一次函数的概念与图像

1 x+2 的交点记为 Q，可知点 Q 与点 P 有相同的横坐标，设点 Q 的坐标为(x1,y2),则 2
1 x1+2. 2 1 1 x1+2)-( - x1)=2,可知点 Q 在点 P 上方且相距 2 个单位，即点 P 向上平移 2 个单位 2 2
由 y2-y1=(-
就与点 Q 重合.
1 1 1 x 上的任意一点， 所以把直线 y=- x “向上平移 2 个单位” ， 就与直线 y=- x+2 2 2 2 1 1 重合.因此，直线 y=- x+2 与直线 y=- x 平行.（可借助几何画板展示图形的动态变化过程） 2 2
2
（2） y
3 ． x
（3） y 3 x 1 ．
2．一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加 2 米．这个小球的速度 v 随时间 t 变化的 函数关系是一次函数吗？
3． 汽车油箱中原有油 50 升， 如果行驶中每小时用油 5 升， 求油箱中的油量 y （升） 随行驶时间 x （小 时）变化的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．y 是 x 的一次函数吗？
三、巩固练习 1.指出下列直线中互相平行的直线： (1)直线 y=5x+1； (4)直线 y=5x-3； (2)直线 y=-5x+1； (5)直线 y=x-3； (3)直线 y=x+5； (6)直线 y=-5x+5.
2.已知直线 y=(m-1)x+m 与直线 y=2x+1 平行.
(1)求 m 的值； (2)求直线 y=(m-1)x+m 与 x 轴的交点坐标.
2
y=
1 x+3 2
„
(2)描点： 分别以所取 x 的值和相应的函数值 y 作为点的横坐标和纵坐标， 描出这些坐标所对应的点. (3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来. (图略) 2．观察 观察表格和图像,对于 x 的每一个相同值,函数 y= 少? 说明 不论从表中或图像上都可以看出, 对于 x 的每一个相同值, 函数 y= 数 y=
例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，画一次函数 y=
2 x-2 的图像. 3
分析 因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出直线上的两点,再过两点 画直线就可以了. 解: 由 y=
2 x-2 可知，当 x=0 时，y=-2；当 y=0 时， x=3. 3 2 x-2 的图像上的两点. 3
1 OB,求直线的表 2
三、巩固练习 1.(口答)说出下列直线的截距： (1)直线 y= 3 x+2；(2)直线 y=-2x- 5 ；(3)直线 y=3x+1- 2 .
2.在平面直角坐标系 xOy 中，画出函数 y=-
2 x+2 的图像，并求这个图像与坐标轴的交点的坐标. 3
3.已知直线经过点 M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
(1)k>0 时，K 值越大，倾斜角越大 (2)k<0 时，K 值越大，倾斜角越大 说明 （1） 倾斜角是指直线与 x 轴正方向的夹角； （2）常数 k 称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.
3．例题分析
例 4 在同一直角坐标系中画出直线 y=-
1 1 x+2 与直线 y=- x， 并判断这两条直线之间的位置关系. 2 对应的 y 值,同时,注意 截距与距离的区别. 例 3 已知直线 y=kx+b 经过 A(-20,5)、B(10,20)两点，求： (1)k、b 的值； (2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
5．问题拓展
已知直线 y=mx+2 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,点 O 为坐标原点，如果 OA= 达式.
授课 类型
T 一次函数的概念
T 一次函数的图像
教学内容
T 巩固练习
教学过程 一、创设情境，复习导入 问题 1：汽车油箱里原有汽油 120 升，已知每行驶 10 千米耗油 2 升，如果汽车油箱的剩 余是 y（升）汽车行驶的路程为 x（千米） ，试用解析式表示 y• 与 x 的关系．
分析：每行驶 10 千米耗油 2 升，那么每行驶 1 千米耗油 0.2 升，因此 y 与 x 的函数关系式为： y=120－0.2x （0≤x≤600） 当然，这个函数也可表示为： y=－0.2x+120 （0≤x≤600） 说明 当一个函数以解析式表示时,如果对函数的定义域未加说明,那么定义域由这个函数的解析式 确定；否则,应指明函数的定义域. 这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？ 从今天开始我们将讨论这些问题． 二、学习新课 1．概念辨析 问题 2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地 80 千米的 A 处发生故障，修好后以 60 千米／小时的速度继续行驶.以汽车从 A 处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为 t（小时） ，某人 离开甲地所走的路程为 s（千米） ，那么 s 与 t 的函数解析式是什么？ 类似问题 1：这个函数解析式是 S=60t+80 思考：这个解析式和 y=-0.2x+120 有什么共同特点？ 如果我们用 k 表示自变量的系数，b 表示常数．• 这些函数就可以写成：y=kx+b（k≠0）的形式. 一般地，形如 y=kx+b（k、b 是常数，且 k≠0• ）的函数，• 叫做一次函数（• linear function） ．一 次函数的定义域是一切实数. 当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx（k 是常数，且 k≠0• ） ．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 当 k=0 时，y 等于一个常数，这个常数用 c 来表示，一般地，我们把函数 y=c（c 是常数）叫做 常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定． 2．例题分析 例题 1 根据变量 x、y 的关系式, 判断 y 是否是 x 的一次函数. （1） y 2 x ； （2） y 1
4．已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9） ，求这个一次函数的解析式．
教学过程设计 一、 情景引入 1．操作 按照下列步骤画正比例函数 y=
1 1 x 和一次函数 y= x+3 的图像，并进行比较 2 2
1 2 3 4 „ „ „
(1)列表：取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值 y x „ -4 -3 -2 -1 0 „ 1 y= x
(1) 填空：方程 kx+b=0 的解为_____________； (2) 填空：不等式 kx+b>0 的解集为__________； (3) 求这个一次函数的解析式. 2．思考 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值与方程 kx+b=0 的解或不等式 kx+b>0 的解集有何关系? 二、学习新课 1．一次函数与一元一次方程的关系
分析 描出直线上的两点,再过这两点画直线即可，问题在于如何判断这两条直线之间的位置关 系.可以通过特殊点和任意点的坐标变化规律，进行判断. 解 直线 y=-
1 x+2 与 x 轴的交点是 A(4,0),与 y 轴的交点是 B(0,2).画出直线 AB. 2
直线 y=-
1 x 过原点 O(0,0)和点 C(2,-1).画出直线 OC. 2
2 1 1 2 2
如果直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 平行，那么 k1=k2 ,b1 6．例题分析
b
2
.
例 5 已知一次函数的图像经过点 A(2,-1),且与直线 y=
1 x+1 平行，求这个函数的解析式. 2
3．问题拓展 已知直线 y=2x-3，把这条直线沿 y 轴向上平移 5 个单位，再沿 x 轴向右平移 3 个单位，求两次 平移后的直线解析式.
4.已知直线 y=kx+b 经过点 A(-1,2)和 B(
1 ,3),求这条直线的截距. 2
一、 情景引入 1．操作 在同一直角坐标系中画出下列直线 （1）直线 y=
1 x+2； 3
（2）直线 y=3x+2； （4）直线 y=-
（3）直线 y=-2x+2；
1 x+2. 3
2．观察 (1)观察上述四条直线，发现截距相同时，直线都过什么样的点? (2)观察上述四条直线相对于 x 轴的倾斜程度，即直线与 x 轴正方向夹角的大小 3．思考 直线相对于 x 轴的倾斜程度，即直线与 x 轴正方向夹角的大小与 k 的大小有何关系？ 二、学习新课 1．b 的作用 在坐标平面上画直线 y=kx+b (k≠0)，截距 b 相同的直线经过同一点(0,b). 2．k 的作用 k 值不同，则直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度不同.
2
例题 4 已知一个一次函数,当自变量 x=2 时，函数值 y=-1；当 x=5 时，y=8.求这个函数的解析式.
说明 这里求一次函数解析式的方法是待定系数法.解析式中 k,b 是待定系数,利用两个已知条件 列出关于 k、b 的方程组再求解,可确定它们的值.
3．巩固练习：
1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1） y 8 x ． （3） y 5 x 6 ．
所以 A(0,-2)、B(3,0)是函数 y=
过点 A、B 画直线，则直线 AB 就是函数 y= (图略).
2 x-2 的图像. 3
说明 (1)画直线 y=kx+b 时,通常先描出直线与 x 轴、y 轴的交点,如果直线与 x 轴、y 轴的交 点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点. (2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫. 由点 A 的横坐标 x=0，可知点 A 在 y 轴上；由点 B 的纵坐标 y=0，可知点 B 在 x 轴上.又点 A、 B 在直线 y=