线性无关的向量组

向量组线性相关与线性无关的判定
方法_侯雯昕
向量组线性相关与线性无关的判定方法：
1. 直接比较：如果两个向量组之间的元素是一一对应的，可以直接比较它们的值，看它们是否存在线性关系。

2. 斜率比较：可以通过计算两个向量组之间所有元素对应位置的斜率，并将其与某一常数（如 1）进行比较，若斜率都相等，则说明两个向量组存在线性关系；若斜率不同，则说明两个向量组没有线性关系。

3. 相关系数比较：可以通过计算两个向量组的相关系数来判断它们是否存在线性关系。

相关系数的取值范围是[-1,1]，当相关系数大于 0 时，说明两个向量组存在正相关的线性关系；当相关系数小于 0 时，说明两个向量组存在负相关的线性关系；当相关系数等于 0 时，说明两个向量组没有线性关系。

向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示就是有好处的。

２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。

向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。

故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
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1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
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当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
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r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，

怎么求向量组的极大线性无关组怎么求向量组的极大线性无关组：
•首先将所有列向量排成一个矩阵（如果是行向量，
先转置成列向量）；
•将所得到的矩阵作初等行变换，化成行最简矩阵；
•每个非零行的第一个非零元（ 1 ）所在的列，所对
应原矩阵的列向量，就是极大无关组的向量，所有这些
向量组成了极大无关组；
•行最简单矩阵的列向量之间的关系与原始矩阵的列向量组之间的关系相同。

也就是说，最大独立群与其他向
量的关系与行最简矩阵中列向量的关系相同。