旋转的应用同步教学讲义

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旋转的应用

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1.掌握旋转的定义；

2.掌握旋转的应用.

1.旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做__________，转动的角度叫做__________。

2.旋转性质

⑴ 旋转后的图形与原图形_______

⑵ 对应线段与O形成的角叫做旋转角

⑶ 各旋转角都相等

3.平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4.平移性质

（1） 平移后的图形与原图形全等

（2） 两个图形的对应边连线的线段_______（等于平行距离） 2

（3） 各组对应线段平行且相等

5.中心对称与中心对称图形

（1） 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形____________，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心.两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

（2） 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的___________。

6.轴对称与轴对称图形

(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够________，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分

（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

7.点的对称变换

（1）关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为

P＇（-x，-y）

（2）关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）

（3）关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为P＇（-x，y）

（４）关于直线y＝x对称

两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线

y＝x的对称点为P＇（y，x）

（5）两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）

注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。

1.旋转的定义

【例1】下列是中心对称图形的有（ ）

（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解析】根据中心对称图形的定义：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形进行判断即可.

【答案】C

练习1. 下列文字中属于中心对称图形的有（ ）

A．干 B．中 C．我 D．甲

练习2. 已知下列图形（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形．其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（ ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）

3

2.轴对称和中心对称

【例2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

【解析】根据轴对称和中心对称的定义判断即可。

【答案】D

练习3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

练习4. 在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.坐标的对称

【例3】点(53)P，关于原点的对称点的坐标为 ．

【解析】关于远点对称的坐标想x，y都取相反数即可。

【答案】(53)，．

练习5．已知点(23)P，和点(23)Q，，则P，Q两个点的位置关系是 ．

练习6．点(34)P，关于原点对称的点的坐标为（ ）

A．(34)， B．(34)， C．(34)， D．(43)，

4.对称图形的作法

【例4】已知：如图ABCD．

（1）画出1111ABCD，使1111ABCD与ABCD关于直线MN对称；

（2）画出2222ABCD，使2222ABCD与ABCD关于点O中心对称；

（3）1111ABCD与2222ABCD是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 4

【解析】按要求作图，关于直线对称的两图形沿直线折叠完全重合，中心对称绕对称中心180°，图像完全重合。

【答案】解：（1）如图，1111ABCD，就是所求的平行四边形．

（2）如图，2222ABCD，就是所求的平行四边形．

（3）是轴对称图形，对称轴是直线EF．

练习7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A，B的位置，下列说法正确的是（ ）

A．如果(00)B，，则(22)A，

B．以A为原点，右为正方向，上为正方向建立直角坐标系，则点B在第一象限

C．A与B的距离为两个单位长

D．以B为原点建立坐标系，A的坐标为(20)，

练习8. 如图，ABC△三个顶点的坐标分别为(25)A，，(51)B，，(21)C，，将ABC△绕点C按顺时针方向旋转90，得到DEC△，则点D的坐标为（ ）

A．(12)， B．(21)，C．(11)， D．(22)， BA2A A

B

C D

O

N F E 1B 1A

1C 1D

2B 2C

2D A

Ｂ

C D

O

N 5

5. 图形的旋转

【例5】如图，等边ABO△的边长为2，顶点B在y轴上，边AC在x轴上，请写出点AC，的坐标___________．

【解析】A和C点关于y轴对称，根据坐标的对称即可求出。

【答案】10，，10，．

练习9. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为１．

（1）“小猪”所占的面积为多少？

（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；

（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（ ， ）．

A B

C D

Ｅ Ｆ

G Ｂ

Ｃ Ｏ Ａ x yＯ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ

Ｅ

x y6

练习10． 将图中的ABC△作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点所发生的变化．

（1）沿x轴正方向平移3个单位；

（2）关于x轴对称；

（3）绕O点旋转180．

6. 旋转的应用

【例6】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若,2AB则BE=______．

EDCBA

【解析】根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答．

∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形

∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°-45°=15°

∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD

∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．

【答案】BE=1．

练习11. 如图，菱形ABCD的中心是坐标原点，且ADx∥轴，点A的坐标为(43)，，那么C点的坐标为（ ）

A．(43)， B．(34)，C．(44)， D．(33)， 1 1 2 3 4 1 3 yx 7

练习12. 如图所示：ABC中，90ACB，ACBC，P是ABC内的一点，且3AP，2CP，1BP，求BPC的度数．

123PCBA

练习13. （2014湖北咸宁一模）如图①，已知ABC是等腰直角三角形，BAC，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

⑶若2BCDE，在②的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

ABCDEFG②①GFEDCBA

1．下列现象属于旋转的是（ ）

A．摩托车在急刹车时向前滑动; B．拧开自来水水龙头

C．运动过程中篮球的滚动 D．空中下落的物体

2．（2014江苏无锡一模）如图，OAB△绕点O逆时针旋转80到OCD△的位置，已知45AOB，则AOD等于（ ）

A．55 B．45 C．40 D．35 Ｂ Ｃ Ｏ Ａ Ｄ

x y