1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1．函数的极值与导数 （1）函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值.若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. （2）可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________.充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号. （3）函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=.当0()0f x '=时：①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________. 2．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 参考答案：1．（1）()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< （2）0()0f x '= （3）①极大值 ②极小值一、求函数的极值1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）.【解析】由题设知0a ≠，2()363()f x ax x ax x a'=-=-.令()0f x '=得0x =或2x a=.当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值. 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a ==--+极小值. 故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值.【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小.二、极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.【例2】122,3x x ==处取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【解析】（1）2()a x bx a f x x b x x ++'=++=，令2()0x bx af x x++'==， 根据题意，得 2，3是方程20x bx a ++=的两根， 则有235236b b a a +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨⨯==⎩⎩. 此时，21()6ln 52f x x x x =+-，经检验，()f x 在122,3x x ==处取得极值. （2）21()6ln 52f x x x x =+-， 则19(1)522f =-=-， 得9(1,)2P -.又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=.从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．三、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．【例3】已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值.【解析】由2()e 1xf x ax bx =---，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-. 因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--. 当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增. 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； 当e2a ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在区间[0,1]上单调递减. 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--； 当1e22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈. 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增. 于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--. 综上所述，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-；当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--；当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--. 【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值.（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个.四、最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值.【例4】 （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2()f x 的最小值是0，求实数a 的值． 【解析】（1）2211()a ax f x x x x-'=-+=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为(0,)+∞； 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为1(0,)a． （2）当1a ≤时，()f x 在1[,1]2上单调递减，则min ()(1)10f x f ==≠； 当2a ≥时， ()f x 在1[,1]2上单调递增，则min 11()()2ln022f x f a ==+=，解得22ln 2a =≥； 当12a <<时，()f x 在11[,]2a 上单调递减，在1[,1]a上单调递增，则min 11()()ln 0f x f a a aa==+=，解得e a =，舍去. 综上，得2ln 2a =． 【名师点睛】本题中的参数a 对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a 进行分类讨论.五、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．【例5】已知函数2()(1)exf x x -=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++，[0,1]x ∈.（1）求证：11()1x f x x-≤≤+； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）要证[0,1]x ∈时，2(1)e 1xx x -+≥-，只需证明(1)e (1)e x x x x -+≥-.记()(1)e(1)e xx h x x x -=+--，则()(e e )x x h x x -'=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈. 要证[0,1]x ∈，只需证明e 1x x ≥+， 记()e 1xK x x =--，则()e 1xK x '=-，当(0,1)x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x-≤≤+，[0,1]x ∈.（23112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-+++.设2()2cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x '=-， 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当(0,1)x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G ''<=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=， 从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+32cos 12x x ax x x x -=---+21(2cos )12x x a x x =-++++.记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++ 当(0,1)x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[0,1]上是减函数， 于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-. 解法二：先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则()sin F x x x '=-+， 记()sin G x x x =-+，则()cos 1G x x '=-+，当(0,1)x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-.综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-.因为当[0,1]x ∈3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，321112(1122x ax x x x -----+所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <.即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()a f x ≥或()a f x ≤的形式，然后利用导数求出函数()f x 的最值，则由max ()a f x ≥或min ()a f x ≤即可求出参数a 的取值范围.六、因未验根而致误【例6】已知3223()f x ax bx a x =+++在1x =-时有极值0，求常数a ，b 的值． 【错解】因为()f x 在1x =-时有极值0且2()36f x x ax b '=++，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩. 【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证1x =-两侧函数的单调性而导致产生增根． 【正解】因为()f x 在1x =-时有极值0，且2()36f x x ax b '=++.所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩. 当1a =，3b =时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥， 所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去．当2a =，9b =时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'． 当3()x ∈∞--，时，()f x 为增函数； 当3()1x ∈--，时，()f x 为减函数； 当1()x ∈-+∞，时，()f x 为增函数． 所以()f x 在1x =-时取得极小值， 因此2a =，9b =.【名师点睛】可导函数在0x x =处的导数为0是该函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0f x '=求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．设函数()e xf x x =，则A ．x ＝1为()f x 的极大值点B ．x ＝1为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f4．若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________. 5．若函数()cos (0)f x x ωω=>在区间ππ(,)34-上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是_________.6．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为_________.7．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.8．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R .（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值.9．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为A ．2[,)e+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．2(,)e+∞ 10．函数()()()321121132f x x b x b b x =-+++在()0,2内有极小值，则 A ．01b << B ．02b << C ．11b -<< D ．12b -<< 11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值.12．已知函数()eln 2x mf x x -=-.（1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.13．（2016·四川）已知a 为函数3()12f x x x -=的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．2 14．（2016·山东）设2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R . （1）令)(()x x g f '=，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.15．（2015·新课标全国Ⅱ）已知函数()ln (1)f x x a x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.1．D 【解析】由极值与最值的概念可知应选D.2．D 【解析】本题考查函数的极值点.由题意得e (())1xf x x '+=，令0()f x '>，得1x >-；令0()f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以1x =-为()f x 的极小值点.3．D 【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ．4．(3,1)- 【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<.5．(3,4] 【解析】()sin f x x ωω'=-，令()sin 0f x x ωω'=-=，得π,x k k ω=∈Z ，即π,k x k ω=∈Z ，又因为函数()cos (0)f x x ωω=>在区间ππ(,)34-上有且只有两个极值点，显然0k =时，0x =是一个极值点；又1k =时，πx ω=，1k =-时，πx ω=-，所以ππ4ππ3ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得34ω<≤.6．37- 【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，'()0f x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-. 7．【解析】2()33,()0,1,1f x x f x x x ''=-==-=令得或. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极大值，为(1)2f -=；当1x =时，()f x 有极小值，为(1)2f =-， 又39(3)18,()28f f -=-=-， 所以函数()f x 在3[3,]2-上的最大值为2，最小值为18-. 8．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x x'=-. （1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-， 故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. （2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值; ②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =.当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值.9．B 【解析】由题意得()()0f x g x ->在[1,e]上有解，即min 2ln 2ln 0,()x ax x a x ->>，设2ln xy x=，则22(1ln )0x y x -'=≥，因此当1x =时，min 2ln ()0xx=，则0a >.故选B ． 10．C 【解析】2()(21)(1)()()]1[f x x b x b b x b x b '=-+++=--+，令()0f x '=，得1x b x b ==+或，当x b <时，()0f x '>，函数是增函数；当1b x b <<+时，()0f x '<，函数是减函数；当1x b >+时，()0f x '>，函数是增函数，1x b ∴=+是极小值点，01211b b ∴<+<∴-<<，．故选C ． 11．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+.由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩.（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-.令()0f x '=，得122,2x x =-=.当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数.由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-.由题设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-，因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-.12． (0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1+)∞，上单调递增，故()f x 有极小值，为(1)1ln 2f =-． （2）因为2m ≤，所以2()eln 2e ln 2x mx f x x x --=-≥-，()g x '在(0,)+∞上单调递增，1(2)102g '=->0(1,2)x ∈.当0(0,)x x ∈时，()0g x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以02min 00()()eln 2x g x g x x -==-，又因为所以0022min 00()()e ln 2e x x g x g x x --==-=-001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>．13．D 【解析】2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在(2,2)-上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 14．【解析】（1）由()ln 22,f x x ax a '=-+可得()ln 22,(0,)g x x ax a x =-+∈+∞， 则112()2axg x a x x-'=-=， 当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，1(0,)2x a ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，1,2x a∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当0a >时，()g x 的单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a+∞. （2）由（1）知，(1)0f '=. ①当0a ≤时，()f x '单调递增.所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知()f x '在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，112a=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，1012a <<，当1(,1)2x a∈时，()0f x '>，()f x 单调递增, 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在x =1处取得极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 15．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=处取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-. 因此，1()22ln 10f a a a a>-⇔+-<.令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上是增函数，(1)0g =，于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此a 的取值范围是(0,1).。
