第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

第2课时等比数列前n项和的性质及应用
学习目标
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．知识点一等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝
a1
q－1
，等比数列的前n项和公式是S n＝A(q n－1)．即S n是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以S n＝na1，S n是n的正比例函数．
知识点二等比数列前n项和的性质
1．数列{a n}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，S n为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N*)．
3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶
S 奇＝
q ；
②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1 ＝
a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋2
1＋q
(q ≠－1)．
1．等比数列{a n }的前n 项和S n 不可能等于2n .( ) 2．若{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2.( )
3．若{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5的公比也为q .( ) 4．等比数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n .则{S n }也是递增数列．( )
5．对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数．( )
题型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用 例1 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2.求{a n }的通项公式．
反思感悟 已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1
，n ≥2求通项a n ,应特别注意n ≥2时,a n ＝S n －S n －1.
(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －
1＋t ，则t ＝ .
题型二 等比数列前n 项和的性质
命题角度1 连续n 项之和问题
例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 2
2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．
反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．
跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .
命题角度2 不连续n 项之和问题
例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快． 跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ＋＋＋＋＝ .
等比数列前n 项和的分类表示
典例 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝3a n ，n ∈N *.求{a n }的前n 项和S n .
[素养评析] 数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n 的赋值，只有理解了a n ，a 2n ，S 2n 与S 2n －1之间的联系，才能顺利挖掘出{a 2n }是首项为2，公比为3的等比数列，S 2n －1＝S 2n －a 2n 等关系.
1．已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37
2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －
1－16，则x 的值为( )
A.13 B ．－13 C.12 D ．－12
3．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．无法确定
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若q ＝2，S 100＝36，则a 1＋a 3＋…＋a 99等于( ) A ．24 B ．12 C ．18 D ．22
5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．
2．等比数列前n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．
(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －
1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n
＝
a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1
q －1
，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干
项之和等整体处理.
一、选择题
1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.1
4
2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.55
8
4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8
S 4的值为( )
A.12 B ．2 C.17
16 D ．17
5．正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30
6．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1
m －1
，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3
7．已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为1701
2
，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋
a 12的值为( )
A ．580
B ．585
C ．590
D ．595
8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6等于( )
A ．2 B.73 C.8
3 D ．3
二、填空题
9．若等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝ .
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，若对任意n ∈N *，有a n ＋1＝1
3
S n ，则S n ＝ .
11．已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 4S 2＝5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n 的前5项和
为 ．
三、解答题
12．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
13．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
14．等比数列{a n }中，a 1－a 3＝3，前n 项和为S n ，S 1，S 3，S 2成等差数列，则S n 的最大值为 ．
15．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4.
(1)证明：{S n－n＋2}为等比数列；
(2)设数列{S n}的前n项和为T n，求T n.。