高中数学-教师-实系数一元二次方程

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主课题：实系数一元二次方程

教学内容

知识精要

1．复数的平方根与立方根：

和实数一样，复数abi和,,,cdiabcdR,若满足2abicdi，则称abi是cdi的平方根。因为2abicdi，所以cdi的平方根是abi两个数。

（1）求法：利用复数相等求复数的平方根

（2）1的立方根：213131,,,2222ii

的常用结论：132i；321,10；21

思考：当nZ时，n取何值？

2．实系数一元二次方程20,,0axbxcabcaR且在复数集中恒有解．当判别式240bac时，方程有两个实数解21,242bbacxa；当判别式240bac时，方程有两个虚根，且互为共轭21,2422bacbxiaa．

（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。

（2）实系数一元二次方程20,,0axbxcabcaR且在复数范围内，韦达定理仍然成立。

热身练习

1. 、是一元二次方程01062xx的根，则______)(24

2.在复数范围内分解因式542xx_)798181)(798181(4ixix_______

3.已知复数、满足2且1，则2323__i2，i2

4.方程043zzz的解集是_1

5.方程012iixx的两根为__i11、

6.已知35)31()1(iiia是实系数方程02qpxx的根，则pq_21_____

7.复数34i的平方根是（ 2i ）

8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？

（1）若,,,0,abcRa且240bac，则方程20axbxc有两个实数根。

（2）若,,,0,abcRa且12,xx是方程20axbxc的两个根，则1212,bcxxxxaa；

（3）若,,,0,abcRa且12,xx是方程20axbxc的两个根，则221212xxxx；

（4）若,,,0,abcRa且是方程20axbxc的根，则也是方程的根。

答案：（1）、（2）（4）正确，（3）不正确

精解名题

例1．关于x的方程01)1(6322mxmx的两根的模的和为2，求实数m的值。

解：解：)13(24)1(34)]1(6[222mmmm

(1)当0，即0132mm时，Rxx21、

Rm，且0)1(31221mxx

1x与2x同号

由2021xx得2)1(20132mmm

0m

(2)当0，即0132mm时，1x与2x为一对共轭复数，得21xx

又221xx，121xx，12121xxxx，121xx

1)1(3101322mmm

2m

综上所述，得0m或2m

例2．已知复数满足i)23(4 （i为虚数单位），25z，求一个以z为根的实系数一元二次方程。

解：ii34)21(

iii22134

iiiz325

若实系数一元二次方程有虚根iz3，则必有共轭虚根iz3

6zz，10zz

01062xx

例3．设非零复数21zz、满足212221100zkzzz Rk ，并且12zz是虚数。

(1)求证：1210zz

(2)若*Nk，当k在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数12zz的和

解：令xzz12，则原方程可化为01002kxx

04002k，24002ikkx

(1) 10)400(2122kkx，即1012zz，

1210zz

(2) *Nk，19,,3,2,1k

因每个方程的两根之和均为k，故所求的和为19019321

例4.求与自身的平方共轭的复数

解：设,(,)zxyixyR,依题意有：2,xyixyi222xyxxyy

解之得：110122,,,003322xxxxyyyy

所求复数为130,1,2i

例5.已知复数z是86i的平方根，求310016zzz的值。

解：设,(,)zxyixyR,228686,zixyiiQ即22286,xyxyii

于是22826xyxy可得2298xx有29,x或21x（舍），3x

所以3zi或2224233816461641001610020016zizizzzzzzzzz

当3zi时，为60i，当3zi时，为6020i

例6.设方程2220xxm的两根为,，且3，求实数m的值。

解：22Q不一定成立，分0,0讨论。

当0,22；当0时，22

得 117,44mm

例7.已知,为实系数一元二次方程20axbxc的两个根，,为虚数，且2R,求的值。

解：,Q共轭，_______222,,,RQ即3222,10.110

2131,10,22iQ

例8.若关于x的方程22230xaxaa至少有一个模为1的根，求实数a的值。

解：分两种情况讨论：

（1）若模为1的根是实数根，则实数根1x，此时0即0a或8a

将1x代入方程中，得2220,aa此方程无实数解。

将1x代入方程中，得2420,22aaa，满足0

（2）若模为1的根是虚根，则此时0,80a

因为实系数一元二次方程的共轭虚根成对出现，所以设模为1的虚根为，则另一根为。

由韦达定理得2,2aa又1,12aQ（舍）或1a

22a或1a

例9.,是方程220xxa的两个根，其中,aR求的值。

解：当01a

（1）01,2;a （2）0,44aa

当01,222aa

备选例题

1.对任意非零复数z，定义集合*12,|NnzMnz，设是方程

0122xx的一个根，试用例举法表示集合aM

解：是0122xx的根，则)1(221i或)1(222i

当)1(221i时，nnnii1121121211)(,

)1(22),1(22),1(22),1(221,,1,11111iiiiiiM

当)1(222i时，有22MM

2.设复数biaz)0,0(ba是实系数方程02qpxx的根，又3z为实数，求点),(qp的轨迹。

解：biaz实系数方程的根，biaz也是此方程的根。

qzzpzz

qbapa222

ibbaababiaz)3(3)(322333为实数(0b)

0332bba，即223ba

得qpaq22,4，

0a，所以0p

轨迹yx2

方法提炼

1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练

2．一元二次方程的系数含有虚数时， 判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。

3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。

巩固练习

1.若1i是方程02nmxx ),(Rnm的一个解，那么mn （ -4 ）

2．若虚数z满足38z，则3222zzz（ 6 ）。

3.在复数集内分解因式：(1) 624xx_)3)(3)(2)(2(ixixxx_______

（2）1cos22xx_)sincos)(sincos(ixix____

4.计算：（1）1996113998ii=1322i_____

（2）1561213131iii513_____