(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法（2016.4.21）之迟辟智美创作一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步伐是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步伐,一结论.二、题型归纳：例1．用数学归纳法证明：证明：①n=1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n=k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k ，今世入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，到达这个目标．例 3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2，n ∈N*)．(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时，原等式酿成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n －2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2，k ∈N*)时，等式成立，即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.-----精心整理，希望对您有所帮助!。

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法证题步骤与技巧1.数学归纳法的范围因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。

它能帮助我们判断种种与自然数n 有关的猜想的正确性。

2.数学归纳法两个步骤的关系第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。

3.第一、二数学归纳法第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k 时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

从而就可断定命题对于从所有正整数都成立 第二数学归纳法的证明步骤是： 1、证明当n=1时命题是正确的；2、k 为任意自然数，假设n ＜k 时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。

数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。

有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。

2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=42n n ,2+则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上( )(A)k 2+1(B)(k+1)2(C)()()42k 1k 12+++(D)(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)24.若数列{a n }的通项公式a n =()21n 1+(n ∈N *),记f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( ) (A)n 2n 3++ (B)n 22n 2++(C)n 22n 1++ (D)n2n 1+ 5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n+y n能被x+y 整除”，当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______ _____________________________. 7.用数学归纳法证明：21111n n 1n 2n+++⋯+++＞1(n ∈N *,n ＞1).8.求证：()()()()222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++⋯+=⨯⨯-++,(n ∈N *)9.用数学归纳法证明a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除(n ∈*N )答案解析2.【解析】选D.当n=k 时，左端=1+2+3+…+k 2，当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2,故当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2,故应选D.4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ), f(1)=1-a 1=1-13,44= f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)×(1-19)=3824,4936⨯== f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=()12155f 2(1).163168⨯-=⨯=根据其结构特点可得：f(n)=()n 2.2n 1++故选B.5.【解析】因为n 为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真. 答案：2k+16.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2,f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)27.【证明】(1)当n=2时，左边=11113.23412++= 右边=1，不等式成立.(2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N *)时，不等式成立，即21111k k 1k 2k+++⋯+++＞1. 那么当n=k+1时，()()()()()()()()2222222222222111111k 1k 2k k 1k 2k 111111111()k k 1k 2k k 1k 2k 2k 1k 1112k 1k 2k 1k2k 1k k 1k k 111.k k 1k k 1++⋯++++⋯++++++=+++⋯++++⋯+-++++++++-+++-+--=+=+++＞∵k ≥2,∴k 2-k-1＞0,1+()22k k 1k k 1--+＞1.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n 都成立. 【变式训练】用数学归纳法证明：2221113n 123n 2n 1+++⋯+≥+(n ∈N *). 【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；②假设n=k 时，不等式成立， 即2221113k 1.23k 2k 1+++⋯+≥+ 当n=k+1时，()()2222211113k 11,23k 2k 1k 1k 1+++⋯++≥++++ 下面证：()()()23k 13k 1,2k 12k 11k 1++≥++++ 作差得()()()()()()()223k 1k k 23k 10,2k 12k 11k 1k 12k 12k 3+++-=+++++++＞得结论成立，即当n ＝k+1时，不等式也成立.由①和②知，不等式对一切n ∈N *都成立.8.(2012·开封高二检测)在数列{a n },{b n }中，a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n+1成等差数列，b n ,a n+1,b n+1成等比数列(n ∈N *),求a 2,a 3,a 4与b 2,b 3,b 4的值，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论.8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法. 【解析】由条件得2b n =a n +a n+1,2n 1a+ =b n b n+1.又a 1=2,b 1=4,由此可得a 2=6,b 2=9, a 3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25,猜测a n =n(n+1),b n =(n+1)2. 用数学归纳法证明.①当n=1时，a 1=2,b 1=4,结论成立. ②假设n=k 时结论成立，即a k =k(k+1),b k =(k+1)2.那么n=k+1时，a k+1=2b k -a k =2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)［(k+1)+1］,b k+1=2k 1ka b +=(k+2)2=［(k+1)+1］2,∴n=k+1时，结论也成立.由①和②知，a n =n(n+1),b n =(n+1)2对一切正整数都成立. 【挑战能力】【解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n 有关，用数学归纳法解决是较好的选择.【解析】(1)当n=1时，左边=a 2+(a+1)1=a 2+a+1，可被a 2+a+1整除；(2)假设n=k(k ≥1，k ∈N *)时，a k+1+(a+1)2k-1能被a 2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+1+1+(a+1)2(k+1)-1=a k+2+(a+1)2k+1 =aa k+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aa k+1+a(a+1)2k-1+(a 2+a+1)(a+1)2k-1=a ［a k+1+(a+1)2k-1］+(a 2+a+1)(a+1)2k-1，由假设可知a ［a k+1+(a+1)2k-1］能被a 2+a+1整除.又(a 2+a+1)(a+1)2k-1也能被a 2+a+1整除，所以a k+2+(a+1)2k+1能被a 2+a+1整除，即 n=k+1时，命题成立.由(1)和(2)知，对一切n ∈N *命题都成立. 【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法.也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k 时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k 时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的.一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011·马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=()()n 3n 42++ (n ∈N *)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )(A)1 (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+42.设S k =1111k 1k 2k 32k +++⋯++++，则S k+1为( ) (A)S k +12k 2+ (B)S k +12k 1++12k 2+ (C)S k +12k 1+-12k 2+ (D)S k +12k 2+-12k 1+3.某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N *)时，命题成立，那么n=k+1时，命题也成立，即已知当n=4时该命题不成立，那么可推得( )(A)当n=5时命题不成立(B)当n=5时命题成立(C)当n=3时命题不成立(D)当n=3时命题成立 4.*n 1(n N )+∈”的过程如下：证明：(1)当n=1时，显然命题是正确的；(2)假设n=kk 1+,则当n=k+1=()k 11=++所以当n=k+1时命题是正确的，由(1)(2)可知对于(n ∈N *)命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于( ) (A)从k 到k+1的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确 (C)从k 到k+1的推理不严密(D)当n=1时，验证过程不具体 二、填空题(每题4分，共8分)5.用数学归纳法证明“n 3+5n ”能被6整除的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________________________. 6.在数列{a n }中，a 1=2,a n+1n n a 3a 1=+(n ∈N *)，依次计算出a 2,a 3,a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为_______________________. 三、解答题(每题8分，共16分)7.求证：()()()()222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++⋯+=⨯⨯-++,(n ∈N *) 8.平面上有n(n ≥2)条直线，其中无两条直线平行，也无三线共点，求证：这n 条直线互相分割成n 2条线段或射线.【挑战能力】(10分)在1与2之间插入n 个正数a 1,a 2,a 3,…,a n ，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1,b 2,b 3,…,b n ，使这n+2个数成等差数列.记A n =a 1a 2a 3…a n ,B n =b 1+b 2+b 3+…+b n .试比较A n 与B n 的大小(n ∈N *)，并证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.由所给等式可知，当n=1时，左边应有四项，即1+2+3+4.2.【解析】选C.∵k 111111S k 11k 122k 2k 12k 2+=++⋯+++++++++ k 1k k 111S S 2k 12k 2k 111S .2k 12k 2+∴=++-+++=+-++ 独具【易错提醒】在由n=k 到n=k+1的转化过程中，必须搞清式子的结构，即弄清楚增加和减少的项，本题易误选B.3.【解析】选C.判断其逆否命题,若n=3时，该命题成立，则n=3+1=4时，命题也一定成立.4.【解析】选A.由推理过程可知，在第二步证明n=k+1的结论时，没有使用归纳假设.5.【解析】(k+1)3+5(k+1)=k 3+1+3k 2+3k+5k+5=(k 3+5k)+3k 2+3k+6=(k 3+5k)+3k(k+1) +6∵k(k+1)为偶数，∴3k(k+1)+6能被6整除.答案：(k 3+5k)+3k(k+1)+6 6.【解析】∵a 1=2,3n 12n 1234n 123a a a a 222a a ,a ,a 3a 13a 173a 1133a 119+=∴======++++ ,于是猜想a n =2.6n 5- 答案：a n =26n 5-(n ∈N *)7.【证明】(1)当n=1时，左边=11133=⨯，右边=121233⨯=⨯, ∴左边=右边.∴当n=1时，等式成立.(2)假设当n=k(k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即()()()()222k k 112k 13352k 12k 122k 1+++⋯+=⨯⨯-++成立, 当n=k+1时，()()()()()()()()()()22222k 1k k 1k 112k 13352k 12k 12k 12k 322k 12k 12k 3+++++⋯++=+⨯⨯-++++++ ()()k(2k 3)2(k 1)(k 1)22k 12k 3+++=+++()()()()()()k 1k 2(2k 1)k 1(k 2)22k 12k 322k 3+++++==+++ ()()()k 1[k 11].22k 11+++=++［］∴当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，等式对任意n ∈N *都成立.8.【证明】(1)当n=2时，两条相交直线互相分割成4=22条射线，命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *且k ≥2)时，命题成立，即k 条直线互相分割成k 2条线段或射线. 则当n=k+1时，第k+1条直线与前k 条直线有k 个交点，这k 个交点把第k+1条直线分成k-1条线段和2条射线，这k 个交点又把它原来所在的线段或射线分成2段，所以线段或射线又增加了k 段.加进第k+1条直线后，共增加了k-1+2+k 条线段或射线，这时有k 2+k-1+2+k=(k+1)2条线段或射线，所以n=k+1时命题也成立，由(1)(2)可知，结论成立. 【挑战能力】独具【解题提示】先由等差、等比数列的性质，求出A n 与B n ，再由特殊到一般猜想A n 与B n 的大小，用数学归纳法证明.【解析】∵1,a 1,a 2,a 3,…,a n ,2成等比数列， ∴a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a k a n-k+1=…=1×2=2, ∴2n A =(a 1a n )(a 2a n-1)(a 3a n-2)…(a n-1a 2)(a n a 1)=2n,∴A n =2n 2.又1,b 1,b 2,b 3,…,b n ,2成等差数列， ∴b 1+b n =1+2=3, ∴B n =()1n n b b 3n 22+=. 要比较A n 与B n 的大小，只需比较2n A 与2n B 的大小，即比较2n与94n 2的大小. 当n=1,2,3,…6时，容易计算出2n＜94n 2, 当n=7时，27=128，94×72=4414, ∵128＞4414,∴2n＞94n 2.当n=8时，28=256, 94×82=144,∵256＞144,∴2n＞94n 2.猜想：当n ≥7时，有2n＞94n 2.以下用数学归纳法加以证明： ①当n=7时，已验证猜想正确.②假设n=k(k ≥7)时猜想正确，即2k＞94k 2. 那么n=k+1时，2k+1=2·2k＞2·94k 2=94·2k 2, 又当k ≥7时，2k 2-(k+1)2=k 2-2k-1=(k-1)2-2＞0, ∴2k+1＞94(k+1)2. 即当n=k+1时，猜想也正确.由①②知，对一切n ≥7(n ∈N *)，都有2n＞94n 2, 即2n A ＞2n B ，也即A n ＞B n .综上，当1≤n ≤6(n ∈N *)时,A n ＜B n ; 当n ≥7(n ∈N *)时，A n ＞B n .高考题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1.归纳法证明下述等式问题：)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . 练习：用数学归纳法证明 ()()()114253153n n n n n ⨯+⨯+++=++题型2.证明不等式例2. 用数学归纳法证明下述不等式；).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且练习：用数学归纳法证明()11121,,22322n n n N n +++++>∈≥题型3.证明整除练习：用数学归纳法证明2166n --能被7整除题型4.解决几何问题例4.有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k ＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．。

数学归纳法典型例题【典型例题】例1. 用数学归纳法证明：时，。

解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。

②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。

由①，②可知，对一切等式都成立。

点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。

（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

例2. 。

解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。

（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。

上式表明当时命题也成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。

解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。

②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。

（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。

另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。

4.4 数学归纳法考点一增项问题【例1】（2020·浙江海曙·效实中学）用数学归纳法证明()()()()()()123213521n n n n n n n n N *+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈的过程中，当n 从k 到1k +时，等式左边应增乘的式子是（ ） A ．21k +B ．()()2122k k ++C ．()()21221k k k +++D ．221k k ++ 【答案】C【解析】当n k =时，等式左边()()()12k k k k =+++，当1n k =+时，等式左边()()()()()232122k k k k k k =+++++，因此，当n 从k 到1k +时，等式左边应增乘的式子为()()()()()()()()()()2321222122121k k k k k k k k k k k k k +++++++=++++.故选：C.【一隅三反】1．（2020·上海市市西中学月考）()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)，那么()()1f k f k +-共有（ ）项.A ．21k -B ．2kC ．21k +D ．以上都不对【答案】B【解析】()()1111111121222212222k k k k k k kf k f k ++-=+++=++++++++，共有2k 项． 故选：B ．2．（2020·江西期末（理））用数学归纳法证明不等式111131214n n n n +++>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了()121k +B ．增加了112122k k +++C ．增加了()11211k k -++D ．增加了11121221k k k +-+++ 【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式111131214n n n n +++>+++的过程中由n k =时，111131214k k k k +++>+++，① 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++，111111()1212122k k k k k k k =+++-++++++++，②， ②-①得：左边12122211k k k =+-+++. 故选：D.3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n ∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ） A ．2135(21)k k +++⋅⋅⋅++= B ．2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+ C ．2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+ D ．2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+ 【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+4．（2020·浙江绍兴·高一期末）用数学归纳法证明“11111(12322n n n n n +++⋅⋅⋅+≥∈+++*)N ”，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）A ．121k + B ．122k +C ．112122k k +++ D ．11121221k k k +-+++ 【答案】D【解析】当n k =时，不等式左边为11111232k k k k+++++++ 当1n k =+时，不等式左边为11111123422122k k k k k k +++++++++++ 1111111123221221k k k k k k k =++++++-++++++即由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是11121221k k k +-+++ 故选：D考点二 等式的证明【例2】．（2020·镇原中学高二期中（理））用数学归纳法证明()()()2222*121123N 6n n n n n +++++⋅⋅⋅+=∈. 【答案】见解析【解析】证明：①当1n =时，左边211==，右边()()11121116⨯+⨯⨯+==，等式成立；②假 设 当 ()*N n k k =∈时等式成立， 即()()()2222*121123N 6k k k k k +++++⋅⋅⋅+=∈. 那么，()()()()222222121123116k k k k k k +++++⋅⋅⋅+++=++()()()()()2212761216166k k k k k k k +++++++==()()()12236k k k +++= ()()()()*111211N 6k k k k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∈即当1n k =+时等式也成立.由①②知，等式对任何*N n ∈都成立. 【一隅三反】1．（2020·福建高二期中（理））用数学归纳法证明等式()()()112222211234112n n n n n --+-+-++-=-.【答案】证明见解析【解析】①当1n =时，左边211==， 右边()012112⨯=-⨯=，左边=右边，原等式成立； ②假设当()1,n k k k N*=≥∈时等式成立，即有()()()112222211234112k k k k k --+-+-++-=-， 那么，当1n k =+时，()()()12222221234111k k k k --+-++-+-⋅+()()()()()()()()()121121111111222k k k k k k k k k k k k -+++⎡⎤=-⋅+-⋅+=-++-=-⋅⎢⎥⎣⎦， 所以当1n k =+时，等式也成立，由①②知，对任意n *∈N ，都有()()()112222211234112n n n n n --+-+-++-=-.2．（2020·广西钦州·高二期末（理））用数学归纳法证明：()()()2*1427311n n n n n N ⨯+⨯+++=+∈.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1<(22<成立，即证明1020+<5<成立，即证明2125<成立，因为2125<<（2）①当1n =时，314n +=，等式左边144=⨯=，右边2124=⨯=，等式成立； ②设当n k =时，等式成立，即()()21427311k k k k ⨯+⨯+++=+，则当1n k =+时，()()()()()()21427310311341134k k k k k k k k ⨯+⨯+⨯++++++=++++()()()()22134111k k k k k k =++++=+++，即1n k =+成立， 综上所述，()()21427311n n n n ⨯+⨯+++=+．考点三 不等式的证明【例3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：()()()1111ln 12321nn n n n *+++⋅⋅⋅+>++∈+N .【答案】证明见解析 【解析】先证明出n N *∀∈，()1111ln 1221n n n n ⎛⎫>++- ⎪+⎝⎭，即()111ln 10221n n n ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭， 构造函数()()()ln 1221x xf x x x =+-++， 当0x >时，则()()()2221110212121x f x x x x '=+-=>+++， 所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，则1111ln 101221n f n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则()111ln 1221n n n ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭，即()1111ln 1221n n n n ⎛⎫->+- ⎪+⎝⎭， 即()1111ln 1221n n n n ⎛⎫>++- ⎪+⎝⎭， 对任意的k *∈N ，当1n k =+时，()()1111ln 1112122k k k k ⎛⎫>++- ⎪++++⎝⎭. 当1n =时，左边1=，右边14=，左边>右边； 假设当()n k k N*=∈时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k +++⋅⋅⋅+>+++. 则当1n k =+时，则()()()()11112111ln 1ln 2312112122k k k k k k k k k ++++⋅⋅⋅++>++++-+++++()()1ln 222k k k +=+++.这说明，当1n k =+时，原不等式也成立.综上所述，对任意的n *∈N ，()()1111ln 12321n n n n +++⋅⋅⋅+>+++. 【一隅三反】1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式()*11111123422n nn N -++++⋯+>∈，恒成立.【答案】见解析 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立 那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k k k ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立 综上：不等式()*11111123422n nn N -++++⋯+>∈，恒成立.2．（2020·安徽蚌山·蚌埠二中（理））试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】（1）当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立； （2）假设当()*n k k N=∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++， 当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点四 整除问题【例4】（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：2211112n n +-+能被133整除()*n N ∈．【答案】见解析【解析】证明： ①当1n =时，221211*********n n +-+=+=能被133整除，所以1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N=∈时，2211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时，3212212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯221212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()2212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()2212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即3211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，2211112n n +-+能被133整除 【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）求证：()121*(1)n n a a n N +-++∈能被21a a ++整除．【答案】证明见解析. 【解析】当n =1时，1212(1)1n n aa a a +-++=++能被21a a ++整除，假设当,1,*n k k k N =≥∈,时121121(1)(1)n n k k a a a a +-+-++=++能被21a a ++整除， 则当1n k =+时，()221121221(1)(1)1(1)k k k k k a a a a a a a a +++--⎡⎤++=++++++⎣⎦， 其中121(1)k k aa +-++能被21a a ++整除，所以121(1)k k a aa +-⎡⎤++⎣⎦能被21a a ++整除，所以()121221(1)1(1)k k k a aa a a a +--⎡⎤++++++⎣⎦能被21a a ++整除，即当1n k =+时，()121*(1)n n a a n N +-++∈能被21a a ++整除，所以()121*(1)n n aa n N +-++∈能被21a a ++整除.2．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除． 【答案】见解析【解析】证明：（1）当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除， 故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．（2）假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除， 则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．考点五 数归在数列的应用【例5】．（2020·江西高二期末（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性．【答案】（1）112S =，223S =，334S =，1n nS n =+，*n N ∈；（2）证明见解析． 【解析】（1）当1n =时，()22111S S -=，∴112S =，当2n ≥时，()()211n n n n S S S S --=-，∴112n n S S -=-，∴223S =，334S =， 猜想1n nS n =+，*n N ∈；（2）下面用数学归纳法证明：①当1n =时，112S =，112n n =+，猜想正确； ②假设n k =时，猜想正确，即1k kS k =+，那么当1n k =+时， 可得()111121121k k k S k S k k ++===-++-+，即1n k =+时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数n ，1n nS n =+都成立． 【一隅三反】1．（2019·浙江余姚中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N .（1）求12S 、24S 、38S ； （2）由（1）猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1）112S =，244S =，398S =；（2）猜想()2*2n nS n n =∈N ，证明见解析. 【解析】（1）()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ，当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+-⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =；当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =；当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =；（2）由（1）猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N ． 下面运用数学归纳法证明． ①当1n =时，由（1）可得112S =成立； ②假设()*n k k N=∈，22k kSk =成立，当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+-⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立．由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立． 2．（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈ 【答案】（1）12n n a ，1n b n =+；（2）详见解析.【解析】（1）由题意()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，得324410a a a =⎧⎨+=⎩， 即4410q q+=，解得2q 或12q =，已知1q >故2q ． 3121a a q ==，12n n a ．当1n =时，112a b =，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式， 1(1)2n n n a b n -∴=+⋅，1n b n ∴=+．（2）11n n nn c c c ++=+ 法1．22212(1)2(1)n nn n c c n c ++=+++，22212(1)2(1)2(1)n n n n c c n n c ++-=++>+2221223222122232n n c c c c c c n -⎧->⨯⎪->⨯⎪⎨⎪⎪->⨯⎩，累加得当2n ≥，22232[23]2n c n n n ->+++=+-，227n c n n >++当1n =，227n c n n =++∴12n c n ≥>+ 1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅= ⎪⎝⎭ 法2．先用数学归纳法证明当*n N ∈，12n c n >+． ①当1n =时，1133,22c n =+=，左式>右式，不等式成立． ②假设n k =时，不等式成立，即12k c k >+当1n k =+时，11k k k k c c c ++=+，因为1()k f x x x +=+在)+∞上单调递增，由12k c k >+>，得()12k f c f k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即111122k k c k k ++>+++，可得132k c k +>+，不等式也成立． ③由①②得证当*n N ∈，12n c n >+． 1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅= ⎪⎝⎭. 3．（2020·四川省珙县中学月考）若n 1n 21(1,2,3,)a a n +=+=⋯，且11a =. （1）求2a ，3a ， 4a ，5a ，（2）归纳猜想通项公式n a ，用数学归纳法证明.【答案】（1）23453,7,15,31a a a a ====；（2）21n n a =-，证明见解析．【解析】（1）因为n 1n 21(1,2,3,)a a n +=+=⋯，且11a =. 所以22113a =⨯+=，32317a =⨯+=，427115a =⨯+=，5115131a =⨯+=；（2）猜想21n n a =-．可用数学归纳法证明．①1n =已成立；②假设n k =时，21k k a =-，则11212(21)121k k k k a a ++=+=⨯-+=-，1n k =+时，命题也成立，综上对所有正整数n ，都有21n n a =-．。

数学归纳法（2016.4.21）一.用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论准确;（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论准确,证实1n k =+时结论也准确．分解（1）.（2）,……留意：数学归纳法应用要点：两步调,一结论.二.题型归纳：题型1.证实代数恒等式例1．用数学归纳法证实：证实：①n =1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立．②假设n =k 时,等式成立,即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．这就解释,当n =k +1时,等式亦成立,由①.②可知,对一切天然数n 等式成立．题型2.证实不等式例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证实：①当n =1时,左边=1,右边=2．左边<右边,不等式成立．②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时,这就是说,当n =k +1时,不等式成立．由①.②可知,原不等式对随意率性天然数n 都成立． 解释：这里要留意,当n =k +1时,要证的目的是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证实：12112+<++k k k ．熟悉了这个目的,于是就可朝这个目的证下去,并进行有关的变形,达到这个目的．题型3.证实数列问题例 3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2,n ∈N *)．(1)当n ＝5时,求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3,T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证实：当n ≥2时,T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解：(1)当n ＝5时,原等式变成(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ,所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2,右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么,当n ＝k ＋1时,左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时,等式成立．综上①②,当n ≥2时,T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法（2016.4.21）之马矢奏春创作一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论精确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论精确,证及时1n k =+结论也精确．分化（1）、（2）,……留心：数学归纳法运用要点：两步调,一结论. 二、题型归纳：题型1.证实代数恒等式例1．用数学归纳法证实：证实：①n=1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立．②假设n=k 时,等式成立,即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,由①、②可知,对一切自然数n 等式成立． 题型2.证实不等式例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证实：①当n=1时,左边=1,右边=2．左边<右边,不等式成立．②假设n=k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++．那么当n=k+1时,这就是说,当n=k+1时,不等式成立．由①、②可知,原不等式对随便率性自然数n 都成立． 说明：这里要留心,当n=k+1时,要证的目标是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证实：12112+<++k k k ．熟习了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标．题型3.证实数列问题例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2,n∈N*)．(1)当n ＝5时,求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3,Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时,原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n,所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2,右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立 那么,当n ＝k ＋1时,左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时,等式成立．综上①②,当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n(n ＋1)(n －1)3.。