角平分线定理使用中的几种辅助线作法
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角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
求证：
证明：延长BE交AC于点F。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，
所以AD为∠BAC的对称轴，
又因为BE⊥AD于F，
所以点B和点F关于AD对称，
所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。
因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，
∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，
所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，
所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，
所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），
所以。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。
求证：∠BAP＋∠BCP=180°。
证明：经过点P作PE⊥AB于点E。
因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，
所以PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBC中
1
()2BEACAB
1
2
12121
2
1
()2BEACAB
2
1
F
E
D
C
B
A
NP
E
D
C
B
A
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所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），
所以BE=BD。
因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，
所以AE=CD。
因为PE⊥AB，PD⊥BC，
所以∠PEB=∠PDB=90°.
在△PAE和Rt△PCD中
所以△PAE≌Rt△PCD，
所以∠PCB=∠EAP。
因为∠BAP＋∠EAP=180°，
所以∠BAP＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：△1=△2
证明：过点P作PE△AB于点E，PG△AC于点G，PF△BC
于点F．
因为P在△EBC的平分线上，PE△AB，PH△BC，
所以PE=PF。
同理可证PF=PG。
所以PG=PE，
又PE△AB，PG△AC，
所以PA是△BAC的平分线，
所以△1=△2。
BPBPPEPD
PEPDPEBPDCAEDC
G
2
1
P
F
E
C
B
A
