1、向量组线性无关的充要条件为( )

第四章复习题答案一、选择题1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１２３，，均不是零向量 B 、ααα１２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关解析：（1）线性相关⇔至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关⇔任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ）A 、Ｒ（Ａ）＜ｎB 、Ａ的ｎ个列向量线性相关C 、Ａ的两行元素成比例D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ）A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于04、设12,s ααα均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα线性相关B 、若向量组12,s ααα线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠k ，则向量组12,s ααα线性无关D 、若向量组12,s ααα线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关⇔至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意二、填空1、设12311112010ααα===T TT （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22()33a a ≠= 2、设Ａ为35⨯的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+=，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。

线性代数判断题复习内容1.任何向量组都有极大线性无关组。

2.如果个向量组线性无关，那么在每一个向量对应的位置上添加一个分量所得的向量组线性相关，3.等价的向量组含有相同个数的向量4.如果一个向最组线性相关，那么在每一个向最对应的位置上减少个分量所得的向量组线性相关，5.向量组中如果有两个向是成比例，那么这个向量组线性相关6.两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的问量，7.向量组中如果有零向量，那么这个向量组线性柑关8.如果一个向量组的部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关.9,如果一个向量组的部分组线性无关，那么整个向最组也线性无关10.如果整个向量组线性相关，那么它的部分向量组也线性相关11.如果整个向量组线性无关，那么它的部分向星组也线性无关，12.任意n+1个n维向星一定线性相关.13.向量组线性无关的充要条件是它的极大线性无关组是向量组本身.14.向量组线性无关的充要条件是它的秩等于该向量组所含向量的个数.15.一个向量组的任一极大线性无关组与该向量组本身等价.16.一个向量组的任两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.17.任何一个向量组的秩都大于零.18.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，19.非齐次线性方程组有无穷解的充要条件为系数矩阵的秩<未知量个数.20齐次线性方程组有无穷解的充要条件为系数矩阵的秩<未知量的个数21.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为方程的个数小于未知量的个22.n个未知量n个方程的齐次线性方程组有无穷解的充分必要条件为系数矩阵的行列式等于零，23.非齐次线性方程组有无穷解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.24.非齐次线性方程组任意内个解的和还是非齐次线性方程组的解。

25.非齐次线性方程组任意两个解的差还是非齐次线性方程组的解，26.齐次线性方程组任意两个解的和还是齐次线性方程组的解，27.齐次线性方程组任意两个解的差还是齐次线性方程组的解.28.齐次线性方程组任意多个解的线性组合还是齐次线性方程组的解，29.矩阵的秩≥r的充分必要条件是矩阵中存在-一个r级子式不为零30.矩阵的秩≤r的充分必要条件是矩阵中所有r+1级子式全为零.31.初等变换不改变矩阵的秩.320如果矩阵A经过一系列初等行变换变为B,那么A与B等价32.当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系.33.齐次线性方程组如果有基础解系，那么基础解系一定不唯一34. A为n级方阵如果A²=0，那么A=0.35. A.B为n级方阵，那么(A+B)²=A²+B²+2AB.36. A为n级方阵,那么(A+E)²=A²+E+2A.37.如果A,B为n级可逆矩阵，那么A B²也为n级可逆矩阵。

一、单项选择题1. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内【 】可由向量组其余向量线性表示.A ．至少有一个向量B ．没有一个向量C ．至多有一个向量D ．任何一个向量2. 若A 为6阶矩阵，齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中解向量的个数为2，则矩阵A的秩为 A ．5 B. 4 C. 3 D. 2 3．行列式111221222a a a a =, 111221224b b b b =， 则11121221222222a a b a a b +=+A. 10B. 6C. 8D. 124设b a ,为实数，且010100=---a b ba，则A. 0,0==b aB. 0,1==b aC. 1,0==b aD. 1,1==b a 5.设A 为2阶非零矩阵，21,αα为齐次线性方程组0=Ax 的两个不同解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 A. 1k α B. 2k α C. 12()k αα+ D. 12()k αα- 6、已知三阶矩阵A 的特征值为 1, 2 , －1 , 则矩阵1A -的特征值为 A ．1,2,1- B ． 1,2,1--C ． 11,,12- D ． 11,,12--7. 设A 是上三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为A ． 全都非负B ． 不全为零C ．全不为零D ．没有限制8.设向量组,)0,0,1(1T =α,)0,1,0(2T=α则下列向量中可由,1α2α线性表出的是A. T)2,1,0(- B. T)0,2,1(- C. T)2,0,1(- D. T)1,2,1(-9.设A 为可逆矩阵，则与A 有相同特征值的矩阵为A.*A B. 2A C. 1-A D. T A10.设b a ,为实数，且010100=---ab ba，则A. 0,0==b aB. 0,1==b aC. 1,0==b aD. 1,1==b a11.矩阵111213212223313233a a a A a a a aa a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111213112122232131323331a a a a B a a a a a a a a ⎛⎫+⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，101010001C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则必有A ．ACB = B ．A BC = C ．B AC = D ．B CA =12．设A 为n 阶方阵，*A 为矩阵A 的伴随矩阵，则=*||AAA ．1B ．||AC ．2||A D ．nA ||13．设A 、B 为n 阶方阵. 则下列各式一定成立的是A ．A B B A +=+ B ．()T T T AB A B =C ． 222()2A B A AB B +=++ D ．AB BA =14．设A 是上三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为A ． 全都非负B ． 不全为零C ．全不为零D ．没有限制 15 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列结论中不正确的是A ．若E ABC =，则A 、B 、C 都可逆B ．若AC AB =且A 可逆，则C B = C ．若AC AB =且A 可逆，则CA BA =D ．若O AB =且O A ≠，则O B=16．设A 、B 为n 阶方阵. 则下列各式一定成立的是 A ．A B B A +=+ B ．()T T T AB A B =C ．222()2A B A AB B +=++ D ．AB BA =17．n 阶方阵A 的行列式不等于零0A 是矩阵A 可逆的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件18．设向量组,)0,0,1(1T =α,)0,1,0(2T=α则下列向量中可由,1α2α线性表出的是 A. T )2,1,0(- B. T )0,2,1(- C. T )2,0,1(- D. T)1,2,1(- 19．设矩阵A 的秩为r ，则下列说法中错误的是 A ．A 中所有的1r +阶子式（若有）都等于零； B ．A 中所有的1r -阶子式都等于零； C ．A 中存在着不等于零的r 阶子式； D ．A 中可能有等于零的r 阶子式。

《线性代数》（本科）总复习题一、单项选择题１．矩阵运算AB 有意义是T B A +有意义的 。

（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件２．设同阶方阵C B A ,,满足AC AB =，则必有 。

（Ａ）0=A 或C B =（Ｂ）0=A 且C B = （Ｃ）0=A 或C B = （Ｄ）0=A 且C B = ３．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式中一定成立的是 。

（Ａ）()T T T B A AB = （Ｂ）()***B A AB = （Ｃ）()111−−−=B A AB （Ｄ）B A AB =４．设A 为n 阶可逆矩阵，且n 为奇数，则下列等式中未必成立的是 。

（Ａ）()T T A A −=− （Ｂ）()**A A −=− （Ｃ）()11−−−=−A A （Ｄ）A A −=−５．设方阵A 满足O A =2，则必有 。

（Ａ）O A = （Ｂ）O AA T = （Ｃ）O AA =＊ （Ｄ）O A A T =＊６．设矩阵B A ,满足I AB =，则 。

（Ａ）I B A T T = （Ｂ）I BA = （Ｃ）I A B T T = （Ｄ）都不对７．设方阵A 满足A A =2，则 。

（Ａ）O A = （Ｂ）I A = （Ｃ）O A =或I A = （Ｄ）都不对８．设方阵A 可逆，且BA AB =，则下列等式未必成立的是 。

（Ａ）22BA B A = （Ｂ）T T BA B A = （Ｃ）11−−=BA B A （Ｄ）**BA B A =９．设向量组s ααα,,,21L 可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，且()121,,,r r s =αααL ，()221,,,r r t =βββL ，()32121,,,,,,,r r t s =βββαααL L ，则 。

（Ａ）321r r r =< （Ｂ）321r r r =≤ （Ｃ）321r r r <= （Ｄ）321r r r ≤=１０．设n m ×齐次线性方程组O AX =仅有零解，则 。

第二章 内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件(1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα，则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间．注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积：(1) nR 中，αββαβαT T ni i i y x ===∑=1),(nC 中，βαβαH i ni i y x ==∑=1),(．其中T n T n y y y x x x ),,,(,),,,(2121 ==βα．(2) nm R⨯中，n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，ij m i nj ij Hb a B A tr B A ∑∑====11)(),(．(3) 在实多项式空间][x P n 及],[b a 上连续函数空间],[b a C 中，函数)(),(x g x f 的内积为⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((2、向量的长度、夹角、正交性定义 ),(ααα=，称为α的长度，长度为1的向量称为单位向量，ααα=0是α的单位向量．长度有三个性质：(1) 非负性：0≥α，且00),(=⇔=ααα； (2) 齐次性：k k k ,αα=表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式：βαβα+≤+．定理(Cauchy-Schwarz 不等式)βαβα≤),(．α与β的夹角θ定义为βαβαθ),(arccos=．当0),(=βα时，称α与β正交，记βα⊥．若非零向量组s ααα,,,21 两两正交，即0),(ji j i ≠=αα，称s ααα,,,21 是一个正交组；又若s i i ,,2,1,1 ==α，则称s ααα,,,21 为标准正交组，即⎩⎨⎧≠==.,0,,1),(j i j i j i αα 定理(勾股定理) 0),(222=⇔+=+βαβαβα，即βα⊥．3、标准正交基标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt 正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基．把线性无关向量s ααα,,,21 正交化为s βββ,,,21 正交向量组： 设.,,3,2,),(),(,1111s k i k i i i i k k k=-==∑-=ββββααβαβ再把i β单位化：s i i ii ,,2,1,1==ββε，则s εεε,,,21 为标准正交组．在标准正交组n εεε,,,21 下，向量可表为：=+++=n n x x x εεεα 2211n n εεαεεαεεα),(),(),(2211+++ ，坐标),(i i x εα=表示α在i ε上的投影长度． 4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i 个元素与第j 个元素的内积为i 行j 列元素构成的方阵．设欧氏(酉)空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，令),,2,1,)(,(n j i x x a j i ij ==，则该基的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(．基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．设酉空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，该基的度量矩阵为A ，V y x ∈,在该基下的坐标(列向量)分别为α与β，那么x 与y 的内积βαA y x T =),(．当V 为欧氏空间时，βαA y x T =),(．当此基为标准正交基，酉空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(，欧氏空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(．设欧氏空间n V 的两个基分别为(Ⅰ)n x x x ,,,21 和(Ⅱ)n y y y ,,,21 ，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C ，基(Ⅰ)的度量矩阵为A ，基(Ⅱ)的度量矩阵为B ，则有：(1) AC C B T =．(2) 基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是I A =．(3) 若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C 是正交矩阵．(4) 若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C 是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．5、正交变换与对称变换(ⅰ) 关于正交变换，下面四种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的正交变换，即对于任意的n V x ∈，有),(),(x x Tx Tx =；2) 对于任意的n V y x ∈,，有),(),(y x Ty Tx =； 3) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为正交矩阵； 4) T 将n V 的标准正交基变换为标准正交基． (ⅱ) 关于对称变换，下面两种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的对称变换，即对于任意的n V y x ∈,，有),(),(Ty x y Tx =； 2) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．(ⅲ) 若T 是欧氏空间n V 的对称变换，则T 在n V 的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．(ⅳ) 在欧氏空间n V 中，若正交变换T 的特征值都是实数，则T 是对称变换． 6、相似矩阵(1) n n C A ⨯∈相似于上(下)三角矩阵． (2) n n C A ⨯∈相似于Jordan 标准形矩阵． (3) n n C A ⨯∈酉相似于上三角矩阵．(4) 设n n C A ⨯∈，则H H AA A A =的充要条件是存在酉矩阵P ，使得Λ=AP P H (对角矩阵)．(5) 设n n C A ⨯∈的特征值都是实数，则T T AA A A =的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T ．(6) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵．三、典型例题例1、在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβζζζα ==，分别定义实数),(βα如下：(1) 21212)(),(i ni i ηζβα∑==；(2) ))((),(11∑∑===nj j n i i ηζβα；判断它们是否为n R 中α与β的内积．解 (1) 设R k ∈，由==∑=21122))((),(ni i i k k ηζβα),()(21212βαηζk k ini i=∑=知，当0<k 且0),(≠βα时，),(),(βαβαk k ≠．故该实数不是n R 中α与β的内积．(2) 取0)0,,0,1,1(≠-= α，有0),(,01==∑=ααζni i故该实数不是n R 中α与β的内积．例2、n R 中，向量组n ααα ,,21线性无关的充要条件是0),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111≠n n n n n n αααααααααααααααααα ．证 方法一 设),,(21n A ααα =，则⇔≠====⨯⨯0),(2A A A A A T T nn jT i nn j i ααααn A ααα,,,021 ⇔≠线性无关．方法二 设02211=+++n n x x x ααα ，则n i x x x i n n ,,2,1,0),(2211 ==+++αααα，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,0),(),(,0),(),(,0),(),(1121211111n n n n nn n n x x x x x x αααααααααααα 齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式0),(≠j i αα，即n ααα,,,21 线性无关．例3、设欧氏空间3][t P 中的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f(1) 求基2,,1t t 的度量矩阵．(2) 采用矩阵乘法形式计算21)(t t t f +-=与2541)(t t t g --=的内积． 解 (1) 设基2,,1t t 的度量矩阵为33)(⨯=ij a A ，根据内积定义计算)(j i a ij ≤2)1,1(1111===⎰-dt a ，0),1(1112===⎰-tdt t a ，32),1(112213===⎰-dt t t a ，32),(11222===⎰-dt t t t a ，0),(113223===⎰-dt t t t a ，52),(1142233===⎰-dt t t t a ．由度量矩阵的对称性可得)(j i a a ji ij >=，于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520203203202A ． (2) )(t f 和)(t g 在基2,,1t t 下的坐标分别为T T )5,4,1(,)1,1,1(--=-=βα，那么054120320320202)1,1,1(),(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==βαA g f T ． 例4、欧氏空间3][t P 中的多项式)(t f 和)(t g 的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f ，取t t f =)(1，记子空间))((1t f L W =．(1) 求T W 的一个正交基；(2) 将T W 分解为两个正交的非零子空间的和．解 (1) 设T W t k t k k t g ∈++=2210)(，则有0),(1=g f ，即0)()()(112210111=++=⎰⎰--dt t k t k k t dt t g t f ，也就是01=k ．于是可得},,)()({20220R k k t k k t g t g W T ∈+==．取T W 的一个基为2,1t ，并进行正交化可得,31),(),()(,1)(211112221-=-==t g g g g t t t g t g那么，)(),(21t g t g 是T W 的正交基．(2) 令))(()),((2211t g L V t g L V ==，则1V 与2V 正交，且21V V W T +=． 例5、已知欧氏空间2V 的基21,x x 的度量矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5445A ， 采用合同变换方法求2V 的一个标准正交基(用已知基表示)．解 因为A 对称正定，所以存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T (对角矩阵)，计算得,111121,9001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΛQ ,131323121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=-Q C 则有E AC C T =．于是，由C x x y y ),(),(2121=可得2V 的一个标准正交基为)(231),(21212211x x y x x y +=-=．例6、在欧氏空间中，定义α与β的距离为：βαβα-=),(d ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答 不一定，例如2R 中向量的平移变换：)1,1(),(,),(2++=∈=∀y x y x T R y x α，)1,1()(),1,1()(,),(),,(2221112222111++=++=∈==y x T y x T R y x y x αααα， ),()()()()())(),((21212212212121ααααααααd y y x x T T T T d =-=-+-=-=． 虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．例7、设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是n 维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T ，使n i T i i ,,2,1,)( ==βα的充要条件是n j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα．证 必要性 因为T 是正交变换：),())(),((j i j i T T αααα=，又已知i i T βα=)(，故有),(),(j i j i ββαα=．充分性 定义变换T ，使得n i T i i ,,2,1,)( ==βα，则T 是线性变换，且是唯一的．下证T 是正交变换．已知),(),(j i j i ββαα=，则有),(),(j i j i T T αααα=，设n V ∈∀βα,，∑∑====nj j j ni i i y x 11,αβαα，则),(),(),(1111j i j ni nj i nj j j ni i i y x y x ααααβα∑∑∑∑======，))(),(())(,)(())(),((1111j i j n i nj i n j j j n i i i T T y x T y T x T T ααααβα∑∑∑∑======),(11j i j n i nj i y x αα∑∑===．即n V ∈∀βα,，),())(),((βαβα=T T ，故T 是正交变换．例8、设321,,ααα是欧氏空间3V 的一组标准正交基，求出3V 的一个正交变换T ，使得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=).22(31)(),22(31)(32123211ααααααααT T 解 设3322113)(ααααx x x T ++=，使得)(),(),(321αααT T T 是标准正交的，因)(),(21ααT T 已标准正交，则只要满足1)(,0))(),((,0))(),((32313===αααααT T T T T ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+.1,022,022232221321321x x x x x x x x x 解得32,32,1321==-=x x x ，即)22(31)(3213αααα++-=T ，得)(),(),(321αααT T T 是标准正交基．因T 把标准正交基变为标准正交基，故T 是正交变换．另法 设)(3αT 的坐标为T x x x ),,(321，由A x x x T T T ),,(2313132232),,())(),(),((321321321321ααααααααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=． T 是正交变换⇔A 为正交阵．由E A A T =，解得32,31321==-=x x x ，则)22(31)(3213αααα++-=T ．例9、设0x 是欧氏空间V 中的单位元素，定义变换00),(2)(x x x x x T -= )(V x ∈(1) 验证T 是线性变换；(2) 验证T 既是正交变换，又是对称变换；(3) 验证0x 是T 的一个特征向量，并求其对应的特征值． 证 (1) 设V y x ∈,，R l k ∈,，则有00),(2)()(x x ly kx ly kx ly kx T +-+=+=]),(2[]),(2[0000x x y y l x x x x k -+-=))(())((y T l x T k +， 故T 是线性变换．(2) 因为),(),(),(4),)(,(4),())(),((002000x x x x x x x x x x x x x T x T =+-=所以T 是正交变换．设V y ∈，则00),(2)(x x y y y T -=，于是有).),((),)(,(2),())(,(),,)(,(2),()),((0000y x T x x x y y x y T x y x x x y x y x T =-=-=故T 也是对称变换．(3) 直接计算可得.)1(2),(2)(00000000x x x x x x x x T -=-=-=故0x 是T 的对应于特征值1-=λ的特征向量．例10、证明欧氏空间n V 的线性变换T 为反对称变换，即),()),(,()),((n V y x y T x y x T ∈-=的充要条件是T 在n V 的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵．证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，线性变换T 在该基下的矩阵为n n ij a A ⨯=)(，即A x x x x x x T n n ),,(),,,(2121 =．则有.))(,(,)(,)),((,)(22112211ij j i n nj j j j ji j i n ni i i i a x T x x a x a x a x T a x x T x a x a x a x T =+++==+++=必要性 设T 是反对称变换，则有))(,()),((j i j i x T x x x T -=，即ij ji a a -=，),,2,1,(n j i =，故A A T -=．充分性 设A A T -=，则对任意的n V y x ∈,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x T x x x ξξξξ 1111),,()(,),,(，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x y T x x y ηηηη 1111),,()(,),,(． 因为n x x x ,,,21 是标准正交基，所以=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n T n A y x T ηηξξ 11),,()),(()).(,(),,(11y T x A n n -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅-ηηξξ 故T 是反对称变换．例11、设欧氏空间n V 的正交变换T 的特征值都是实数，证明存在n V 的标准正交基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵．分析 正交矩阵是实的正规矩阵，当它的特征值都是实数时，它能够正交相似于对角矩阵．证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，正交变换T 在该基下的矩阵为A ，那么A 是正交矩阵，也是实的正规矩阵．因为T 的特征值都是实数，所以A 的特征值都是实数．于是存在正交矩阵Q ，使得Λ==defn Tdiag AQ Q ),,,(21λλλ ，其中),,2,1(n i i =λ是A 的特征值．令Q x x x y y y n n ),,,(),,,(2121 =，则n y y y ,,,21 是n V 的标准正交基，且T 在该基下的矩阵为Λ==-AQ Q AQ Q T 1【评注】 本例结果表明，特征值都是实数的正交变换是对称变换． 例12、设T 是欧氏空间V 的正交变换，构造子空间},),({},,)({21V x x T x y y V V x x x T x V ∈-==∈==证明⊥=21V V ．证 先证⊥⊂21V V ．任取10V x ∈，则有00)(x x T =．对于任意的2V y ∈，有))(,(),())(,(),(0000x T x x x x T x x y x -=-=0),(),())(),((),(0000=-=-=x x x x x T x T x x 所以,20⊥∈V x 故.21⊥⊂V V再证12V V ⊂⊥，任取⊥∈20V x ，那么200))((V x T x ∈-，从而有0))(,(000=-x T x x ，.0))(,(2),())(,(2),())(),(())(,(2),())(),((0000000000000000000=-=+-=+-=--x T x x x x x T x x x x T x T x T x x x x T x x T x所以0)(00=-x T x ，即00)(x x T =，也就是10V x ∈，故12V V ⊂⊥．例13、设n m C A ⨯∈，酉空间m C 中的向量内积为通常的，证明)()]([H A N A R =⊥．分析 设m C 中的向量T m ),,,(21ξξξα =与向量T m ),,,(21ηηηβ =的内积为βαηξηξηξβαT m m =+++= 2211),(，则0=βαT 的充要条件是0=βαH ，或者0=αβH ．证 划分),,,(21n a a a A =，则有),,,()(21n a a a L A R =，},),({)]([11m j n n C C k a k a k A R ∈∈++⊥=⊥βββ},,,2,1,{m j C n j a ∈=⊥=βββ},,,2,1,0{mH jC n j a ∈===βββ )(},0{H m H A N C A =∈==βββ．例14、设n m C B A ⨯∈,，酉空间m C 中的内积为通常的，证明：)(A R 与)(B R 正交的充要条件是0=B A H ．证 划分),,,(21n a a a A =，),,,(21n b b b B =，则有),,,()(21n a a a L A R =，),,,()(21n b b b L B R =根据例15结果可得，)(A R 与)(B R 正交的充要条件是)()]([)(H A N A R B R =⊂⊥，即)()(H j A N B R b ⊂∈ ),,2,1(n j =，或者0=j H b A ),,2,1(n j =，也就是0=B A H ．例15、在4R 中，求一单位向量与)1,1,1,1(),1,1,1,1(---及)3,1,1,2(均正交． 解 设),,,(4321ξξξξ=x 和已知向量正交，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+--=+-+.032,0,0432143214321ξξξξξξξξξξξξ 该齐次线性方程组的一个非零解为)3,1,0,4(-=x ，单位化可得)263,261,0,264(1-==x x y ，即y 为所求的单位向量． 例16、设A 为n 维欧氏空间V 的一个线性变换，试证：A 为正交变换的充分必要条件是βαβα-=-)()(A A ．证 必要性))()(),()(()()(βαβαβαA A A A A A --=-),(),(),(),(βββααβαα+--= βαβαβα-=--=),(．充分性 取0=β，于是有αα=)(A ，即A 保持V 中的向量长度不变，所以A 为正交变换．例17、对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，求正交(酉)矩阵P ，使AP P AP P T =-1为对角矩阵．解 可求得)10()1()det(2--=-λλλA I ，于是A 的特征值为10,1321===λλλ．对应121==λλ的特征向量为T T x x )1,0,2(,)0,1,2(21=-=．正交化可得T T y y )1,54,52(,)0,1,2(21=-=；再单位化可得T T p p )535,534,532(,)0,51,52(21=-=．对应103=λ的特征向量为T x )1,1,21(3--=，单位化可得T p )32,32,31(3--=，故正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32535032534513153252P 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011AP P T ． 例18、设A 是n 阶实对称矩阵，且A A =2(即A 是幂等矩阵)，证明存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．证 设A 的属于特征值λ的特征向量为x ，即x Ax λ=，则有x x A 22λ=．因为A A =2且0≠x ，所以02=-λλ，即0=λ或1．再由A 实对称知，存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．例19、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，证明.)(,)(21212121⊥⊥⊥⊥⊥⊥+==+V V V V V V V V证 先证第一式．设⊥+∈)(21V V x ，即)(21V V x +⊥．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者⊥∈1V x 且⊥∈2V x ，即⊥⊥∈21V V x ．故)()(2121⊥⊥⊥⊂+V V V V ．又设⊥⊥∈21V V x ，即⊥∈1V x 且⊥∈2V x ．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者)(21V V x +⊥，即⊥+∈)(21V V x ．故⊥⊥⊥+⊂)()(2121V V V V ．因此第一式成立．对⊥1V 与⊥2V 应用第一式，有212121)()()(V V V V V V ==+⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥，故⊥⊥⊥+=2121)(V V V V ，即第二式成立．例20、(1) 设A 为酉矩阵且是Hermite 矩阵，则A 的特征值为1或1-． (2) 若A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则A 是酉矩阵．证 (1) 因A 为酉矩阵，则A 的所有特征值λ具有1=λ；又A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值皆为实数，故A 的特征值为1或1-．(2) 因A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则有酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， .11221E AU A U n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= λλ故有E A A H =，即A 是酉矩阵．例21、A 为n 阶正规矩阵，),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，证明A A H 与HAA 的特征值为n i i ,,2,1,2=λ．证 由A 正规，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,，U AA U AU A U HH n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221λλ ，故A A H 与H AA 的特征值皆为22221,,,n λλλ ．例22、设A 为n 阶正规矩阵，证明 (1) 若对于正数m ，有0=m A ，则0=A ． (2) 若A A =2，则A A H =． (3) 若23A A =，则A A =2．证 (1) 若0=m A ，则A 的特征值皆为零，又A 是正规矩阵，A 可酉对角化，即有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 AU U H ， 故有0=A ．(2) A A =2，则A 的特征值为1或0，假定r A r =)(；A 可酉对角化为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(,000r HH Hr H H rH E U A U E AU U E AU U ， 可得A A H =．(3) 23A A =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22121)(,n H n H AU U AU U λλλλ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33132212,n H n H U A U U A U λλλλ ，由23A A =，得0,23==i i i λλλ或1=i λ，不妨设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rH E AU U ，也有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0002r H E U A U ， 故有A A =2．例23、A 为n 阶Hermite 矩阵，设A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，证明1m in ,m ax λλ==∈∈XX AXX XX AX X H H C X n H H C X n n ． 证 对于Hermite 二次型AX X f H =，必有酉变换UY X =，使化为标准形2222211n n UYX Hy y y AX X λλλ+++== ，又2222122n H y y y Y X X X+++=== ，则n nn n H H y y y y y y X X AX X λλ=++++++≤2222122221)( ． 设n X 为A 对应于n λ的特征向量，即n n n X AX λ=，则n nHn nH n n n H n n H n X X X X X X AX X λλ==， 故有n H H C X XX AX X n λ=∈max ． 同理有1min λ=∈XX AX X H H C X n ． 例24、A 是正规矩阵，证明(1) A 的特征向量也是H A 的特征向量． (2) n C X ∈∀，AX 与X A H 的长度相等． 证 (1) A 为正规矩阵，则有酉矩阵，使得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n HU A U AU U λλλλλλ2121,， 其中],,,[21n U ααα =，n ααα,,,21 为A 的特征向量，由上两式可见i i i A αλα=，i i i H A αλα=，故A 与H A 有相同的特征向量．(2) 由H H AA A A =，X AA X X A X A XA H H H H H H ==)()(22)()(AX AX AX AX A X H H H ===． 证得AX X A H =．例25、B A ,为n 阶实对称矩阵，B 为正定矩阵，证明存在同一可逆矩阵P ，使Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n T H u u AP P I BP P 1,． 证 B 为正定矩阵，必有可逆矩阵Q ，使.E BQ Q T =因A 为对称矩阵，则AQ Q T 也是对称矩阵，所以存在正交矩阵C ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T u u AQC Q C 1， 令QC P =，就有Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T u u AP P 1． 又E C C EC C BQC Q C T T T T ===，即有E BP P T =，故存在同一可逆矩阵P ，使Λ==AP P E BP P T T ,．例26、(1) 设n n C A ⨯∈，则n n U A ⨯∈的充要条件是A 的n 个列(或者行)向量是标准的正交向量组．(2) r n r U U ⨯∈1的充要条件是E U U H =11． 证 (1) 必要性 设⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H n H H Hn A A αααααα 2121],,,[．由于E A A H =，所以有E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[， 于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵A 的n 个列向量是一个标准的正交向量组．同样可以证明A 的n 个行向量是一个标准的正交向量组．充分性 设矩阵A 的n 个列向量n ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j H i ,1,0αααα 从而可知E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[， 此即E A A H =，进一步也有E AA H =，这表明A 为一个酉矩阵．类似地可以证明行的情况．(2) 必要性 设矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 由此可得r r H r H r H r r H H H r H H H r H r H H H E U U =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=αααααααααααααααααααααααα 212221************],,,[． 充分性 设.],,,,[211211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H r H H Hr U U αααααα 由于r H E U U =11，所以有rr H r H r H r r H H H r H H H r H r H H E =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[．于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组．例27、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ， 试求酉矩阵U ，使得AU U H 是上三角矩阵．解 首先求出其特征多项式3)1(+=-λλA E ．当1-=λ时，求出属于特征值1--1的一个单位特征向量T ]61,61,62[1-=η．解与1η内积为零的方程02321=++-x x x ，求得一个单位解向量T]33,33,33[2=η．解与21,ηη内积为零的方程⎩⎨⎧=++=++-002321321x x x x x x 又求得一个单位解向量T]22,22,0[3-=η． 于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=223361223361033621U ， 经过计算可得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=6265036540337227111AU U H ． 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=626536541A ， 可得21)1(+=-λλA E ．对于1-=λ时，求得一个单位特征向量T]515,510[1-=γ， 再求得一个与1γ正交的向量2γT]510,515[2=γ． 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5105155155101V ， 经计算可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=1066251111V A V H． 令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=510515051551000012U ， 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==5523030610630615515306221U U U ， 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1006625102015715301AU U H ． 例28、设B A ,均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似．证 必要性 由于A 与B 均为正规矩阵，所以分别存在正规矩阵21,U U ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n HAU U λλλ2111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H BU U μμμ2122 其中),,2,1(0n i i =>λ为A 的特征值，),,2,1(0n i i =>μ为B 的特征值．又A 与B 相似，于是有2211,BU U AU U H H i i ==μλ，此时B U AU U U H =--121121)(，这表明A 与B 相似．充分性 显然．例29、已知A 为实矩阵，且有T T AA A A =，证明A 必为对称矩阵． 证 由T T AA A A =可知，A 为正规矩阵，那么存在酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221n TH AU A U λλ ．又A A T 为实矩阵，由上式可知其特征值也是实数，从而矩阵U 是一个正交矩阵，即1-==U U U T H ，从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n AU U λλ 11， 其中n λλ,,1 一定为实数．同样也有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n T U A U λλ 11． 由此可得A A T =，即A 为实对称矩阵．例30、设B A ,均为正规矩阵，且有BA AB =，证明： (1)B A ,至少有一个公共的特征向量；(2)B A ,可同时酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵W ，使得AW W H 以及BW W H 均为上三角矩阵；(3)B A ,可同时酉相似于对角矩阵； (4)AB 与BA 均为正规矩阵．证 (1) 设λV 是矩阵A 的属于特征值λ的特征子空间，若λαV ∈，即λαα=A ，则αλαB BA =，由于BA AB =，所以有)()(αλαB B A =，这表明λαV B ∈，从而λV 是B 的不变子空间，故在λV 中存在B 的特征向量β，它也是A的特征向量．(2) 对B A ,的阶数用归纳法证明．当B A ,的阶数均为1时，结论显然成立．设单位向量1α是B A ,的一个公共特征向量，再适当选取1-n 个单位向量n αα,,2 ，使得},,,{21n ααα 为标准正交基，于是],,,[21n U ααα =为酉矩阵，且有],,,[,2111n B B b BU b B ααααα ==．进一步可得,01B B b BU U H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β这里β是)1(1-⨯n 矩阵，1B 是一个1-n 阶矩阵，另外也有A A aAU U H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10η，这里η是)1(1-⨯n 矩阵，1A 是一个1-n 阶矩阵．由BA AB =又有)()()()(H H H H UAU UBU UBU UAU ⋅=⋅，于是可得BA AB =，由此可推得1111A B B A =．故由归纳法假设，存在1-n 阶酉矩阵1V ，使得∆=111V B V H ，这里∆为一个上三角矩阵，记.,0011UV W V V =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=于是有V BU U V BW W H H H )(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000100011111V b V B b V H ββ， 显然BW W H 是一个上三角矩阵．容易验证W 是酉矩阵．同样可得，AW W H 也是一个上三角矩阵．(3) 由(2)可设R AW W H =，这里R 是一个上三角矩阵，那么H H H R W A W =，从而可得H H H H HH W RR W W WR WRWAA )(=⋅=，H H H H H H W R R W WRW W WR A A )(=⋅=．又A A AA H H =，所以可得R R RR H H =，从而知R 为一个对角矩阵．同样可证BW W H 也是一个对角矩阵．(4) 由(3)可设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H u u BW W AW W 11,λλ， 于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n H ABW W μλμλ 11． 由正规矩阵结构定理可知AB 为正规矩阵，那么BA 也为正规矩阵．【评注】教材中已给出一种证明方法，但是与这里的证明方法完全不同，这里主要运用Schur 引理的证明思想．例31、已知下列正规矩阵，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵．(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+------+=062266234426434i i i i i i i iA (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111A 解 (1) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)2(2+=-λλλA E ，所以A 的特征值为0,2,2321=-==λλλi i ．对于特征值i 2，求得一个特征向量T i X ]1,,2[1-=． 对于特征值i 2-，求得一个特征向量T i X ]1,,2[2--=． 对于特征值0，求得一个特征向量T i X ]1,,0[3=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TTTi i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,22,0,21,2,22,21,2,22321ααα，于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==222121222202222],,[321i i iU ααα， 而且有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000020002i i AU U H ．(2) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)9)(81(2-+=-λλλA E ，所以A 的特征值为9,9,9321==-=λλλi i ．对于特征值i 9-，求得一个特征向量T iX ]1,1,2[1-=．对于特征值i 9，求得一个特征向量T i X ]1,21,[2-=．对于特征值9，求得一个特征向量T i X ]21,1,[3-=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TT T i i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31,32,32,32,31,32,32,32,3321ααα．于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==31323232313232323],,[321i ii U ααα， 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=900090009i i AU U H ． (3) 首先求出矩阵A 的特征多项式为222+-=-λλλA E ，所以A 的特征值为i i -=+=1,121λλ．对于特征值i +1，求得一个特征向量T i X ]1,[1=． 对于特征值i -1，求得一个特征向量T i X ]1,[2-=．由于A 为正规矩阵，所以21,X X 是彼此正交的，只需分别将21,X X 单位化即可TTi i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22,22,22,2221αα．于是取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==22222222],[21i i U αα， 从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=i i AU U H1001． 【评注】这三个题目只需按照教材介绍的正规矩阵可对角化具体过程进行即可．例32、试举例说明：可对角化矩阵不一定可酉对角化．解 设Y X ,是两个线性无关但不正交的向量，记],[Y X P =，取b a b a D ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=,00 那么1-=PDP A ，就是一个可对角化矩阵，但不是可酉对角化矩阵．例33、证明(1) Hermite 矩阵的特征值为实数；(2) 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数； (3) 酉矩阵特征值的模长为1．证 (1) 设A 为一个Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值为λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ==用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=，于是有X X X X H H λλ=．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=，这表明λ是实数．(2) 设A 为一个反Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ=-=用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=-，于是有X X X X H H λλ=-．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=-，这表明λ为零或纯虚数． (3) 设A 为一个酉矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得H H H X A X λ=．用AX 从右端乘上式两端有X X EX X H H λλ=，于是有0)1(=-X X H λλ．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有1=λλ，这表明λ的模长为1．例34、设A 与B 均为Hermite 矩阵，试证A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同．证 必要性 由于相似矩阵有相同的特征值，所以A 与B 的特征值相同．充分性 A 与B 均为Hermite 矩阵，所以分别存在酉矩阵21,U U ，使得.,2122211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H BU U AU U ηηηδδδ其中),,2,1(n i i =δ为A 的特征值，),,2,1(2n i =η为B 的特征值．又i i ηδ=，从而2211BU U AU U H H =，此即B U U A U U H H H =)()(2121，这表明A 与B 酉相似．例35、设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ． 证 由于A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H AU U λλλ21， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值，又A 为幂等矩阵，于是0=i λ或1．不妨设A 的秩为r ，那么i λ中有r 个1，r n -个0．记0,12121========-++r n r r r λλλλλλ ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ． 例36、设3R 中的向量为),,(321ξξξα=，线性变换为)32,32,22()(32132132ξξξξξξξξα+---+---=T ，求3R 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解 取3R 的简单基321,,e e e ，计算得),3,1,2()(),1,3,2()(),2,2,0()(321--=--=--=e T e T e T那么，T 在基321,,e e e 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=312132220A ． A 的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的线性无关的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-112,201,021． 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=244,120102211P ， 则有Λ=-AP P 1，由P e e e ),,(),,(321321=ααα求得3R 的另一个基为).1,1,2(2),2,0,1(2),0,2,1(23213312211=++=-=+-=-=+-=e e e e e e e ααα T 在该基下的矩阵为Λ．四、教材习题同步解析1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证 设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+；1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++=．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε下的坐标分别为y x ,，则Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证 设V ∈γ，在基12,,,n εεε下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ； ),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ； ),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解 设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T)1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα； 2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交．5、设12,,,n ααα是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证 令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==ni i i ni i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解 设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =； ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ；)1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解 因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i m j m j ni ji ji ji ji A B a b b a B A 1111),(),(；对任意的R k ∈，n m ij R a C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()T C A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以nm R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα．11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ， 设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T )0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基． 证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使112()(1σαα=+，212()(1(2σααα=-++-，313()2σαα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将。

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8.设相似于，则
.
.
9.矩阵的线性无关的特征向量的个数为
.
10.设和是3阶实对称矩阵的两个不同特征值，和依次是属于和的特征向
量，则
.
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 若同阶矩阵与相似，则对任何常数与相似.
(2) 若方阵与对角矩阵相似，则也与对角矩阵相似.
23.求矩阵的秩.
五、证明题
24.设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.
25.设阶矩阵满足.证明矩阵可逆，并求.
26.证明：矩阵与行等价的充分必要条件，是存在阶可逆矩阵，使.
第三章 向量
本章要点
1.维向量及其线性运算； 2.线性组合与线性表示； 3.线性相关与线性无关； 4.向量组的极大无关组与秩； 5.实向量的内积、长度、夹角、正交，正交矩阵与施密特正交化方法.
第四章 线性方程组
本章要点
线性方程组解的情况的判定、解的性质、解的结构及求解方法.
本章目标
1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件、解的性质、基础解系与 通解等概念；
2.理解非齐次线性方程组解的判定定理、解的性质、解的结构与通解 等概念；
3.掌握用初等变换法求解线性方程组的方法.
本章重点
1.齐次线性方程组基础解系的概念与计算； 2.非齐次线性方程组解的判定以及在有无穷多解时通解的计算.
.
9.设阶可逆方阵的伴随矩阵为，已知则
.
10.若矩阵的秩为2，则
.
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 矩阵乘法满足交换律，但不满足结合律；
(2) 方阵的伴随矩阵的元素为，其中是的代数余子式；
(3) 同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵； (4) 同阶对称矩阵的乘积必是对称矩阵； (5) 设、均为可逆矩阵，则有.

注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无 关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。 大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ， k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。
写成向量的形式就是
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m,1 m,2 a1n a 2n kn 0 a m,n
写成分量的形式就是 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m 1,1k1 a m 1,2 k 2 a m 1,n k n 0 取其前面m个方程，即 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m,1k1 a m,2 k 2 a m,n k n 0
定义2 设α 1 ，α 2 ，…，α m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0，则称向量组 α 1 ，α 2 ，…，α m线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α 1，α 2，…，α m 线性无关。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α ，β ， γ 三个向量构成，则 α ， β ， γ 线性相关的充要条件 是α ，β ，γ 共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的 定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个 概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称 α 1 ， α 2 ，…， α m 线性相关是指存在不全为 0 的 m 个常数 k1 ， k2 ，…， km 使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α 1 + k2 α 2 + … +km α m = 0 有非零解（ k1 ， k2 ，…，km）。

第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件为( )A. n ααα,,,21 均不为零向量;B. n ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例;C.n ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. n ααα,,,21 中有一部分向量线性无关.解: C. 2.m ααα,,,21 均为n 维向量,则下列结论正确的是( )A. 若,02211=+++m m k k k ααα 则m ααα,,,21 线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有,02211≠+++m m k k k ααα则m ααα,,,21 线性无关;C. 若m ααα,,,21 线性相关,则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有;02211=+++m m k k k αααD. 若000021=⋅++⋅+⋅m ααα ,则m ααα,,,21 线性无关. 解: B. 3.321,,ααα线性无关,则以下线性无关的是( )A. ;,,133221αααααα-++B. ;2,,3213221ααααααα++++C.;3,32,2133221αααααα+++D. ;323,232,321321321ααααααααα+-+-++解: C.对A 中向量有0)()()(133221=-++-+αααααα, 对B 中向量有0)2()()(3213221=++-+++ααααααα,对D 中向量有0)323()232()(321321321=+--+-+++ααααααααα对C 中向量有,033022101;330022101),,()3,32,2(321133221≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα所以选择C. 4.m m βββααα,,,,,2121 ，和是两向量组,若存在两组不全为零的实数和m λλλ,,,21 m k k k ,21 ，，使得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k k k βλβλαλαλ ,则( )A. m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性相关; B.m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性无关;C.m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111 线性相关; D. m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111线性无关.解: D.将已知等式变形得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k βαβαβαλβαλ .5.设γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则( )A.线性表示；，，必可由δγβαB. 线性表示；，，可由必不δγαβC. 线性表示；，，必可由γβαδD. .线性表示，，必不可由γβαδ 解: C.由已知得.线性表示，必可由βαδ从而.线性表示，，必可由γβαδ 6.设β可由向量组m αα,,1 线性表示,但不能由(Ⅰ) 11,,-m αα 线性表示,记(Ⅱ) βαα,,,11-m ,则( )A.m α不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.m α可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.m α可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解: B. 设m m m m k k k αααβ+++=--1111 (*)则必有0≠m k ,否则与β不能由11,,-m αα 线性表示矛盾.对(*)式变形即得m α可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组321,,ααα线性无关, 133322211αλαβααβααβt -=-=-=，，也线性无关,则( )A.t =λ,B. t ≠λ,C. 1==t λ,D. t 2≠λ 解: D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=λαααβββ1001101),,(,),,(321321t ,321,,βββ线性无关 01001101≠---λt ,故选(D)8.设B A ,均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则A 和B 的秩 ( )A.必有一个等于零;B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n. 解: B.由0=AB 和0≠B 得: 方程组0=AX 有非零解,所以,;)(n A r <同理可得:;)()(n B r B r T <= 故选B.9. 设矩阵n m A ⨯的秩为m En m A r ,)(<=为m 阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵A 的任意m 个列向量必线性无关;B.矩阵A 的任意一个m 阶子式不等于零;C.若矩阵B 满足0=BA ,则0=B ;D.矩阵A 通过初等行变换,必可化为)0(m E 的形式.解: C.若0=BA ,则,0)(==TT T B A BA 即: T B 的列向量均为方程组0=X A T的解. 而,)()(m A r A r T ==即: m n T A ⨯为列满秩矩阵, 所以, 方程组0=X A T 仅有零解.亦即: .0==TB B 10.设有向量组),10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. 321,,ααα; B. 421,,ααα; C. 521,,ααα; D. .,,,5421αααα解: B.以该向量组为列构造矩阵A ,对A 施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==000000100010110203011001424527121203121301)(54321TT T T T A ααααα,初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 421,,ααα为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解;B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解;C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解;D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解. 13.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξTT A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T 则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A TT T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.14.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k kB. ;2)(2121211ββααα++-+k k C. ;2)(2121211ββββα-+++k k D. .2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).15.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r , T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c 解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .16.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( )A.λ=-2,且|B |=0;B. λ=-2,且|B |≠0;C. λ=1,且|B |=0;D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.17.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102, C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2, 从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).18.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( ) A.P t ,6=的秩必为1; B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数. 从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r 若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.19.设.),,(,),,(,),,(321332123211TT T c c c b b b a a a ===ααα 则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A.321,,ααα线性相关; B. 321,,ααα线性无关;C.);,(),,(21321αααααr r = D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);解二:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332211c c c y x b a b a b a 存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D); 解三:设交点为),(00y x ,则,20103αααy x --=即3α可由21,αα唯一线性表示.故选(D).20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a 是满秩的,则( )直线321321321213213213c c c z b b b y a a a x c c c z b b b y a a a x --=--=----=--=--与 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵A 分块为,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA 321,,ααα为A 的行向量, 321,,ααα线性无关.而又3221αααα--与线性无关,二直线不平行.又由，）（）（）（0133221=-+-+-αααααα这说明三个向量133221αααααα---，，共面.所以二直线相交.解二:记133322211ααβααβααβ-=-=-=，，,则21213βββββ，，--=线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令,213213213t c c c z b b b y a a a x =--=--=--令一个参数为τ,则得方程组如下⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(133221133221133221c c c c t c c b b b b t b b a a a a t a a τττ方程组有唯一解的充要条件为2321αααα--与线性无关,因此二向量与13αα-线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将321,,ααα视为向径,即),,(i i i c b a 为三个点,有r(A )=3知此三点不共线.因此决定一平面π.而二直线一是过),,(1111c b a =α与32αα-平行;一是过),,(3333c b a =α与12αα-平行,此二直线均在π上且不平行,故相交.解五:取特殊情况⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足关系式为 .解: 4231aa a a +=+ 线性方程组有解 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等, 对增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14321432110101100011000111001110001100011a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→3214321214321000110001100111100110001100011a a a a a a a a a a a a a所以应有 4231a a a a +=+.2.设t ηη,,1 及t t k k ηη++ 11均为非齐次线性方程组B AX =的解向量,则=++t k k 1解: 11=++t k k将t t k k ηη++ 11代入方程组B AX =得,)(11B k k A t t =++ηη 即 ,11B A k A k t t =++ηη 从而,)(1B B k k t =++ 即11=++t k k .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性 ； (２) 3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性 ． 解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ, 321,,βββ线性无关 0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关. 4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t =解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3 解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为 解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 6.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 .解: (1,0,0,…,0)T.|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T为方程组的解.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解. B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解. 从而有,0||=A 解得3-=t .三.计算题 1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:0)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα , 由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得 01211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111... (00)11001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关.2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关. 3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1)1α能否用32,αα线性表示?(2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示. (2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾.所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a Tin i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关. 已知T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0 (00)221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i Ti==βα即: ),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得 02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββTk .但0≠ββT ,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα . r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关. 5.设有向量组T T T T p p ),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321--=+-=--==αααα,(1) p 为何值时,向量组线性无关,并将T)10,6,1,4(=α用该向量组线性表示; (2) p 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将ααααα,,,,4321按列构造矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----p p p p p p 12000101003412042311267402124603412042311102136101511623142311故p ≠2时,,4),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性无关.若设44332211αααααx x x x +++=, 对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--==--==23124324321p p x x p p x x(2) p =2时,,3),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性相关.因为,3),,(321=αααr 即321,,ααα线性无关,所以321,,ααα为一极大无关组.6.设),5,3,1,1(),9,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(4321+=+=+-===b a a βαααα(1) b a ,为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) b a ,为何值时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321βαααα施行初等变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-010000100121101111158153342321211011111a b a a b a(1) a =-1,b ≠0时,r(A )=2≠r(B A |)=3, β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) a ≠-1时, r(A )=r(B A |)=4, β能由4321,,,αααα唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b 7.设向量),,,,1(,)4,1,1(,),3,1,2(,)10,2,(321c b a TT T =-=-==βααα 试问c b a ,,满足什么条件时, (1)β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一?(2) β不能由321,,ααα线性表示?(3) β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数321,,k k k ,使得βααα=++332211k k k ,其对应的线性方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--ck k k b k k k k k ak 3213213214310212该方程组的系数行列式为 4451011212--=--=a a A(1)当4-≠a 时,,0||≠A 方程组有唯一解, β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一.(2)当4-=a 时,对增广矩阵进行初等变换:.1301210101245101121124⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=c b b b c b A若,13≠-c b 则),()(A r A r ≠方程组无解, β不能由321,,ααα线性表示.(3)当4-=a 且13=-c b 时, ,32)()(<==A r A r 方程组有无穷多解.β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一.进一步求解得:t b k b t k t k (12,12,321+=---==为任意常数).所以,有 .)12()12(321αααβ++++-=b b t t从而133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112λλλλλλλλλλλλλλλλA所以:(1) 当12≠-≠λλ且时, ,3)()(==A r A r 方程组有唯一解; (2) 当2-=λ时,,3)(2)(=<=A r A r 方程组无解; (3) 当1=λ时, ,31)()(<==A r A r 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000002111A ,对应的线性方程组为:3212x x x ---=,令032==x x 得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T-=η导出组对应的线性方程组为:321x x x --=,分别令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10,013232x x x x 得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT -=-=ξξ 所以,方程组的全部解为:2122110,(k k k k ξξηη++=为任意常数).9.已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,讨论t p ,取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=20000008001221011401161117231461203211t p t p A所以,(1) 当2-≠t 时,)()(A r A r ≠,方程组无解; (2) 当2-=t 时,)()(A r A r =,方程组有解; 若8,2-=-=p t 得方程组的通解为2121,(,)1,0,2,1()0,1,2,4()0,0,1,1(k k k k T T T --+-+-=η为任意常数).若8,2-≠-=p t 得方程组的通解为k k T T (,)0,1,2,1()0,0,1,1(--+-=η为任意常数).10.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何关系时,方程组仅有零解;(2) c b a ,,满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))((000111111222a c b c a c a b c b a c b a (1) c b a ,,互不相等时,r(A )=n=3,方程组有唯一零解;(2) b c a ≠=时,通解为 k(1,0,-1); c b a ≠=时,通解为 k(1,-1,0); a c b ≠=时,通解为 k(0,1,-1).11.设B 为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ,(1) 求λ;(2)证明|B |=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221=---λ解得 1=λ.另一方面,当1=λ时,r(A )=2,线性方程组基础解系包含一个向量, 所以,r(B )=1,从而|B |=0.12.设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x(1) 若)4,3,2,1(=i a i 两两不等,则方程组无解;(2) 若)1,1,1(),1,1,1(),0(,214231-=-=≠-====ββk k a a k a a 为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故,0)(41≠-=∏≤<≤j i j ia aD增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩≤3,所以,方程组无解.(2)若),0(,4231≠-====k k a a k a a 原方程等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++3322133221k x k kx x k x k kx x系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为,21ββ-取方程组的特解为,1β 方程组的通解为: k k k )(2,0,2()1,1,1()(211-+-=-+βββ为任意常数).13.设有两方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+⎪⎩⎪⎨⎧=---=----=-+111253314624343143213214321421t x x x x nx x x m x x x x x x x x x x x x (II)(I)(1) 求方程(I)的通解;(2) t n m ,,为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→521041010210011A得通解为 .)1,2,1,1()0,5,4,2(TTk X +---=(2)将(I)的通解Tk k k k X ),25,4,2(+-+-+-=代入(II)中各方程: 代入第一个方程得: 0)4)(2(=+--k m ,k 为任意实数,故m =2.类似可得: n =4,t =6.将m =2, n =4, t =6代入方程(II),得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+5112452434314321x x x x x x x x x对增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→5210041010210012A与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,另有方程组(II)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解. 解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为43,x x ,令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01,104343x x x x 代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10101001110000001010210121101010,,,4321αααα,从而,3214αααα++=.即: 4321αααα+-=+,其中21αα+为(I)的解,43αα+-为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k(43αα+-)=k(-1,1,1,1).(k 为任意常数).15.设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n x a x a x a x a 的一个基础解系为),,1(),,,(21n j b b n j j =,写出(II)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n y b y b y b y b 的通解.解: ),,1(),,,(21n j b b n j j =为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................2211221111n j n n j n n j n j b a b a b a b a ),,1(n j =, 这表明),,1(),,,(21n i a a n i i =为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n 个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而),,1(),,,(21n i a a n i i =线性无关. 另一方面, 方程(II)的的系数矩阵B 的秩为n, 故(II)的基础解系应包含n 个向量,所以 ),,1(),,,(21n i a a n i i =为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为∑=ni n i i ika ak 121),,,( 为任意常数. 四.证明题1. 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,其中m n <,若E AB =,证明B 的列向量组线性无关. 证明: ,)()()(n E r AB r B r ==≥另一方面, B 是n m ⨯矩阵,所以,),min()(n n m B r ≤≤ 综合即有 ,)(n B r =因此B 的n 个列向量线性无关,亦即B 的列向量组线性无关.2. 设ξξξ,TE A -=是n 维向量,证明: (1);12=⇔=ξξTA A(2)当1=ξξT时,A 不可逆.证明: (1) TT T T T T T E E E E A ξξξξξξξξξξξξξξ)2()(2))((2--=+-=--=由A A =2得 T T E ξξξξ)2(--=T E ξξ-所以必有 ,12=-ξξT 即 .1=ξξT(2) 由(1)得当1=ξξT 时, A A =2. 若A 可逆,则,02=-A A 即0)(=-E A A 从而必有 ,0=-E A 亦即.E A =又因为T E A ξξ-=,所以必有0=ξξT,与1=ξξT 矛盾.因此应有A 不可逆. 3. 证明n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件为:.. (2)12221212111≠=nT n T n T n n T T T n T T T D αααααααααααααααααα证明: 设),(21n A ααα =则n ααα,,,21 线性无关的充要条件为.0||≠A另一方面,A A D T =, 从而2||||||A A A D T ==,0||≠D 的充要条件为.0||≠A所以应有 n ααα,,,21 线性无关的充要条件为0||≠D .4. 设有向量组(I)321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关.证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为 3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证. 5.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设01110=+++--αααk k A t A t t 上式两侧同乘以1-k A:0)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即0)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t 由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k AA A 所以应有 01=-αk A t 而01≠-αk A ,从而必有00=t . 因此有 0111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得012===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证. 6.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性.设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有0322131=+=+=+k k k k k k 解得: 0321===k k k即: 321,,ααα线性无关.7.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中t j k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得 0)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,所以应有021====t A A A ααα .从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。

《线性代数（材化）》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。

（ ）2．每作一次对换改变排列的奇偶性。

( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。

（ ）4、若排列abcdfe 为奇排列，则排列badcfe 为偶排列． （ ） 5．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。

（ ） 6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ). 7. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( ) 8．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )9、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。

（ ） 10、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ ）二.填空题：1．排列54218637的逆序数为______________。

2、五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 .3．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xc b a（其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 . 4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+430302321321321ax x x x ax x x x ax 有非零解的充要条件是a 满足._____________ 5.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。

6,____________.n ij ij D a a D a ===-=若则 7.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=___________.8、设四阶行列式321421431432，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ， _______3432=+A A . 9．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝10、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 .三.选择题1. 关于n 级排列i 1i 2…i n ,以下结论不正确的是（ ）(A)、逆序数是一个非负整数 (B)、一个对换改变其奇偶性 (C)、逆序数最大为n (D)、可经若干次对换变为12…n2、设）（则=---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）13．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D= ( )（A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1 4、设5阶方阵,()i j A a =的行列式展开式中应有一项为（ ）(A) 1123455344a a a a a (B) 1123344554a a a a a (C)1123355244a a a a a (D) 1123355144a a a a a5、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―26、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解7．如果行列式0200200011=kk k ，则（ ）。

1.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯中，()r A R =, 则（ ）。

A ．r=n 时，方程组b x A n m =⨯有唯一解B ．r=m 时，方程组b x A n m =⨯有解C ．r<n 时，方程组b x A n m =⨯有无穷多解D ．m=n 时，方程组b x A n m =⨯有唯一解2.已知向量组()T 4,3,2,11=α，()T 5,4,3,22=α，()T 6,5,4,33=α，()T7,6,5,44=α则 该向量组的秩为（ ）。

A ．1B ．2C ．3D ．43.已知A 是4阶矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,若*A 的特征值是1,-1,2,4,则不可逆的矩阵是（ ）。

A ．A-EB ．2A-EC ．A+2ED ．A-4E4.设33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）。

A ．B P AP =21 B ．B P AP =12C ．B A P P =21D ．B A P P =125.设2011A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则*A =（ ）。

A ．1120-⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1012-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．2101⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．1120-⎛⎫ ⎪⎝⎭6.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足（ ）。

A ．O A ≠B ．O A =C ．0A ≠D ．0≠AB7．设A 为4阶可逆方阵，且21=-A ，则()=--*A A 231（ ）A ．128B ．128-C ．126D ．126-8．设原方程组为b AX =，且()()r b A R A R ==|，则和原方程组同解的方程组（ ）A ．b X A T= B ．b QAX =（Q 为初等矩阵）C ．Pb PAX =（P 为可逆矩阵）D ．原方程组前r 个方程组成的方程组9.设齐次线性方程组O AX =的系数矩阵A 为n m ⨯矩阵，()()n s s A R ≠=，则该方程组的基础解系中含有线性无关解向量的个数为（ ）A ．s m -B ．n s -C ．s n -D ．n m -10.设n 维向量321,,ααα线性无关，则与向量组321,,ααα等价的向量组是（ ）。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

1 1 1 1 1 −1 1 1 . 过渡矩阵为 C = 0 0 1 1 0 0 0 1 显然g=4+3x+2x2+x3在基1,x,x2,x3下的坐标为(4,3,2,1)T .
设g=4+3x+2x2+x3在基f1,f2,f3,f4下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T,则
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2、求向量组的秩、并求其极大无关组 例3 设向量组
0 1 0 −1 1 2 0 −1 α1 = ,α2 = ,α3 = ,α4 = , 1 2 −1 0 0 1 0 −1
求向量组的秩及一个极大无关组． 解 将向量组α1,α2,α3,α4拼成矩阵A，求R(A)及A的 列向量组的极大无关组，对A施以初等行变换
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4、验证一组向量是某向量空间的基，并把空间中的 、验证一组向量是某向量空间的基， 某个向量用该组基线性表示
例4 验证向量组α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1)为 R3的一个基，并把向量β1＝(2,0,0), β2=(3,1,4)用这个基 线性表示． 解 设A＝ (α1,α2,α3),要证α1,α2,α3是R3的一个基， 只须证A~E即可，由于
y1 1 1 y 1 −1 2 = y3 0 0 y4 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
−1
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4 − 1 1 1 0 4 2 2 2 3 1 − 1 0 0 3 1 2 = 2 . = 2 2 0 0 1 −1 2 1 1 0 0 0 1 1 1
1 A ⋯ 1 = 0 β1 2 β2 3 1 0 1 0 0 1 1 −1 1 1 ~ 0 1 0 0 2 −2 1 4 3 −2 0 1 1 0 1 ~ −1 0 2 4 −2 0 1 1 0 4 0 1 0 0 2 ~ 0 −2 1 2 −1 0 1 0 1 3 0 0 1 , −1 1

线12级物联网班李沛华一、填空1. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112,1101B A ，则=AB . 2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D = _______.3. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 _____，设A *为A 的伴随矩阵，则1A -= ______. 4. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则1A -= __________.5. ()121,2,3,4_______,34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()121,2,3,4_______34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. },,n α= .013.已的秩(1r α15.设A 是三阶可逆矩阵，且1121021003A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*__________A =.16.已知向量TT ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,31,31,0,21,21βα，则βα,的夹角是 . 17. 已知()1,0,2,2T α=，则α的模||||_______α=.18.行列式21064153247308021的值为 .19.已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2-,3, 则=-1A .20.二次型222(,,)222f x y z x y z xy yz =+-+-对应的矩阵为________.31. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ= . 32. 向量组12,,,γααα⋅⋅⋅可由向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性表示且12,,,γααα⋅⋅⋅线性无关, 则r ____s .(填,,,≤≥<>)33. 如果线性方程组Ax b =有解则必有()r A _____(,)r A b .34. 已知A 是三阶方阵，2A =, 则()12_________A -=.35. 行列式1111141111311112的值为 .36. 二次型()2221231231223134444f x ,x ,x x x x x x x x x x =++---对应的矩阵为 .38. 若α 42. 若λ. 3 坐标为_____________. 45.设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则=A .46.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+++003203243143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系是 .47.已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.48. 11101-⎛⎫ ⎪⎝⎭= .49.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .50. 如果12,αα都是齐次线性方程组n n A x O ⨯=的解，且12αα≠，则=⨯n n A .51. 向量组()()()1231,0,0,1,3,0,1,2,1T T T ααα==-=-线性 （填相关或无关）T 58. 设A ，B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 59. 设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A .60. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .61. 设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ .62. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A .63. 若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a . 64. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充要条件是_________.65. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为___________. 1100-⎛⎫ ⎪*.74. 设A 是m n ⨯矩阵，A 的秩为()r n <，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系中含有解的个数为 .75. 设向量,αβ的模依次为2和3，则向量αβ+与αβ-的内积(),αβαβ+-= .76. 设3阶矩阵A 的行列式A =8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .77. 设矩阵010********A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，已知212α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .78. 若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = . 79.A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= .81.82. 3A 85.当kB = .88.矩阵的不同特征值对应的特征向量必 .89.已知n 阶矩阵A 各行元素之和为0，则90.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400014015A ，则1-A ＝ .二、单项选择题1.设A 是n 阶方阵，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则A （ ）.A) 必为0 B) 必不为0 C) 必为1 D) 可取任何值2.已知矩阵满足23A A =，则A 的特征值是（ ）.A)λ=1 B)λ=0 C)λ=3或λ=0 D)λ=3和λ=03.假设C B A ,,都为n 阶方阵，下列等式不一定成立的是（ ）．9.若A 为三阶方阵，且20,20,340A E A E A E +=+=-=，则A =（ ）.A)8 B)8- C)34 D)34- 10.设A 为n 阶矩阵, 如果()1-=n A r , 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系所含向量的个数是( ).A ）0B ） 1C ） 2D ）n11.设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）.A)0=A 或0=B B)0=+B A C ）0=A 或0=B D)0=+B A 12.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ）.A) A E = B)B E = C ）A B = D)AB BA =13. 关于正交矩阵的性质，叙述错误的是（ ）.A ）若A 是正交矩阵，则1-A 也是正交矩阵001 ⎪⎝⎭1300 ⎪⎝⎭1200 ⎪⎝⎭001 ⎪⎝⎭18. 对于一个给定向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）．A ）极大线性无关组一定线性无关B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）极大线性无关组中所含向量个数就是向量组的秩D ）极大线性无关组一定是唯一的19.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A 的伴随矩阵A *中位于（1，2）的元素是（ ）. A ）–6 B ）6 C ）2 D ）–220.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB AC =，则必有（ ）.A) 0A =B) B C ≠时0A = C) 0A ≠时B C =D) 0A ≠时B C = 的数12,,λλ，使11s s λαλα+++=，使112()(s s λαββλα++++,s λ，使(s s λα++-的数12,,,s λλλ和不全为,,s μ，使0s s λα++=和10s μβ=设矩阵A 的秩为 ）.24.设A A ）A( ）.A) 12ηη+是0Ax =的一个解B) 121122η+是Ax b =的一个解 C) 12ηη-是0Ax =的一个解 D) 122ηη-是Ax b =的一个解26.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A) ()r A n < B) ()1r A n =- C)0A = D)方程组0Ax =只有零解27.设A 是一个(3)n ≥阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）.A)如存在数λ和向量α使A αλα=，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B)如存在数λ和非零向量α，使()0E A λα-=,则λ是A 的特征值C)A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D)如123,,λλλ是A 的3个互不相同的特征值，123,,ααα依次是A 的属于123,,λλλ的特征向量，则123,,ααα有可能线性相关28.设 A ）λC ）A 29.设0λC)A D) A A)矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 B)矩阵A 有n 个特征值C)矩阵A 的行列式0A ≠ D)矩阵A 的特征方程没有重根34. 若21,ηη为非齐次线性方程组β=Ax 的解，则（ ）仍必为β=Ax 的解．A ）21ηη+B ）()121ηηη+-cC ）21ηη-D ）1ηc （c 为任意常数）35.向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（ ）.A)s r = B)s r ≤ C)r s ≤ D)r s <36.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A)()()r B r A ≤ B)()()r B r A < C)()()r B r A = D)()()r B r A ≥37.二次型212312(,,)()f x x x x x =+的矩阵为（ ）.A) 1201⎛⎫ ⎪⎝⎭ B) 120010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C) 100000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D)40.A )141.已知 ,2,3- A A) ()2222B AB A B A ++=+ B) ()T T TA B AB = C) BA AB = D) ()()22B A B A B A -=-+43.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） .A )0=+B AB )））B r A r ((=C )O A =或O B =D )0=A 或0=B44.设12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ）.A)21+ββ B) 121(32)5ββ+ C) 121(2)2ββ+ D) 12ββ- 45.下列矩阵为正交矩阵的是（ ）.A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110110001B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22121212231 C ）1221⎫⎪-⎭ D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011 46.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ）.50. 能由A ）B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）若一个向量组线性无关，则其极大线性无关组就是向量组本身D ）极大线性无关组一定是唯一的52.若1x 是方程Ax b =的解，2x 是方程0Ax =的解，则（ ）是方程Ax b =的解（c R ∈）A) 12x cx + B) 12cx cx + C) 12cx cx - D) 12cx x +53.n 维向量组m ,,,ααα 21线性无关的充分必要条件为（ ）.A) m ααα,,,21 均不为零向量 B)m ααα,,,21 中任意两个不成比例C) m ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示；D) 以上均不对.54．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）.A)所有r -1阶子式都不为0 B)所有r -1阶子式全为057.设0α,,r α线性相关 C ）,,r α的线性组合是的解,,r α的线性组合是与对角矩阵相似的充要条件是 A) 1k ≠ B ） 3k ≠ C ） 1k ≠-,且3k ≠ D ）1k ≠-或3k ≠ 60. ,,A B C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）.A)AB BA = B ）0AB =,则0A =或0B =C ）22()()A B A B A B -+=-D ）AC BC =且C 可逆,则A B =61. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）.A) 0A ≠ B ）10A -≠ C ）()r A n = D ）A 的行向量组线性相关 62. 向量组 12,,,s ααα的秩为r,则下述说法不正确的是（ ）. A) 12,,,s ααα中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 B ）12,,,s ααα中任何r 个向量的线性无关部分组与12,,,s ααα可互相线性 表示C ）12,,,s ααα中r 个向量的部分组皆线性无关 D ）12,,,s ααα中任意r+1个向量的部分组皆线性相关 B),,s α线性表出，且,,t β线性无关，则的关系为( ) .A)0λ= B)1λ= C)0λ=或1λ= D)0λ=和1λ=69.1111111111111111b aa +-+的值为( ) .A)1 B)0 C) a D) 2a b -70.设B A ,均为n 阶矩阵, 满足0=AB , 则（ ）.A) 0==B A B) 0=+B A C) 0=A 或0=B D) 0=+B A71.已知行列式052231521=-a，则=a （ ）.A)2 B)3 C)2- D)3-72.已知A 为n m ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为m p ⨯矩阵，则下列运算不可行的 是（A)(73.已知 A)k 74. A)a 75. 有（ A)76. A) C)存在可逆阵P ，使得B AP P = D)存在正交阵P ，使得B AP P =77.设A 为4阶矩阵且2-=A ，则=A A （ ）.A)4 B)52 C)52- D)878.设,A B 为n 阶矩阵，O A ≠且0AB =AB=O ，则（ ）.A) 0B = B) 00==A B 或C) 0BA = D) ()222B A B A +=- 79.下列矩阵中, （ ）是正交矩阵.A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221 B)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321 C)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 80.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+004231x x x x 的基础解系含（ ）个线性无关的解向量. A) 1 B) 2 C) 3 D) 482. A) ⎝⎛20083.设m85. A) 1 B) 2 C) 3 D) 486.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13210131131001X ，则X =（ ）. A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3921 B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2139 C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0956 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0699 87.设n 阶矩阵A 的秩为r ，则有（ ）成立.A)0≠A B)0=A C) r n > D) n r ≤88.向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ）.A) 0s > B)它有一个部分向量组线性无关C) 1s > D)它的所有部分向量组线性无关。

【关键字】资料线性代数B复习资料(一)单项选择题1．设A，B为n阶方阵，且，则下列各式中可能不成立的是（A ）(A) (B) (C) (D)2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C ）(A)A≠O (B)A=O (C) (D)3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D ）(A) B为单位矩阵(B) B为零方阵(C) (D) 不一定4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A的各行向量中至少有一个为零向量(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比率5．设向量组线性无关的充分必要条件是( D )(A) 均不为零向量(B) 任意两个向量的对应分量不成比率(C) 中有一个部分向量组线性无关(D) 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6．向量组的秩就是向量组的(C )(A) 极大无关组中的向量(B) 线性无关组中的向量(C) 极大无关组中的向量的个数(D) 线性无关组中的向量的个数7．下列说法不正确的是( A )(A) 如果r个向量线性无关，则加入k个向量后，仍然线性无关(B) 如果r个向量线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关(C)如果r个向量线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关(D)如果r个向量线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n阶方阵A的秩r<n，则在A的n个行向量中( A )(A) 必有r个行向量线性无关(B) 任意r个行向量均可构成极大无关组(C) 任意r个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r个行向量线性表示9．设方阵A的行列式，则A中( C )(A) 必有一行（列）元素为零(B) 必有两行（列）成比率(C) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A )(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(D)A 的行向量线性相关11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b (D)(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ D ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D) 都小于n13．设向量组线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A) (B) (C) (D)321321321553,222,ααααααααα-++-++14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( C )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则( B )(B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组19．设()21,,1αα-=⨯n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A ) (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,023．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时321,,ααα线性相关。

班级： 姓名： 学号：131《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分）1．设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= .2．三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。

3．设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。

4．设矩阵,则。

5．设矩阵可逆，且矩阵,所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列)初等变换而得到.6．设向量组，若 则一定可以由向量唯一的线性表示。

7．非齐次线性方程组有 唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵的行列式 ，则矩阵一定有一个特征值。

9．阶矩阵有个特征值1，2，，阶矩阵与相似，则. 10．向量组: （填是或不是）向量空间一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）得分阅卷人班级： 姓名： 学号：132注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法( ）不正确 （A ） 若方程组有解,则系数行列式； （B ） 若方程组无解,则系数行列式；(C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解； （D) 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2。

设为阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） ； （B) ； （C ） ；（D ） 。

3。

奇异方阵经过( ）后，矩阵的秩有可能改变。

(A ） 初等变换； (B ） 左乘初等矩阵； (C ） 左、右同乘初等矩阵； (D ） 和一个单位矩阵相加。

4．设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（ ）。

（A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关； （D) 增广矩阵的列向量组线性无关。

5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) （A ） 4/3; (B) 3/4；(C ） 1/2； （D) 1/4。

作业1 行列式矩阵基础运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 BA9B10C11D122 / 25 单选题（4分）正确答案 CA4312B51432C45312D6543213 / 25 单选题（4分）正确答案 C若是5阶行列式中带有正号的一项,则的值是( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶行列式,则在行列式中的符号为( ).A正B负CD5 / 25 单选题（4分）正确答案 B行列式,. 若,则的取值为( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 A设为行列式中元素()的代数余子式,则( ). A0B1C2D37 / 25 单选题（4分）正确答案 A行列式( ).A0B1C2D38 / 25 单选题（4分）正确答案 B 行列式( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 C 排列的逆序数是( ).A10B11C12D1310 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A10B20CD11 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A20B200C2000D2000012 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A30B50C70D9013 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).ABCD14 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A512B1024C1536D204815 / 25 单选题（4分）正确答案 C阶行列式( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 A为阶方阵,为阶单位矩阵,则下面等式正确的是( ). ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 CABCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 C设阶方阵的伴随矩阵为,且,则( ).ABCD19 / 25 单选题（4分）正确答案 BAB,则称为的逆矩阵CD方阵可逆的充分必要条件是20 / 25 单选题（4分）正确答案 B设方阵经若干次初等变换变成方阵,则必成立( ). AB若,则C若,则D21 / 25 判断题（4分）标准排列是偶排列.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）( ) 正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）一个阶行列式与一个阶行列式,必不相等.( )正确错误正确答案错误作业2 矩阵性质向量基本运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 C设和均为阶矩阵,则必有( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 D设均为阶方阵,且,则必有( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 B为阶矩阵,下列运算正确的是( ).AB若可逆,,则CD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C为阶方阵,则( ).A或可逆必有可逆B与都可逆,必有可逆C或不可逆,必有不可逆D与都不可逆,必有不可逆5 / 25 单选题（4分）正确答案 DA非零矩阵的秩必大于零B如果阶方阵可逆,则的秩为C如果可逆,则D如果不可逆,则6 / 25 单选题（4分）正确答案 D设矩阵,且矩阵的秩,则( ). ABCD7 / 25 单选题（4分）正确答案 DA若且,则B若,则或C若,则D若,则8 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为3阶方阵,且,则( ).A1BCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B设是矩阵,且,而,则( ).A1B2C3D410 / 25 单选题（4分）正确答案 B设阶方阵都是非零矩阵,若,则与的秩( ). A必有一个等于B都小于C一个小于,一个等于D都等于11 / 25 单选题（4分）正确答案 A已知,满足,则( ).ABCD12 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知,,则( ).ABCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示,则( ). A当时,向量组Ⅱ必线性相关B当时,向量组Ⅱ必线性相关C当时,向量组Ⅰ必线性相关D当时,向量组Ⅰ必线性相关14 / 25 单选题（4分）正确答案 B向量组的秩为,则必有( ).ABCD15 / 25 单选题（4分）正确答案 A线性相关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 C线性无关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD以上均有可能17 / 25 单选题（4分）正确答案 D维向量组线性无关的充要条件是( ). A中任何两个向量都线性无关B存在不全为零的个数,使得C中存在一个向量不能用其余向量线性表示D中任何一个向量都不能用其余向量线性表示18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组的秩为,则( ).A必有B向量组中任意个数小于的部分组线性无关C向量组中任意个向量线性无关D若,则向量组中任意个向量必线性相关19 / 25 单选题（4分）正确答案 BA不含零向量的向量组一定线性无关B含有零向量的向量组一定线性相关C不含零向量的向量组一定线性相关D含有零向量的向量组一定线性无关20 / 25 单选题（4分）正确答案 C设向量组线性无关,则下列向量组中线性相关的是( ). ABCD21 / 25 判断题（4分）若,则或.( )正确错误正确答案错误22 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）若,且,则有.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若阶方阵的秩为,则的伴随矩阵的秩也为.( )正确错误正确答案正确作业3 向量组的线性相关性方程组可解性判断1 / 25 单选题（4分）正确答案 B设为维向量组,且秩为(),则( ).A线性无关B线性相关C任一向量都可以表示为其余向量的线性组合D任一向量都不可以表示为其余向量的线性组合2 / 25 单选题（4分）正确答案 C若向量组线性无关,向量组线性相关,则( ).A必可由线性表示B必不可由线性表示C必可由线性表示D必不可由线性表示3 / 25 单选题（4分）正确答案 C若矩阵中个列向量线性无关,则的秩( ).A大于B大于C等于D等于4 / 25 单选题（4分）正确答案 C至多为( ).A1B2C3D45 / 25 单选题（4分）正确答案 CA若向量与正交,则对任意实数,与也正交B若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交C若向量与正交,则,中至少有一个是零向量D若向量与任意同维向量正交,则是零向量6 / 25 单选题（4分）正确答案 A若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的解向量个数为( ).BCD不确定7 / 25 单选题（4分）正确答案 A设矩阵,方程组仅有零解的充分必要条件是( ).A的列向量组线性无关B的列向量组线性相关C的行向量组线性无关D的行向量组线性相关8 / 25 单选题（4分）正确答案 B齐次线性方程组,其中为矩阵,且,是该方程组的三个线性无关的解向量,则下列选项中哪个是的基础解系( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知是非齐次线性方程组的两个不同解,是其对应的齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且的秩,是的两个不同的解,则的通解为( ).BCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知齐次线性方程组有非零解,则为( ).A3B4CD12 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶方阵,且的秩,则的基础解系( ).A仅有唯一向量B有有限个向量C有无限个向量D不存在13 / 25 单选题（4分）正确答案 D为阶方阵,则可逆的充要条件是( ).A任一行向量都是非零向量B任一列向量都是非零向量C有解D14 / 25 单选题（4分）正确答案 D元线性方程组有唯一解的充要条件是( ).ABC为方阵且D,且可由的列向量线性表示15 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A若仅有零解,则有唯一解B若有非零解,则有无穷多个解C若有无穷多个解,则仅有零解D若有无穷多个解,则有非零解16 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为4元非齐次线性方程组的三个解向量,且,若,,为任意常数,则线性方程组的通解为( ).ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方程组无解,则( ).A1BCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是齐次线性方程组的一个基础解系,则该方程组的基础解系也可以是( ). A用表示出的向量组B与秩相同的向量组C与等价的一个向量组D与等价的一个线性无关向量组19 / 25 单选题（4分）正确答案 C与向量都正交的全部向量为( ).ABCD20 / 25 单选题（4分）正确答案 B若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为( ).A1B3CD21 / 25 判断题（4分）若两个维向量组等价,则这两个向量组的秩相等.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）若两个维向量组的秩相等,则这两个向量组等价.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）量.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若向量组线性相关,则必含有零向量.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若向量组线性无关,则必不含有零向量.( )正确错误正确答案正确作业4 线性方程组求解矩阵对角化1 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是的特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是非奇异矩阵的特征值,则矩阵有一个特征值为( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶矩阵的三个特征值分别为,则( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是方阵的一个特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD5 / 25 单选题（4分）正确答案 A如果矩阵与相似,则( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶方阵的特征值分别为,,则( ).A3BCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 C3阶方阵的特征值分别为,,则的特征值为( ). ABCD8 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知与相似,则( ).A1B2C3D69 / 25 单选题（4分）正确答案 D三阶方阵的特征值为,则的特征值为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是( ). ABCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 B若是矩阵的特征值,则( ).A0B1C2D312 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且为的个特征值,与相似,则( ).A0BCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D若为阶正交矩阵,则( ).A0B1CD14 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵相似,则下列结论不正确的是( ).A的秩必定相等B均可逆C必定等价D的行列式必定相等15 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵可对角化,则满足的条件为( ).ABCD16 / 25 判断题（4分）若,则方程组仅有零解.( )正确错误正确答案错误17 / 25 判断题（4分）若方程组有非零解,则方程组有无穷多解.( ) 正确错误正确答案错误18 / 25 判断题（4分）若方程组有无穷多解,则方程组有非零解.( ) 正确错误正确答案正确19 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案正确20 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案错误21 / 25 判断题（4分）若是阶方阵的一个特征值,则.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）设,则的内积等于0.( )正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）若为正交矩阵,则也是正交矩阵.( )正确错误正确答案正确24 / 25 判断题（4分）若可对角化,则必定可逆.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若可逆,则必可对角化.( )正确错误正确答案错误作业5 二次型1 / 20 单选题（5分）正确答案 A二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D32 / 20 单选题（5分）正确答案 B实二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D33 / 20 单选题（5分）正确答案 B设是正定矩阵,则应满足的条件是( ). ABCD4 / 20 单选题（5分）正确答案 B已知矩阵为正定矩阵,则一定满足条件( ).ABCD5 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵正定,则满足( ).ABCD6 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型正定,则满足( ).ABCD7 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型为正定二次型,则满足( ).ABCD8 / 20 单选题（5分）正确答案 C若二次型为正定二次型,则应该满足条件( ).ABCD9 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型的矩阵是( ).ABCD10 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵对应的二次型是( ).ABCD11 / 20 单选题（5分）正确答案 A已知方阵合同,则( ).A必定等价B必定相似C都可逆D都不可逆12 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型,下列哪个是它的标准型( ). ABCD13 / 20 单选题（5分）正确答案 D二次型的规范型为( ).ABCD14 / 20 单选题（5分）正确答案 A若是阶正定矩阵,则( ).A必为正定矩阵B必为负定矩阵C必为半正定矩阵D必为半负定矩阵15 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型的正定性是( ). A正定B负定C半正定D半负定16 / 20 判断题（5分）二次型的矩阵一定是对称矩阵.( )正确错误正确答案正确17 / 20 判断题（5分）若正定,则必定可逆.( )正确错误正确答案正确18 / 20 判断题（5分）若可逆,则必为正定矩阵.( )正确错误正确答案错误19 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案正确20 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案错误。

一、单项选择题1、若((),())1f xg x=,则以下命题为假的是( B ).A.23((),())1f xg x= B.(),(),u x f x v x g x+=∀有()()()() 1.u x v xC.()|()()+=f xg x f x g xg x f x h x必有()|()g x h x D.(()(),()())12、下列命题为假的是( D ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上3次多项式一定可约C.在复数域上次数大于0的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根3、下列命题为真的是( C ).A.若2()()p x f x,则()p x是()f x二重因式B.若()p x是(),(),()'''的公因式,则()p x的根f x f x f x是()f x的三重根C.()f x有重根'⇔有一次因式(),()f x f xD.若()f x有重根,则()f x有重因式,反之亦然4、下列命题为假的是( A ).A.三个本原多项式之积未必是本原多项式B.实系数多项式只有一次或含共轭非实复根的二次多项式的实数域上不可约C.任何(0)n n >次复系数多项式在复数域上有且仅有n 个根(重根按重数计算)6、排列134782695的逆序数是【 B 】(A)9 ； (B)10 ； (C)1 ； (D)12 。

7、对任意n 阶方阵A 、B ，总有【 B 】(A) AB =BA (B) |AB |=|BA |(C) (AB )T =A T B T (D) (AB )2=A 2B 28. 设CB A ,,均为n 阶方阵，且,E CA BC AB === 则=++222C B A （ A ）；（A ）3E ；（B ）2E ；（C ）E ；（D ）0.9．设A 为n 阶方阵，T B A A =-，则必有（ C ）； ();()2;();()0.T T A B B B B A C B B D B ===-= 10、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 C 】（A ）A E =； （B ）A E =-；（C ）1A A -=； （D ）1A =。