高一数学(人教A版)二次函数与一元二次方程、不等式(1)学习任务单

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识梳理知识点一一元二次不等式的概念①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.知识点二“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系有两个不相等的实根有两个相等的实数根“相同”或“不相同”)知识点三 一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤： (1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 知识点四 一元二次不等式的恒成立问题1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是R 的等价条件是a >0且Δ<0. 2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是R 的等价条件是a <0且Δ<0.3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔≤f (x )min .思考 二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 题型探究 题型一 解不含参一元二次不等式 例1 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.反思与感悟 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．题型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．反思与感悟含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．跟踪训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型三“三个二次”关系的应用例3已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx ＋a＜0的解集．反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用．跟踪训练3已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．题型四不等式恒成立问题例4对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图像建立关于参数的不等式求解．跟踪训练4 对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1＜x ＜3 B ．x ＜1或x ＞3 C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2易错点不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例5 若一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞5}，则ax 2－bx ＋c ＜0的解集为________________． 错解 由根与系数的关系得：⎩⎨⎧ －3＋5＝－b a，－3×5＝c a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a .代入得ax 2＋2ax －15a ＜0，① ∴x 2＋2x －15＜0，②∴(x －3)(x ＋5)＜0，∴－5＜x ＜3. 『『答 案』』{x |－5＜x ＜3}错因分析 ①式化为②式，忽略了二次项系数a 的符号，并非同解变形． 正解 由根与系数的关系得：⎩⎨⎧－ba＝－3＋5，ca ＝－3×5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a . ∴ax 2＋2ax －15a ＜0， 又由解集的形式知a ＜0， ∴上式化为x 2＋2x －15＞0， ∴(x －3)(x ＋5)＞0，∴x ＞3或x ＜－5. 误区警示1．注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a ＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．2．注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点．当堂检测1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－63．已知x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，则的取值范围是______________． 4．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为________．5．已知关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为空集，求实数m 的取值范围． 课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ；若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n .有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.3．对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .——★参*考*答*案★——思考『『答案』』①②『『解析』』①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．思考『『答案』』相同思考『『答案』』(－∞，－1)『『解 析』』⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.例1 解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅. 跟踪训练1解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞2}． (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4＞0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为{x |x ≠23}．例2解 原不等式可化为(ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＜0， ∴－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1；当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}； 当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.跟踪训练2解 原不等式可化为 (x －a )(x －a 2)＞0 讨论a 与a 2的大小(1)当a 2＞a 即a ＞1或a ＜0时，x ＞a 2或x ＜a . (2)当a 2＝a 即a ＝0或a ＝1时，x ≠a . (3)当a 2＜a 即0＜a ＜1时， x ＞a 或x ＜a 2.综上，当a ＜0或a ＞1时，解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }， 当a ＝0或1时，解集为{x |x ≠a }， 当0＜a ＜1时，解集为{x |x ＞a 或x ＜a 2}．例3解 方法一 由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)＜0， ①ca ＝αβ＞0，②∵a ＜0,0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β＜0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋a c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.方法二 由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.跟踪训练3 解 ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0. 解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为{x |x ＜12或x ＞1}．例4『『答 案』』－2＜a ＜2『『解 析』』由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立， 只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2. 跟踪训练4『『答 案』』B 『『解 析』』∵f (x )＞0， ∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0， 即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0， 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＞0，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.当堂检测1．『『答 案』』B『『解 析』』②④一定是一元二次不等式． 2．『『答 案』』B『『解 析』』易知a ＜0，且⎩⎨⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 3．『『答 案』』≤2或≥4『『解 析』』x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得2－6＋8≥0， 解得≥4或≤2. 4．『『答 案』』(－4,1)『『解 析』』易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4,1)．5．解 (1)当m ＝0时，原不等式化为－x －1≥0，∴x ≤－1，解集非空．(2)当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m (m －1)＜0，∴m ＜－18，∴综上，m ＜－18.。

【自主学习】1.一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系【小试牛刀】1.不等式x2－3x－10＜0的解集是___ _____.2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()【经典例题】题型一一元二次不等式的解法注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.(2)计算相应的判别式.(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.注意：解含参数的一元二次不等式的步骤例1 解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(3)(2－x)(x＋3)<0．例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．注意：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．[跟踪训练] 1 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型二三个“二次”关系的应用例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．[跟踪训练] 2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【当堂达标】1．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A.a ＝6，c ＝1B.a ＝－6，c ＝－1C.a ＝1，c ＝6D.a ＝－1，c ＝－64．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}5．若0<a <1，不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <a C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a 6．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，则a －b 的值为( )A ．14B ．－14C ．10D ．－107．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为__ ______.8.当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．9．解不等式：0≤x 2－x －2≤4.10．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【参考答案】 【自主学习】1. 一个 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <02. 实数x3. {x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x 1＜x ＜x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a∅ R ∅【小试牛刀】1.{x |－2＜x ＜5} 解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2，5，故x 2－3x －10＜0的解集为{x |－2＜x ＜5}.2.(1)× (2)× (3)× (4)√ 【经典例题】例1 [解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (2) (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠23. （3）原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 例2 [解] 原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0，对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ，x 2＝－a .①当2a >－a ，即a >0时，不等式的解集为{x |－a <x <2a }； ②当2a ＝－a ，即a ＝0时，原不等式化为x 2<0，无解； ③当2a <－a ，即a <0时，不等式的解集为{x |2a <x <－a }．综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |－a <x <2a }；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x <－a }．[跟踪训练] 1 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为(x －a )(x －a 2)＞0. 当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a ＝1时，a ＝a 2＝1，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a ＞1时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}. 例3 [解] ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎨⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式bx 2＋ax ＋1>0，得2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0⇔(2x －1)(x －1)>0⇔x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1. [跟踪训练] 2 解 由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－（α＋β）＜0， ①c a ＝αβ＞0， ②∵a ＜0，0＜α＜β，∴由②得c ＜0， 则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0. ①÷②，得b c ＝－（α＋β）αβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β＜0.由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根.又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.【当堂达标】1. C [解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，a＝3.2.B 解析 ②④一定是一元二次不等式.3. 解析易知a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12⇒⎩⎨⎧a ＝－6，c ＝－1.4. C [解析] 由题意得N ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，选C.5. A [解析] 不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，因为0<a <1，故a <1a ，解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a . 6.D [解析] 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，可得－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实数根， ∴－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ， 解得a ＝－12，b ＝－2， ∴a －b ＝－12－(－2)＝－10，7. (－4，1) 解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4，1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4，1).8. {x |x <－a 或x >1} [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1，∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}．9.[解] 原不等式等价于{ x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4. 解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2； 解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．10.[解] ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1. ②当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.③当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若a ＝1，即1a ＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a <x <1；若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a . 综上，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学目标：1.知识目标：理解“三个二次”的关系，从而熟练掌握由图像找一元二次不等式解集的方法。

2.能力目标：体验由形到数，由特殊到一般的思维方式，养成科学的思维习惯，发展学生的数学抽象和直观想象的学科核心素养。

3.情感目标：在情境中，体验数学的趣味性和实用性，在合作中，体验学习的有效性，在竞争中，增强学好数学的自信心。

教学重点：一元二次不等式的图像解法。

教学难点：结合“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。

教学方法：问题导学，小组合作交流教学过程：（一）创设情境，引入新课十一黄金周，长阳却是阴雨绵绵，给人们的交通出行带来很大不便。

尽管各部门想了很多办法，但不幸的事还是发生了。

长阳某地，甲，乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了。

交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又知这两辆车的刹车距s与车速x（km/h）之间分别有以下函数关系：谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。

试问：哪一辆车违章行驶？问题分析：由题意，列出不等式和定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，.问题：上述不等式怎么解？（二）探究一：回顾一次函数与一元一次方程、不等式求出下列方程和不等式的解。

说一说一次函数图像与下列方程和不等式的解之间有什么关系。

解3是不等式 临界值，即函数与交点的横坐标很重要。

定义：是方程解，即函数图像于交点的横坐标。

那么我们称3是零点（三）探究二：借助二次函数的图像，研究二次不等式解集以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x 的取值范围进行讨论 y=方程 不等式不等式上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集（四）二次函数 、二次方程、二次不等式之间的关系 y 12345–1–2–3–4–53691215–3–6–9O判别式△=b 2- 4acy=ax2+bx+c的图象(a>0)ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(y>0)的解集ax2+bx+c<0(y<0)的解集（五）例题讲解例:求下列不等式的解集(1) (2) （3）思想方法小结：1 .利用一元二次函数图象解一元二次不等式的步骤是:①化标准形式，②判定方程的解，③画图写解集2．三个二次问题体现的是数与形的结合数形方程的解或不等式的（六）情景再现超速的车逃不过我的法眼（七）练习比一比，哪组获胜解下列不等式（八）课堂小结1、一般步骤2、两个结合：数形结合、函数方程与不等式的结合。

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(1)内容标准学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算2.掌握图象法解一元二次不等式．3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.授课提示：对应学生用书第24页[教材提炼]知识点一一元二次不等式的概念预习教材，思考问题我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？知识梳理(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric inequality in one unknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系预习教材，思考问题函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？知识梳理(1)Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}R(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法将原不等式化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的形式计算Δ＝b2－4ac的值Δ＞0方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2)Δ＝0方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝－b2a原不等式的解集为{x|x≠－b 2aΔ＜0方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根原不等式的解集为R[自主检测] 1．不等式x＞x2的解集是()A．{x|x＞1}B．{x|x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．R答案：C2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是()A ．∅B ．RC ．{x |x ＞5}D ．{x |x ＜2}答案：A3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3} D ．{x |－3＜x ＜2}答案：C4．不等式－x 2＋x －2＜0的解集为________． 答案：R授课提示：对应学生用书第25页探究一 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式． (1)－x 2＋2x －23＞0；(2)－12x 2＋3x －5＞0；(3)4x 2－18x ＋814≤0.[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的根是x 1＝1－33，x 2＝1＋33. ∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)不等式可化为x 2－6x ＋10＜0， Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0， ∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x 2－72x ＋81≤0， 即(4x －9)2≤0，∵4x －9＝0时，x ＝94.∴原不等式的解集为{x |x ＝94}.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.1．求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．解析：∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2＞0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12，或x ≥2. 2．解不等式－x 2＋2x －3＞0. 解析：不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是∅.探究二 含参数的一元二次不等式[例2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0(a ∈R )． [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}； 当a ＝0时，x 2＞0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当0＜a ＜1时，a 2＜a ，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}；当a ＞1时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}． 综上所述：当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }； 当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}．解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．将本例不等式变为：解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R ，a ＞0)． 解析：因为a ＞0，所以原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 得1＜x ＜1a .综上，a ＞1时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜1}；a ＝1时，不等式的解集为∅；0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜1a }．探究三 三个二次之间的关系[例3] [教材P 52例1、例2的拓展探究] (1)已知解集求函数若不等式y ＝ax 2－x －c ＞0的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a ＜0，排除C ，D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.[答案] B(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数y ＝x 2－ax ＋1有负数零点，则a 的范围为________．[解析] 有零点， ∴Δ＝a 2－4≥0， ∴a ≥2或a ≤－2，∵f (0)＝1，要使x 2－ax ＋1＝0有负根，则对称轴x ＝a2＜0，即a ＜0.∴a ≤－2. [答案] a ≤－2 (3)已知解集求不等式已知x 2＋px ＋q ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0. [解析] 由已知得，x 1＝－12，x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，∴－p ＝－12＋13，q ＝－12×13，∴p ＝16，q ＝－16.∵不等式qx 2＋px ＋1＞0， ∴－16x 2＋16x ＋1＞0，即x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3，故不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．授课提示：对应学生用书第26页分久必合——分类讨论思想解含参数不等式►逻辑推理含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论． 1．讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．[典例] 解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞0. [解析] 原不等式化为(x －1)(ax ＋1)＞0 (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0，∴x ＞1， (2)当a ＞0时，原不等式为(x －1)(x ＋1a )＞0.两根为1与－1a 且1＞－1a ，∴得x ＞1或x ＜－1a；(3)当a ＜0时，原不等式化为(x －1)(x ＋1a )＜0两根为1与－1a，又∵当－1＜a ＜0时，－1a ＞1，∴得1＜x ＜－1a.当a ＝－1时，不等式为(x －1)2＜0，解集为∅， 当a ＜－1时，－1a ＜1，∴得－1a＜x ＜1.综上，当a ＞0时，解集为{x |x ＞1，或x ＜－1a }；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当－1＜a ＜0时，解集为{x |1＜x ＜－1a }；当a ＝－1，解集为∅；当a ＜－1时，解集为{x |－1a ＜x ＜1}．规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论． 2．讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．[典例] 解关于x 的不等式：2x 2＋ax ＋2＞0. [解析] Δ＝a 2－16＝(a －4)(a ＋4)．(1)当a ＞4或a ＜－4时，Δ＞0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜14(－a －a 2－16)或x ＞14(－a ＋a 2－16).(2)当a ＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x ＝－a 4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－a 4. (3)当－4＜a ＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R . 规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论． 3．讨论根的大小型为主当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．[典例] 解关于x 的不等式：x 2－2x ＋1－a 2≥0. [解析] 原不等式等价于(x －1－a )(x －1＋a )≥0.①当a ＞0时，1＋a ＞1－a ，所以原不等式的解集为{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }． ②当a ＝0时，原不等式的解集为全体实数R .③当a ＜0时，1－a ＞1＋a ，原不等式的解集为{x |x ≥1－a ，或x ≤1＋a }． 规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集． 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.。

学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。

教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。

通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养.】(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.当x ＜2 或x ＞10时，图像在x 轴上方，y ＞０，即x 2-12x+20>0；当2<x ＜10时，y <０，即x 2-12x+20<0；故一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0的解集是{x|2＜x ＜10}.求解一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a <0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．一元二次不等式的解法】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.21225600.2 3.56x x x x y x x -+=∆>===-+解：对于方程，因为，所以它有两个实数根解得，画出二次函数的图象，如下图，256{|}023.x x x x x -+><>结合图象得不等式的解集为，或2122961001.3961x x x x y x x -+=∆====-+解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得画出二次函数的图象，如下图，29610{|}1.3x x x x -+>≠结合图象得不等式的解集为22230.80230.x x x x -+<∆=-<∴-+=解：不等式可化为，方程无实数根223y x x =-+∅画出二次函数因此，原不等式的解集为。

人教A版必修一第二单元第三节《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、教学目标1.让学生理解“三个二次”的关系，从而熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集.2.通过图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力、“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力. 强化学生参与意识及主体作用、培养学生的数学兴趣.二、教学重点 一元二次不等式的图象解法.三、教学难点 弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.四、教学过程（一）创设情境，引入新课师生一起归纳出“三个一次”的关系：“三个一次”的一般结论：若0=+b ax 的解为ab -，则函数b ax y +=的图象与x 轴交点的横坐标的值. ①0>+b ax 的解集正是函数b ax y +=的图象在x 轴的上方的点的横坐标的集合； ②0<+b ax 的解集正是函数b ax y +=的图象在x 轴的下方的点的横坐标的集合. 把使0ax b +=的实数x 叫做一次函数y ax b =+的零点.【设计意图】从学生熟悉的一元一次不等式的解法，总结一次方程根、一次函数的图象、一次不等式的解集三者之间的内在联系.为下面得出“三个二次”的关系做铺垫.一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2，我们把使02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数的零点.一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为--元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是02<++c bx ax 或02>++c bx ax其中c b a ,,均为常数，0≠a .【设计意图】让学生归纳得出一元二次不等式的概念、引导学生发现一元二次不等式的结构特征.（二）依旧悟新，引出“三个二次”的关系【设计意图】 “三个二次”的关系式本节课的难点，但是通过此表格在教师和学生的共同努力下，在前面的知识的铺垫下，学生不难得出结论，从而揭示了一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的一般关系，同时也再一次强化了学生的数形结合思想，提高了学生归纳概括的能力，让学生体验到数学的乐趣，体会到成功的喜悦.（三）运用规律，深化提高我们一起来求解一元二次不等式020122<+-x x 或020122>+-x x .先让学生自己动手画出二次函数20122+-=x x y 的图象然后再用多媒体展示出标准图，如下：学生继续对图象上纵坐标000<>=y y y 、、所对应的横坐标x 的取值范围进行讨论说出结果：①方程020122=+-x x 的解是10221==x x 或，一元二次方程的解就是二次函数图象与x 轴的交点的横坐标；②不等式020122>+-x x 的解集是{}32>-<x x x 或，一元二次不等式大于零的解集就是x 轴上方二次函数图象对应的自变量x 的取值范围；③不等式020122>+-x x 的解集是{}32<<-x x ，一元二次不等式小于零的解集就是x 轴下方二次函数图象对应的自变量x 的取值范围.【设计意图】让学生以具体实例进一步熟悉解一元二次不等式的步骤，体会从一般到特殊的具体应用.（四）启发引导，形成结论例1 求不等式065-2>+x x 的解集.分析：因为方程065-2=+x x 的根是函数65-2+=x x y 的零点，所以先求出065-2=+x x 的根，再根据函数图象得到065-2>+x x 的解集.解：对于方程065-2=+x x ，因为0>∆，所以它有两个实数根.解得.3,221==x x画出二次函数65-2+=x x y 的图象，结合图象得不等式065-2>+x x 的解集为{}32><x x x 或. 例2 求不等式016-92>+x x 的解集.解：对于方程016-92=+x x ，因为0=∆，所以它有两个相等的实数根，解得.3121==x x 画出二次函数16-92+=x x y 的图象，结合图象得不等式016-92>+x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31x x 例3 求不等式03-2-2>+x x 的解集.解：不等式可化为032-2<+x x .因为08<-=∆，所以方程032-2=+x x 无实数根.画出二次函数32-2+=x x y 的图象.结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为φ.【设计意图】例题的选择让学生逐步形成技能，所以选题难度不大，主要是让学生熟悉求解步骤.例1的训练可以让学生巩固图解法解一元二次不等式，而例2、例3题可以向学生指出不等式所对应的方程有两个相等的实根或无实根的情况，并且向学生指出一元二次不等式无解和解集为R 的情况.以上几个问题基本上涵盖了一般一元二次不等式解的各种情况，为后面总结一元二次不等式解集的一般规律做准备，这样有助于难点的突破.（五）运用新知，强化练习1.求下列不等式的解集：（1）()()032>-+x x ； （2）10732≤-x x ；（3）044-2<-+x x ； （4）0412<+-x x ； （5）3-2-2≤+x x ； （6）0432>+-x x .2.当自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于0?（1）2362y x x =-+； （2）225y x =-；（3）2610y x x =++； （4）231212y x x =-+-.【设计意图】通过课堂的及时训练，可以掌握学生对新知识的掌握程度，同时也让学生自己独立的运用新知识解决实际问题，发挥学生的能动性，使学生根据自己对知识、方法的理解通过解答、交流，互相取长补短，加深理解，享受到数学带来的乐趣.（六）反思小结，提高认识这节课我们学习了二次项系数 0>a 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住其与相应二次函数的图象以及二次方程之间的关系，求一元二次不等式的解集.【设计意图】总结所学的知识，是为了完善学生的知识结构，强化对知识的理解，让学生在课后能独立的运用所学知识解决问题.五、作业布置课本：55P 1,3【设计意图】使所有学生巩固所学知识，加深理解,便于教师了解教学效果.六、课下思考不等式）（002<>++a c bx ax 或）（002<<++a c bx ax 的解集的情况. 【设计意图】体会本节课的一般性规律，使学生的思维可以继续发展、延伸.七、板书设计学情分析从知识储备来说，学生已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质也有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础.从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升.在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡.所以本节教学主要培养高一学生数形结合思维的方法，积极主动思考问题的习惯以及培养学生合作探究的能力.我设计了创设情景、引入新课一一交流探究、发现规律一一启发引导、形成结论一一练习小结、深化巩固一一思维拓展、提高能力，五个环节环环相扣、层层深入的教学环节.在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节.数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感.观课记录课题：人教A版（2019版）必修一《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》班级：高一16班授课老师：授课时间：2020年11月5日观课老师：冯立芬（教研组长）司芳菊（备课组长）郝宝铭、张月昌、姚增珍、史丽丽、杨健红、孟楠本节主要内容是利用二次函数与一元二次方程、不等式的联系，求一元二次不等式的解集.1.联系旧知，构建新知在这个环节中设置的问题以便唤起学生对旧知识的回忆，是为突破重点作准备的. 2.创设情境，提出问题引入了一元二次不等式的定义和表达式，学生通过观察发现一元二次不等式的表达式会发现它与一元二次方程和二次函数很相似，从而提出问题：这三者间有什么关系？激发了学生强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，以便把学生带入下一环节.3.合作交流，探究新知这部分内容是本节课的重点、难点，处理采用了师生合作的方式，循序善诱，水到渠成，10分钟的自主探究小组讨论，充分体现了学生的主题地位，尤其是采用了小组抢答的形式，调动了学习积极性和课堂参与度，让学生自己来归纳当二次项系数大于0时一元二次不等式的解法，使学生在找到了一元二次不等式、二次函数和一元二次方程的关系的同时也找到了解一元二次不等式的方法.4.数学运用，深化认知通过上一个环节总结的规律，让学生在例题上大胆的去应用，白老师则在一旁适时点拨，规范做题步骤，从而让学生更容易地掌握知识.总之，白老师这堂课设计合理，尤其是难点突破到位.课堂中的每个环节，白老师充分放手让学生自主合作探究，老师只引导点拨，善于启发学生，使学生主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养的统一，使学生学习得轻松、愉快.教师个人基本功扎实，语言干净利索，教态自然，注意了与学生的沟通，有较强的驾驭课堂的能力.教材分析《2.3一元二次函数与一元二次方程、不等式》这节课是人教A版（2019版）必修一的内容，是初中一元一次函数、一元二次方程的根、一元一次不等式的解法在知识上的延伸和发展，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也是初中与高中的衔接点，进一步熟悉不等式的性质的体现，通过学习，让学生了解一元二次不等式的本质，学会一元二次不等式的一般解法思路，理解一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数图象、一元二次方程根的关系.一元二次不等式的解法是高中重要的基本功，也是解不等式的基础和核心，在高中数学中起着广泛的应用工具作用.这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识，也是近年来高考综合题的热点.可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位.2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、学习目标 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集. 2.能利用一元二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式、理解它们三者之间的内在联系.强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣.二、教学重点 一元二次不等式的图象解法.三、教学难点 弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．四、复习回顾、预习新知一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系0a > 0a < 一元一次方程0+=ax b 的根 a bx -=一次函数=+y ax b 的图象不等式0+>ax b 的解集 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a b x x 不等式0+<ax b 的解集0+=ax b x =+y ax b 一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2，我们把使02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数的零点.我们能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为-元二次不等式 .一元二次不等式的一般形式是 .二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系ac b 42-=∆)0(02>=++a c bx ax 的根）（02>++=a c bx ax y 的图象）（002>>++a c bx ax的解集）（002><++a c bx ax的解集实战演练 利用二次函数与一元二次方程、不等式的关系求不等式020122>+-x x 或020122<+-x x 的解集.步骤一 求出方程020122=+-x x 的实数根是 .于是，二次函数20122+-=x x y 的两个零点是 .步骤二 画出函数20122+-=x x y 的图象，结合图象得当图象与x 轴相交时，y 0， 即 20122+-x x 0，x 取 ；当图象在x 轴上方时，y 0， 即 20122+-x x 0，x 取 ；当图象在x 轴下方时，y 0， 即 20122+-x x 0，x 取 .步骤三 写出不等式的解集不等式020122>+-x x 的解集是 ；不等式020122<+-x x 的解集是 .五、规范解题例1、求不等式065-2>+x x 的解集.例2、求不等式016-92>+x x 的解集.例3、求不等式03-2-2>+x x 的解集.思维提升：请总结一元二次不等式的求解过程.六、强化练习1.求下列不等式的解集：（1）()()032>-+x x ； （2）10732≤-x x ；（3）044-2<-+x x ； （4）0412<+-x x ； （5）3-2-2≤+x x ； （6）0432>+-x x ；2.当自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于0?（1）2362=-+y x x （2）225=-y x（3）2610=++y x x （4）231212=-+-y x x七、反思小结这节课我们学习了二次项系数 0>a 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住其与相应二次函数的图象以及二次方程之间的关系，求一元二次不等式的解集.八、布置作业55P 1,3九、课下思考不等式）（002<>++a c bx ax 或）（002<<++a c bx ax 的解集的情况. 课后反思通过教学实施，课后的感触和体会有如下几点：1.要充分的相信学生，有目的地和学生交流，对探究方向偏离过远的学生加以引导，新课程倡导案例教学，新颖、详实而富有时代感的案例进入课堂，改变了课堂的教学结构，学生借助于老师提供的问题，解读问题、生疑质疑、组织答案、踊跃发言.他们在学习过程中找到了乐趣，挖掘了潜能，发现了自我，充分体现学生的主体作用.2.新课程倡导转变学生的学习方式，倡导学生积极主动的学习.教师应该善于捕捉适合学生发挥的内容、引发讨论.适时点拨，最大限度在发挥学生的学习潜能.如引导在合作探究时让学生自主发现“三个二次”之间的关系.3.学生能独立解决的问题，教师一定不提示；只需提示的问题，教师一定不讲解.多采用开放性的问题，多元化的评价，充分展示学生的个性，使学生的各种能力得到不断提高，体现教师确实是学生学习的合作者、引导者和参与者.今后，如何更好地选择符合学生具体情况，满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念－一在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，让数学课堂成为学生活动的乐园，成为学生积极展示、老师积极引导的舞台，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力.从而实现课堂教学的高效、和谐发展.不足：教学过程中学生更积极参与在教学过程中，这样教学效果就会更好.课标分析本节以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点看一元一次方程、不等式，学习从函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法. 这个内容再一次体现了函数对于方程、不等式的“整合”作用，体现了数学的整体性，也为学生今后研究其他函数与相关方程、不等式的问题提供了经验.根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标.第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系.掌握图象法解一元二次不等式；培养数形结合的能力.第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力.培养抽象概括能力和逻辑思维能力.第三层面是是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新的精神.。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.课前自主学习知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.『微思考』不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根没有实数根『微体验』1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是()A．{x|－3＜x＜1}B．{x|x＜－3或x＞1}C．{x|－1＜x＜3}D．{x|x＜－1或x＞3}2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.4．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．课堂互动探究探究一一元二次不等式的解法例1 求不等式4x2－4x＋1＞0的解集．变式探究将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集．『方法总结』解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．跟踪训练1求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6.探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．『方法总结』应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．跟踪训练2已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．探究三一元二次不等式的实际应用问题例3 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．『方法总结』一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定『答案』时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练3在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问谁超速行驶应负主要责任．随堂本课小结1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的二次项系数a＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点 一元二次不等式 『微思考』提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． (3) {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅『微体验』 1．A『『解 析』』不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1. 2．{x |x ＞5或x ＜－1}『『解 析』』由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1，5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}． 3．∅『『解 析』』原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅. 4．a ＜－1『『解 析』』由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.课堂互动探究探究一 一元二次不等式的解法 例1 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. 变式探究 解 不等式可化为x 2－2x ＋3＜0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅. 跟踪训练1 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6，∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}． 探究二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. 跟踪训练2 解 方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三 一元二次不等式的实际应用问题 例3 解 设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)， 则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，即(x －600)(x －100)≥0， 解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0,100』．跟踪训练3 解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲＞12，解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10.解得x 乙＜－50或x 乙＞40. 由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km/h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。