高中数学：一元二次方程实根的分布

4.一元二次方程ax2+bx+c=0两根都在区间（k1，k2）内
y 若方程 x2+ （ k+2 ） x-k=0 的两实根均在 区间（-1，1），求m的取值范围。 x2 k2 x
a 0 0 f（k1） k1 x1 x2 k2 f（k 2） 0 0 若是a<0,请同学们画出 b 图形,写出它的等价式 k1 k2 2a
y f ( ) 0 f ( ) 0 (3)若两根在(， )之间， 则有 b 2a 0
x
f ( ) 0 则有 (4) 若一根小于，另一根大于 ， f ( ) 0
y

(5) 若两根中只有一根在(， )之间，则有
af（0）＜ 0
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k
y y
k
x1
o
x2
x
x1 o
k x2
x
a＞0 a＜ 0 或 x1<k<x2 fபைடு நூலகம்k）＞ 0 f（k）＜ 0
af（k）＜ 0
练一练 1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
2.如果二次方程mx2-（m+1）x+3=0的两根均大于-1， 求m 的取值范围。 3.如果f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6的一个零点大于2， 另一个零点小于2,求m 的取值范围。
例2. 求实数m的取值范围，使关于 x 的方程 x 2( m 1) x 2m 6 0，
2
(1)有两个根一个比 1大，另一个比 2小； (2)两个根均在区间( 2, 1)内； (3)有两个实根、 满足0 1 2； (4)只有一个根在区间( 2, 1)内； (5)只有一个根在区间[ 2, 1]内.
一、知识铺垫
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。
二、引入
问题：讨论方程ax2+bx+c=0 (a0) 的根的情况， (1)根的个数：a、b、c满足什么条件时，方程 有两个不等的实根？相等实根？无根实根？ (2)根的大小：a、b、c满足什么条件时，方程 有两个正根？两个负根？两根异号？一根为零？ (3)根的范围：a、b、c满足什么条件时，方程 两根都大于1？都小于1？一根大于1，一根小 于1？
2
两根为1、 4
四、归纳
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为正根 y
b 2 4ac 0 f 0） c 0 （ b 0 2a
x1>0,x2 >0

o x1
x2
x
类比:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为负根呢?
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为大于K
a>0
y
k x1 x2
b 2 4ac 0 （ f k） 0 b k 2a
o
k x1
x2 x
若a<0呢?
b2 4ac 0 af（k） 0 b k 2a
k x1 x2
(a≠0)
三、例题
1.当m为何值时，方程2 x 2 4mx 3m 1 0 (1)两根异号； 且负根的绝对值小于正根 (2)一根大于1，一根小于1.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负
y y
x1
o
x2
x
x1 o
x2
x
a＞0 a＜ 0 或 x1<0<x2 f（0）＞0 f（0）＜ 0
x1 o
k1
三、巩固提高
已知A x x 2ax 1 0
2
B x x 2x 3 0
2




(1)若B A, 则a的范围? (2)若A B, 则a的范围?
作业
1、方程 5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间（ -1， 0） 上，另一个在区间（1，2）上 ，求a的取值范围。 2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少 有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
2 2 2 2
3.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间（k1，k2） 以及（p1，p2）之间 y
k1
k2 p1 o x1
x2
p2
x
k1 x1 k2 p1 x2 p2
a 0 f（ k ） 0 1 f（ k 2 ） 0 f（ p ） 1 0 0 f（P2）
①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
x
练一练
1.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 有且仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。 2.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较大根在（0，1）， 求m的取值范围。 3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较小根在（0，1）， 求m的取值范围 变3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围
三、例题
1.当m为何值时，方程 2 x 4 mx 3m 1 0
2
(1)有两个正根； 且负根的绝对值小于正根 (2)有两个负根； (3)有两个大于1的根；
0 注( 3) : x1 x2 2 是错的 x x 1 1 2
如：x 5 x 4 0
3.已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m≤0}, 且B A,求实数m的取值范围.