小五奥数(基础能力回顾)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题基础能力回顾授课日期及时段教学目的1、了解学生对一般专题的运用能力，计算与逻辑思维的特点，针对不熟练的部分进行讲解2、通过讲练，提高学生学习奥数的兴趣与信心教学内容基础能力巩固例题讲练行程例1、如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

已知甲每分走90米，乙每分走70米。

问：至少经过多长时间甲才能看到乙？分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。

甲追上乙一条边，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。

甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需例2、小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。

小红和小强的家相距多远？例3、猎狗发现北边20米处有一只兔子正要逃跑，拔腿就追。

兔子的洞穴在兔子的北边480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过一劫吗？例4、两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。

求这条河的水流速度。

解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷2=（38-22）÷2=8（千米/时）答：这条河的水流速度为8千米/时。

例5、骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。

如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。

这就需要通过已知条件，求出时间和路程。

假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。

B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B 比A多行的路程。

因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是20÷（15-10）=4（时）。

由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是15×4=60（千米）。

要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）。

数论1、一个最简分数，它的分子除以2，分母乘以3，化简后得329，这个最简分数是___________。

2、(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ． 【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

4、一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数． 【解析】 这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]7,8,9504=，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573+++=，而504950485047787989191÷+÷+÷=⨯+⨯+⨯=，5731913÷=，所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506⨯-=．5、黑板上写着从1开始的一串连续自然数：1、2、3、4…擦去其中一个数后，求得其余数的平均数是421。

擦去的数是几？6、在1至2000这些整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有__________个。

7、(香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．【解析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是548021963284-=，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215⨯+=，1224⨯+=，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是7427421484+= (人) ．几何例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。

已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。

用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。

又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。

两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。

102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。

例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。

我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。

在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE 的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。

两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。

例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。

求a+b的长。

分析与解：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。

连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。

大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。

根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20×a÷2和20×b÷2。

因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20×a÷2+20×b÷2=140，10×（a+b）=140，a+b=14（厘米）。

在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。

例4、求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

计数1、某通信兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖起的旗杆上表示不同的信号。

每次可以任意悬挂1面、2面、3面。

不同的顺序表示不同的信号。

一共可以表示多少种不同的信号？分析：把红、黄、蓝3面旗看成3个不同的元素，把挂旗表示信号这件事分成3类：挂1面旗为第1类，挂2面旗为第2类，挂3面旗为第3类。

从3个不同的元素里每次取出1个元素的排列数为3，表示3种信号。

同理，挂3面旗表示的信号有3×2×1种最后，根据加法原理，求出所求的信号总数。

解：3+3×2＋3×2×1＝15（种）答：一共可以表示15种不同的信号。

2、下图所示为一变种蜘蛛的蜘蛛网，已知蜘蛛只会向右爬行。

若某只蜘蛛由A 点爬行至B 点，问这种蜘蛛共有多少种可能的路线？推理例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。

现知道：（1）英语老师和数学老师是邻居； （2）王仁年纪最小；（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往； （4）体育老师比语文老师年龄大；（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

请判断各人分别教的是哪两门课程。

分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。

先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。

因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。

由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。

至此，得到左下表由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。

至此，得到右上表。

AB由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。

所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。

以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。

另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。

例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。