一、实验目的
通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容
1. 插值方法
（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法
（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法
（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤
1. 拉格朗日插值法
（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法
（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法
（1）输入方程和初始值。 （2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法
（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析
1. 插值方法
（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法
（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章 误差
1.1 绝对误差与相对误差
在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字
在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章 插值与多项式逼近
2.1 插值问题的提出
插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。 2.2 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法
牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章 数值积分与数值微分
3.1 数值积分的基本思想
数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式
复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想
数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第1篇
一、实验目的
本次实验旨在通过编程实现数值分析中的几种重要算法，包括线性方程组求解、方程求根、插值与曲线拟合等，加深对数值分析理论的理解，提高编程能力和实际应用能力。
二、实验内容
1. 线性方程组求解
（1）高斯消元法：通过将矩阵化为上三角形式，再进行回代求解。
（2）克劳斯消元法：对矩阵进行逐行归一化处理，逐行消元。
（3）列主元素法：每次选取列主元素进行消元。
2. 方程求根
（1）二分法：在给定区间内，通过不断缩小区间，逼近方程的根。
（2）Newton法：利用导数信息，通过迭代计算逼近方程的根。
（3）不动点迭代法：通过迭代过程，将初始值逐步逼近方程的根。
（4）弦截法：利用弦线与x轴的交点，近似求解方程的根。
3. 插值与曲线拟合
（1）拉格朗日插值法：通过构造拉格朗日插值多项式，逼近函数在给定点的值。
（2）牛顿插值法：利用差商表，构造牛顿插值多项式，逼近函数在给定点的值。
（3）最小二乘法：通过最小化误差平方和，拟合曲线。
三、实验步骤
1. 线性方程组求解
（1）设计程序，实现高斯消元法。
（2）设计程序，实现克劳斯消元法。
（3）设计程序，实现列主元素法。 2. 方程求根
（1）设计程序，实现二分法。
（2）设计程序，实现Newton法。
（3）设计程序，实现不动点迭代法。
（4）设计程序，实现弦截法。
3. 插值与曲线拟合
（1）设计程序，实现拉格朗日插值法。
（2）设计程序，实现牛顿插值法。
（3）设计程序，实现最小二乘法。
四、实验结果与分析
1. 线性方程组求解
（1）高斯消元法：通过实验，验证高斯消元法可以成功求解线性方程组。
（2）克劳斯消元法：通过实验，验证克劳斯消元法可以成功求解线性方程组。
（3）列主元素法：通过实验，验证列主元素法可以成功求解线性方程组。
2. 方程求根
（1）二分法：通过实验，验证二分法可以成功逼近方程的根。
（2）Newton法：通过实验，验证Newton法可以成功逼近方程的根。
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数值分析知识点总结
说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论
1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？
相对误差限：**rre的一个上界。
有效数字：如果近似值*x的误差限是某一位的半个单位，该位到*x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。即x*=±10m×(a1+a2×10-1+…+an×10-(n-1))，其中a1≠0，并且*11102mnxx。其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m值为0，n值为3，绝对误差限*211102。
2. 一个比较好用的公式：
f(x)的误差限：***()'()()fxfxx
例题：
2
二、第2章 插值法
例题：
3
4
5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？
6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
5
7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？
8. 三弯矩法：
为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：
对于第一种边界条件，可导出两个方程：
6 ，那么写成矩阵形式：
公式 1
对于第二种边界条件，直接得端点方程：
，则在这个条件下也可以写成如上公式 1的形式。
对于第三种边界条件，可得：
也可以写成如下矩阵形式：
公式 2
求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）
例题：数值分析 第5版 清华大学出版社 第44页例7
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三、第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
3. 什么是[a,b]上带权()x的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？
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4. 什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
5. 用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?
