向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。

一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。

这++占丿样的表示是有好处的。

2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。

k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。

因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。

3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。

如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。

⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。

⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。

证明：自反性与对称性直接从定义得出。

至于传递性，简单计算即可得到。

设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。

t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。

向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。

因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。

向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示就是有好处的。

２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。

向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。

向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。

而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。

一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。

换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。

举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。

实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。

二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。

换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。

继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。

实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。

因此，这三个向量是线性相关的。

三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。

如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。

换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。

在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。

这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。

四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。

向量组线性相关与线性无关的定义向量组线性相关的判定定理小结与复习回顾：向量组的线性组合定义给定向量组A：a, a, …, am ，对于任何一12m组实数k1,k2, …, km，表达式k 1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组A的一个线性组合．k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义给定向量组A：a, a, …, am 和向量b，如果存在12m一组实数λ1, λ2, …, λm，使得b= λ1a1 + λ2a2 + … + λm a m 则称向量b 能由向量组A的线性表示．引言问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 问题A 线性表示？问题2如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？=向量b 能由线性方程组=注意到()(,)R A R A b 向量组A线性表示Ax = b有解问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 线性表示因此示？问题1′齐次线性方程组Ax =O 是否存在解？回答齐次线性方程组Ax = O 一定存在解．事实上，可令，则=0k k k ==="事实可令则（零向量）12m 1122+++=m m k a k a k a O "问题2 A问题如果零向量可以由向量组线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2齐次线性方程组Ax= 0 是否存在非零解？问题2′A=0是否存在回答齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合零的系数不一定全等于零．设1000E ⎛⎞例()123,,01001e e e ⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠11000k ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1122331232301000010k e k e k e k k k k k ++=++==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠若则k 1= k 2= k 3=0 ．向量组线性相关与线性无关的定义定义给定向量组A：a1, a2, …, a m ，如果存在不全为零的实数k1, k2, …, k m，使得k1a1 + k2a2 + … + k m a m=0（零向量）否则称它是线性无关的则称向量组A 是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1, a2, …, a m m 元齐次线性方程组Ax= 0R A) <m线性相关有非零解()也就是说向量组m 元齐次线性方程组A：a1, a2, …, a m 线性无关Ax= 0只有零解R(A) =m说明给定向量组A ，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．若线性无关，则只有当12,,,n ααα"10n λλ==="λλλ时才有成立.向量组A ：a 1, a 2, …, a m 线性相关，通常是指m ≥2 的情形.11220n n λααα+++=" 若向量组只包含一个向量：当a 是零向量时，线性相关；当a 不是零向量时，线性无关．包含零向量的任何向量组是线性相关的.例维向量组n ()()()T n T T e e e 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,121""""===，.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为n 解),,,( 21的矩阵维单位坐标向量组构成e e e E n n "=.阶单位矩阵是n .)(01 n E R E =≠=，知由R E 即等于向量组中向量个数，故此向量组是().线性无关的作业习题四8.。

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合.【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2。

线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示.如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：（1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价。