函数的概念与图像

第01讲 一次函数的概念、图像与性质一、一次函数的概念1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。

定义域：一切实数。

2、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

3、常值函数一般的，我们把函数()y c c =为常数叫做常值函数。

二、一次函数的图像与性质1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．5、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 6、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．考点一：一次函数识别【例题1】（2021·上海普陀·八年级期中）下列四个函数中，一次函数是（ ） A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝x ﹣2C ．11y x=+D ．y x +1【变式训练1】（2021·上海奉贤·八年级期中）下列函数中是一次函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）考点二：根据一次函数的定义求参数【例题2】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）当k ______时，y kx x =+是一次函数．【变式训练1】（2021·上海普陀·八年级期中）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．【变式训练2】（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.考点三：求一次函数的自变量与值域【例题3】（2021·上海杨浦·八年级期末）如果点A(3,)a 在一次函数31yx 的图像上，则a =__________．【变式训练1】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）已知一次函数24y x =+的图象经过点(),8A m ，那么m 的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值【例题4】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量y （升）与燃烧的时间x （小时）之间的函数关系式是______．【变式训练1】（2020·上海浦东新·八年级期末）汽车以60千米/时的平均速度，由A 地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是_____．考点五：一次函数平移【例题5】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）将直线112y x =--向上平移4个单位所得的直线表达式为______．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）将一次函数y ＝2x ﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点．【变式训练2】（2021·上海浦东新·八年级期末）如果将函数31y x =-的图象向上平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点【例题6】（2021·上海普陀·八年级期末）将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y 轴分别交于点,,A B 那么ABO 为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x =-+的坐标轴三角形的面积是_____．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）一次函数y ＝﹣2x ﹣3的截距是_____． 【变式训练2】（2021·上海·八年级期中）直线36y x =-与坐标轴所围成的三角形的面积是_____．【变式训练3】（2021·上海奉贤·八年级期末）直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限【例题7】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝2（x +1）﹣1不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【变式训练1】（2021·上海徐汇·八年级期末）一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【变式训练2】（2021·上海崇明·八年级期末）一次函数53y x =-+的图象不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练3】（2021·上海金山·八年级期末）在直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣1的图像不经过第____象限．考点八：已知函数经过的象限求参数范围【例题8】（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数y 1=kx +b ，y 2=−bx +k ，正确的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数()0y mx m =≠的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练2】（2020·上海金山·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【变式训练3】（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）如果关于x 的一次函数(3)y m x m =-+的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围________.【变式训练4】（2021·上海静安·八年级期末）已知一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k 的取值范围是____．【变式训练5】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +m ﹣7的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是 ___．【变式训练6】（2017·上海嘉定·八年级期中）若正比例函数25m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m =____________【变式训练7】（2018·上海普陀·八年级期末）如果关于x 的一次函数y ＝mx +(4m ﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数【例题9】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．1.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．2.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．3.（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是105，求一次函数的解析式．4.1）求直线14222y x y x=-=+和与y轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x=-与直线31y x=-+与x轴所围成的三角形的面积．5.如图，已知由x轴、一次函数4(0)y kx k=+<的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．6.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．7.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的 整数值．8.如图，已知函数1y x=+的图象与y轴交于点A，一次函数y kx b=+的图象经过点B（0，1-），并且与x轴以及1y x=+的图象分别交于点C、D；（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b=+的图象与函数1y x=+的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）题组A 基础过关练一、单选题1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（）222211.3(1) (3)A y xB y xC y xD y x xx x=-=+=-=+-2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m>0 C．m＜12D．m＞123．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数51y x=-的图像经过的象限是（）A．一、二、三B．一、三、四C．二、三、四D．一、二、四分层提分4．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数图像如图所示，当2y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <5．（2020·上海浦东新·八年级期末）直线y ＝2x ﹣1在y 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题6．（2019·上海普陀·八年级期中）如果将直线22y x =-向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________．7．（2019·上海普陀·八年级期末）已知直线(2)3y k x =-+与直线32y x =-平行，那么k =_______．题组B 能力提升练1.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?2.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．3.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为3(123)．5.已知函数1y x =+与3y x =-+，求： （1）两个函数图象交点P 的坐标．（2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积．6.把一次函数的图像向上平移323y x =-，求平移前的函数图像与函数23y x =--题组C 培优拔尖练1.直线31y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．2.函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．3.如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．4.直线31y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC∆的面积相等，求a 的值．。

怎样理解高中数学的函数与图像高中数学中，函数与图像是一个重要的概念，它们的理解对于学生正确学习和应用数学知识具有关键的作用。

本文将介绍如何理解高中数学中的函数与图像，从数学概念的定义、图像的绘制和函数的应用等方面进行论述。

一、函数的概念与特点函数是数学中的一种基本概念，它描述了两个变量之间的关系。

在高中数学中，函数通常以f(x)或y的形式来表示。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系，其中定义域表示自变量的所有可能取值，值域表示函数输出的所有可能取值，而对应关系则表示自变量和函数值之间的对应关系。

函数具有以下特点：1. 单值性：函数的每个自变量值只能对应唯一的函数值。

2. 定义域和值域的确定性：函数的定义域和值域是根据题目条件或函数定义来确定的。

3. 可逆性：有些函数可以通过逆映射得到反函数，即对于函数f(x)存在一个反函数g(x)，使得g(f(x))=x。

二、图像的绘制与分析图像是函数概念的直观表示，绘制和分析函数图像有助于理解函数的性质和特点。

图像的绘制一般通过计算和画出函数在定义域内的一系列点来实现。

在绘制图像时，需要先确定函数的定义域和值域，然后选择一组有代表性的自变量值，在函数中计算对应的函数值，并将这些点用直线或曲线连接起来。

对于一些特殊函数，如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，可以利用其特定的性质和变化规律来绘制图像。

在分析函数图像时，需要注意以下几个方面：1. 函数的单调性：通过观察函数的图像可以判断函数的单调性，即函数是否单调递增或单调递减。

2. 函数的奇偶性：通过观察函数的图像可以判断函数的奇偶性质，即是否关于y轴对称。

3. 函数的周期性：通过观察函数的图像可以判断函数是否具有周期性，即是否在一定自变量范围内重复自身。

三、函数与实际问题的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，通过函数的建立和运用，可以解决许多实际问题。

在物理学中，许多物理量之间的关系可以用函数来表示，如位移、速度、加速度之间的关系可以用一次函数来描述；而自由落体运动的高度与时间的关系可以用二次函数来表示。

数学中的函数与函数图像数学是一门充满魅力的学科，而函数则是数学中的重要概念之一。

函数是描述两个变量之间关系的工具，它在数学中的应用广泛而深远。

本文将探讨函数的定义、性质以及函数图像的特点。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

换句话说，函数将自变量的取值映射到因变量的取值上。

函数通常用符号表示，例如f(x)或y=f(x)。

函数的定义包含三个要素：定义域、值域和对应关系。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系则描述了自变量和因变量之间的映射关系。

函数有许多重要的性质。

其中，单调性是指函数在定义域上的取值是递增还是递减的。

如果函数的值随着自变量的增大而增大，那么函数是递增的；如果函数的值随着自变量的增大而减小，那么函数是递减的。

另外，函数还有奇偶性和周期性等性质。

奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。

周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为正常数，表示函数图像在x轴上的平移。

二、函数图像的特点函数图像是函数在坐标平面上的几何表示，它展示了函数的变化规律和特点。

函数图像的形状和性质与函数的定义和性质密切相关。

首先，函数图像的形状受到函数的单调性的影响。

递增函数的图像从左下方向右上方倾斜，而递减函数的图像则相反。

这种倾斜程度与函数的斜率有关，斜率越大，图像的倾斜程度越大。

其次，函数图像的形状还受到函数的奇偶性和周期性的影响。

奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

周期函数的图像在一个周期内呈现出重复的形状，例如正弦函数和余弦函数的图像。

此外，函数图像还受到函数的极值和拐点的影响。

极值是指函数图像上的最大值和最小值，而拐点是指函数图像上的曲线从凸向上变为凹向上（或相反）的点。

极值和拐点的位置与函数的导数和二阶导数有关。

三、函数图像的应用函数图像不仅在数学中有重要的应用，而且在其他学科和实际问题中也有广泛的应用。

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

函数的概念与函数图像的绘制在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，它就像一座桥梁，连接着数量之间的关系，帮助我们理解和描述各种自然和社会现象。

而函数图像则是函数的直观表现，通过图形能够让我们更清晰地洞察函数的性质和规律。

首先，咱们来聊聊函数的概念。

简单来说，函数就是一种对应关系。

假设我们有两个集合，集合 A 和集合 B，对于集合 A 中的每一个元素，按照某种特定的规则，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么我们就说这构成了一个函数。

比如说，我们考虑一个生活中的例子：汽车行驶的路程与时间的关系。

如果我们把时间看作集合 A 中的元素，路程看作集合 B 中的元素，那么给定一个具体的时间，按照速度乘以时间等于路程的规则，就能唯一确定对应的路程。

这就是一个简单的函数关系。

再比如，在商店买东西时，商品的数量和总价之间也构成函数关系。

每种商品都有一个固定的单价，当确定了购买的数量，总价也就唯一确定了。

函数中的每一个输入值，也就是集合 A 中的元素，称为自变量；而通过函数关系得到的输出值，即集合 B 中的元素，称为因变量。

接下来，咱们谈谈函数的表示方法。

常见的有解析式法、列表法和图像法。

解析式法就是用数学式子来表示函数关系，比如 y ＝ 2x ＋ 1就是一个一次函数的解析式。

列表法呢，则是通过列出自变量和因变量的对应值来表示函数，像统计学生的考试成绩表就可以看作是一个函数的列表表示。

而图像法，就是我们今天要重点说一说的函数图像的绘制。

绘制函数图像的第一步是确定自变量的取值范围。

这要根据函数的实际情况来定，有些函数的自变量可以取任意实数，而有些则有一定的限制。

比如，在分式函数中，分母不能为零；在根式函数中，根号下的式子必须大于等于零。

确定好取值范围后，我们就可以选取一些有代表性的自变量的值，计算出相应的因变量的值，列出一个表格。

这些值选取得越多、越均匀，画出的图像就越准确。

然后，我们以自变量的值为横坐标，因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点。

函数的基本概念和图像特征函数是数学中一个非常重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。

理解函数的基本概念和图像特征对于我们解决数学问题、理解自然界的规律以及进行各种科学研究都具有极其重要的意义。

让我们先来谈谈函数的基本概念。

简单来说，函数就是一种特殊的对应关系。

想象有两个集合，比如集合 A 里装着各种输入值，集合 B 里装着对应的输出值。

如果对于集合 A 中的每一个元素，按照某种特定的规则，在集合 B 中都能找到唯一确定的元素与之对应，那么我们就说这构成了一个函数。

比如说，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x 。

这里的 x 就是输入值，当 x 取 1 时，通过“乘以2”这个规则，得到的输出值就是 2 ；当 x 取 2 时，输出值就是 4 。

每一个输入的 x ，都能通过这个规则得到唯一确定的输出值，这就是函数的本质。

函数通常用符号 f(x) 来表示，其中 x 被称为自变量，f(x) 被称为因变量。

自变量可以是任何数或者其他数学对象，而因变量则是根据自变量和函数规则计算出来的值。

函数的定义域和值域也是非常重要的概念。

定义域就是自变量可以取值的范围，比如在上面的函数 f(x) ＝ 2x 中，如果没有其他限制，定义域通常是所有实数。

值域则是因变量可能取得的值的范围。

对于这个简单的函数，因为可以取到任意实数作为自变量 x ，所以值域也是所有实数。

接下来，我们聊聊函数的图像特征。

函数的图像就像是函数的“照片”，它能够直观地展现函数的性质和特点。

以最简单的线性函数 y ＝ x 为例，它的图像是一条经过原点、斜率为 1 的直线。

这条直线一直向右上方延伸，表明随着 x 的增大，y 也随之增大，而且增大的速度是均匀的。

再看二次函数 y ＝ x²，它的图像是一条开口向上的抛物线。

当 x ＜0 时，函数值随着 x 的增大而减小；当 x ＞ 0 时，函数值随着 x 的增大而增大。

抛物线的最低点就是函数的最小值点。

函数类型及图像函数是数学中的一个重要概念，它具有许多不同的类型，比如线性函数、指数函数、根函数、分段函数和三角函数等。

每个函数类型都有其自身的特点和性质，并且可以通过图形的方式表示出来。

线性函数是指y=kx+b的结构，其中，k是斜率，b是截距，x和y是变量。

它的图像是一条直线，斜率表示这条线的倾斜程度，截距以原点（0，0）为准，表示这条线相对于原点的偏移量。

此外，线性函数的特点是当改变自变量时，其变化量是一致的。

经典线性函数举例：y=2x+1。

它的图像是一条斜率为2，且与原点偏移一个单位的直线。

指数函数是指y=b^x的结构，其中，b是指数，x为自变量，其中b的取值范围为0-1。

它的图像是一条开口向上的曲线，曲率表示该函数与x轴之间的关系。

指数函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增长的趋势。

经典指数函数举例：y=2^x,它的图像是一条斜率为2的开口向上的曲线，曲率为正，表示它们之间关系十分紧密。

根函数是指y=b√x的结构，其中，b为根数，x为自变量，其中b的取值范围为1-∞。

它的图像是一条开口向上的曲线，它的曲率可以表示该函数与x的关系。

根函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增加的趋势。

经典根函数举例：y=2√x，它的图像是一条开口向上的曲线，曲率为正，表示两者之间关系十分紧密。

分段函数是指将函数分为若干个段，每一段函数都有自己的公式，并以离散点表示其图象。

分段函数的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地将其表现为图象。

经典分段函数举例：y={0, x<0; 1/2x+1, 0≤x<2; 3x-2, x≥2}，它的图象是由两条直线和一段函数曲线拼接而成。

三角函数是指sin、cos、tan等函数，它们的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地表示为图象。

三角函数的图象是一条X轴为周期轴，Y轴为幅值轴的周期曲线。

它们的特点是，当改变自变量时，其变化趋势是周期性变化的。

高中数学教案：函数与图像的关系一、引言函数与图像的关系是高中数学学科中的重要内容之一。

通过研究函数与图像之间的关系，可以帮助学生更好地理解函数的性质及其在实际问题中的应用。

本教案将基于这一核心内容，通过分析函数与图像的关系，来帮助学生掌握相关的基本概念、性质和解题技巧。

二、函数与图像的基本概念1. 函数的定义函数是一个映射关系，将一个集合的每个元素（称为自变量）对应到另一个集合的元素（称为因变量）。

函数通常用符号表示，例如 y = f(x)。

其中 x 表示自变量，y 表示因变量，f(x) 表示函数关系。

2. 函数的图像函数的图像是表示函数关系的一种图形。

通常，将自变量 x 绘制在横轴上，而对应的因变量 y 绘制在纵轴上，通过连接各个点得到的曲线或者折线就是函数的图像。

函数的图像可以帮助我们直观地了解函数的性质和规律。

三、函数与图像的性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性。

若对于任意 x，有 f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；若对于任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

学生可以通过观察函数图像，判断函数的奇偶性，进而推导出函数关系。

2. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。

若对于任意 x1, x2 (x1 < x2)，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数在该区间内为增函数；若对于任意 x1, x2 (x1 < x2)，有 f(x1) ≥ f(x2)，则函数在该区间内为减函数。

学生可以通过观察函数图像的变化趋势，来确定函数的单调性。

3. 函数的周期性周期函数是指存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)。

学生可以通过观察函数图像的重复性质，判断函数是否具有周期性。

4. 函数的极值点函数的极值点是指函数在定义域内取得极大值或者极小值的点。

学生可以通过观察函数图像的“山顶”和“谷底”，找到函数的极值点，并计算出极值。

一次函数的概念与图像一次函数，也叫线性函数，是高中数学中的重要内容之一。

它的定义很简单：如果一个函数的定义域是所有实数，并且可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b是实数且a≠0，那么这个函数就是一次函数。

在这个文章中，我们将探讨一次函数的概念以及它的图像特征。

一、一次函数的定义与特征一次函数是代数学中的基本函数之一，它的定义可以用简洁的线性表达式来表示。

一次函数的一般式可以写为y = ax + b，其中a和b分别代表了斜率（或者说是直线的倾斜程度）以及截距（即在y轴上与x 轴的交点）。

在这个表达式中，x是自变量，y是因变量。

一次函数的特征有几个方面：1. 斜率：斜率a决定了一次函数图像的倾斜程度。

当a大于0时，函数图像是向上倾斜的；当a小于0时，图像则是向下倾斜的。

斜率的绝对值表示了单位横坐标上函数值的增长速度。

如果a=0，那么函数图像就是一条平行于x轴的直线。

2. 截距：截距b决定了函数图像与y轴的交点位置。

如果b=0，则函数图像经过原点；否则，函数图像将在y轴上上下平移，交点的纵坐标为b。

二、一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，就像我们在几何学中学到的那样。

根据斜率和截距的不同取值，我们可以得到不同形状的函数图像。

1. a>0时，斜率为正，函数图像呈现上升的趋势。

当斜率绝对值较大时，图像的斜度较大，表示函数值的增长速度快。

当斜率绝对值较小时，图像的斜度较小，表示函数值的增长速度慢。

当斜率为0时，函数图像将为一条平行于x轴的直线。

2. a<0时，斜率为负，函数图像呈现下降的趋势。

同样地，斜率绝对值的大小将决定图像的陡峭程度。

当斜率为0时，函数图像仍然是一条平行于x轴的直线。

3. b的取值将导致函数图像在y轴上上下平移。

具体来说，当b>0时，函数图像将在正半轴以上；当b<0时，图像则在负半轴以下；当b=0时，图像将经过原点，与y轴重合。

三、实例分析：y = 2x + 1我们以一次函数 y = 2x + 1 为例，来探讨具体的图像特征。

中学数学函数与几何图形关系一、引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间关系的学科。

其中，函数和几何图形是数学中重要的概念。

函数描述了两个变量之间的关系，而几何图形则研究了空间的形状和性质。

本文将探讨中学数学中函数与几何图形之间的关系以及应用。

二、函数与几何图形的基本概念1. 函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量（称为自变量）与另一个变量（称为因变量）之间的关系。

在数学中，函数通常用符号表示，例如f(x)或y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

函数可以用图表、方程或表格的形式表示，它可以是线性的、二次的、指数的、对数的等等。

2. 几何图形的基本概念几何图形是由点、线、面组成的空间形状。

常见的几何图形有直线、射线、线段、角、三角形、四边形、圆等。

几何图形的属性包括长度、面积、周长、角度等。

几何图形可以通过坐标系进行研究和描述，这涉及到函数和方程。

三、函数与直线的关系1. 常数函数与直线常数函数形如f(x) = c，其中c为常数。

当图像在坐标系中表示时，它是一条水平线，其斜率为0。

因此，常数函数与直线的关系十分紧密。

2. 一次函数与直线一次函数的标准形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

一次函数的图像为一条直线，它与数学中研究的直线有着密切的联系。

3. 函数与平行直线如果两条直线的斜率相等，则它们互相平行。

在函数的概念中，斜率可以看作是函数的特征之一。

因此，函数与平行直线的关系也是十分重要的。

四、函数与曲线的关系1. 二次函数与抛物线二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为一个抛物线。

通过调整参数a、b和c的值，可以得到不同形状的抛物线。

2. 指数函数与曲线指数函数的标准形式为y = a^x，其中a为底数且a > 0。

指数函数的图像为一条曲线，并且它们的增长速度随着自变量的增大而加快。

函数与其图像知识点总结函数与其图像是数学中常见的概念，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要意义。

在高中阶段，学生已经接触到了函数与其图像的相关知识，下面将从函数的定义、性质、图像绘制及应用等方面进行总结。

一、函数的定义1. 自变量和因变量函数是一个映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

通常情况下，自变量用x表示，因变量用y表示。

在函数中，自变量的取值范围我们称之为定义域，因变量的取值范围称之为值域。

2. 函数的定义函数的定义包括了自变量的定义域和因变量的值域，以及自变量和因变量之间的对应关系。

一般情况下，我们用符号y=f(x)表示函数的定义，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示因变量。

3. 函数的表示函数可以用表达式、图像、数据表等形式进行表示。

常见的函数表示形式包括解析式表示、图像表示、数据表示等。

二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量x的取值变化时，因变量y的取值是否满足某种对称性。

若对于任意x∈D，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若对于任意x∈D，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。

2. 单调性函数的单调性是指当自变量x的取值增大时，因变量y的取值是单调递增还是单调递减。

若对于任意x1 > x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意x1 > x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递减函数。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复性。

若存在正数T，使得对于任意x∈D，有f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。

4. 上下界函数的上下界是指函数在定义域内取值的最大值和最小值。

若存在常数M，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≤ M，则M称为函数f(x)的上界；若存在常数m，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≥ m，则m称为函数f(x)的下界。

§2.1.1函数的概念与图象（2）例1．求下列函数的定义域：（1）()f x x = （2）)(x f =x x -1（3）1()21f x x=+ （4）)(x f =+-x 5x -21 分析：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。

★注意定义域的表示可以是集合或区间。

例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-（1）求函数(1)f x +的定义域；（2）求函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域。

[课内练习]１．函数()1f x x x =-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞ Ｂ．()0,+∞ Ｃ．[0,)+∞ Ｄ．Ｒ２．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞ ３．函数()f x =()01x -的定义域是：４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是5．函数()()1log 143++--=x x x x f 的定义域是[归纳反思]１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；[巩固提高]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ]A ．[1-，1]B ．（),1[]1,+∞-∞-C ．[0，1]D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ]A ．[2,2-]B ．[]23,21-C ．[]3,1-D ．[,2-]23 3．函数01x y+=------------------------------------[ ]A ．{}0x x >B ．{}0x x <C ．{}0,1x x x <≠-D ．{}0,1x x x ≠≠- 4．函数y =xx 1+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 。