。

我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。

更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数。

假设c是f的定义域中的元素。

函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c −δ < x < c + δ，就有成立。

函数的凹凸性设函数f(x)在I上连续。

如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。

实函数或虚函数实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。

实函数的特性之一是可以在座标上画出图形。

虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。

当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。

但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。

虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。

特殊的函数反函数一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。

反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.。

⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x)定义域 A C值域 C A⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f 的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.。

开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3。

有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X 大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。

一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a反函数的应用：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：1.先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域（我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）2.反解x，也就是用y来表示x3.改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x4.写出反函数及其定义域就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x=f -1（y）。

则f -1为f的反函数。

习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x），例如y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。

在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称一次函数一次函数I、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）则称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，即y=kx时，y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质：y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即△y/△x=kIII、一次函数的图象及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。

（用平滑的曲线连接）2．性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3． k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。