当前位置：文档之家 › 典型例题31 数学归纳法解题

典型例题31 数学归纳法解题

  • 格式：doc
  • 大小：242.00 KB
  • 文档页数：8

用心 爱心 专心 1 高考数学典型例题详解

数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c).

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=qb,c=bq(q＞0且q≠1)

∴an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)＞2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想2nnca＞(2ca)n(n≥2且n∈N*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca

②设n=k时成立，即,)2(2kkkcaca

则当n=k+1时，41211kkca (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

用心 爱心 专心 2 ＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)

＞(2ca)k·(2ca)=(2ca)k+1

［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－21成等比数列.

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{an}所有项的和.

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

错解分析：(2)中，Sk=－321k应舍去，这一点往往容易被忽视.

技巧与方法：求通项可证明{nS1}是以{11S}为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.

解：∵an,Sn,Sn－21成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－21)(n≥2) (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－32

由a1=1，a2=－32,S3=31+a3代入(*)式得：a3=－152

同理可得：a4=－352,由此可推出：an=)1( )12)(32(2)1( 1nnnn

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

②假设n=k(k≥2)时，ak=－)12)(32(2kk成立

故Sk2=－)12)(32(2kk·(Sk－21)

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

∴Sk=321,121kSkk (舍)

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－21),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－21)

用心 爱心 专心 3 .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即knkkaakaakaakkkkkkk

由①②知，an=)2()12)(32(2)1(1nnnn对一切n∈N成立.

(3)由(2)得数列前n项和Sn=121n,∴S=limnSn=0.

●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )

A.30 B.26 C.36 D.6

2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

用心 爱心 专心 4

二、填空题

3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222…则可归纳出_________.

4.(★★★★)已知a1=21,an+1=33nnaa,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明412n+3n+2能被13整除，其中n∈N*.

6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：2413212111nnn.

7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项公式bn;

(2)设数列{an}的通项an=loga(1+nb1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论.

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limnS2n＜3,求q的取值范围.

参考答案

难点磁场

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

用心 爱心 专心 5 10113

3970)24(2122)(614cbacbacbacba

于是，对n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=)10113(12)1(2nnnn

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

设n=k时上式成立，即Sk=12)1(kk (3k2+11k+10)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2)1(kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

=12)2)(1(kk (3k2+5k+12k+24)

=12)2)(1(kk［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.

答案：C

用心 爱心 专心 6

二、3.解析：11112)11(112321122即

12122)12(1)11(11,35312112222即

112)1(131211222nnn归纳为(n∈N*)

112)1(131211:222nnn答案(n∈N*)

53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112naaaaaaaaan猜想同理解析

73:答案、83、93、103 53n

三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3

=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

6.证明：(1)当n=2时，2413127221121

(2)假设当n=k时成立，即2413212111kkk

2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当

用心 爱心 专心 7 7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得311452)110(10101111dbdbb,∴bn=3n－2

(2)证明：由bn=3n－2知

Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231n)

=loga［(1+1)(1+41)…(1+ 231n)］

而31logabn+1=loga313n,于是，比较Sn与31logabn+1的大小比较(1+1)(1+41)…(1+231n)与313n的大小.

取n=1，有(1+1)=33311348

取n=2，有(1+1)(1+33312378)41

推测：(1+1)(1+41)…(1+231n)＞313n (*)

①当n=1时，已验证(*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231k)＞313k

则当n=k+1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3kkkk

3131323kkk

333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk

31)1(3)1311)(2311()411)(11(kkk从而,即当n=k+1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，Sn＞31logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜31logabn+1

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,

∴q≠0,a2=－29,

合集下载

数学归纳法的应用

数学归纳法的应用

数学归纳法的应用(共11页)

-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页- 数学归纳法的应用

姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜

中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力．

关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．

Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in

mathematics, it is have very broad application. In this paper, author

research into the step of the Mathematical induction , it includes

summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of

mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the

mathematical induction application in solve algebra identities ,

geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common

errors on application and into duct skill of the proof ,proof of

skills introduced. It is help to increased the level of the

数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用

发表时间：2019-01-23T16:43:27.747Z 来源：《教育学》2019年1月总第166期 作者： 折小妹

[导读] 数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。

陕西省大柳塔第一小学 719315

摘 要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。

关键词：数学归纳法 数列 不等式

一、数学归纳法的概述

1.归纳法与数学归纳法。

（1）归纳法。①完全归纳法。②不完全归纳法。③典型归纳推理。

（2）数学归纳法。数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。这一重要性质，为解

决有限与无限的矛盾提供了理论依据。也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。那

么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有

对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。这样的证明方法叫作数学归纳法，

可见数学归纳法是一种完全归纳法。

2.数学归纳法的基础。严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个

命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。

3.数学归纳法的原理。数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。

用数学归纳法证明

用数学归纳法证明

1

用数学归纳法证明

用数学归纳法证明

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.

1、当n=1时候，

左边=1/2;

右边=2-3/2=1/

2左边=右边，成立。

2、设n=k时候，有：

1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，

则当n=k+1时候：有：

1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-/2^(k+1)

=2-(k+3)/2^(k+1)

=2-/2^(k+1)

得证。

我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.

比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列

如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.

我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.

结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.

用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的. 2

怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.

第三十九课 数学归纳法题型及解题技巧(含答案)

第三十九课 数学归纳法题型及解题技巧(含答案)

1 第三十九课 数学归纳法题型及解题技巧（含答案）

解答题

1．（2017浙江）已知数列{}nx满足：11x，11ln(1)nnnxxx()n*N．

证明：当n*N时

（Ⅰ）10nnxx；

（Ⅱ）1122nnnnxxxx≤；

（Ⅲ）121122nnnx≤≤．

2．(2015湖北) 已知数列{}na的各项均为正数，1(1)()nnnbnannN，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数()1exfxx的单调区间，并比较1(1)nn与e的大小；

（Ⅱ）计算11ba，1212bbaa，123123bbbaaa，由此推测计算1212nnbbbaaa的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令112()nnncaaa，数列{}na，{}nc的前n项和分别记为nS,nT, 证明：ennTS．

3．(2014江苏)已知函数0sin()(0)xfxxx，设()nfx为1()nfx的导数，nN．

（Ⅰ）求122222ff的值；

（2）证明：对任意的nN，等式124442nnnff成立．

4．（2014安徽）设实数0c，整数1p，*Nn．

（Ⅰ）证明：当1x且0x时，pxxp1)1(；

（Ⅱ）数列na满足pca11，pnnnapcappa111，

证明：pnncaa11．

5．（2014重庆）设2111,22(*)nnnaaaabnN

（Ⅰ）若1b，求23,aa及数列{}na的通项公式； 2 （Ⅱ）若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论．

6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)rfxrxxr(0)x，其中r为有理数，且01r.

求()fx的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,bb为正有理数. 若121bb，则12121122bbaaabab；