第七章测试题答案
一、填空（20分）
1、5
322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程；
2、与积分方程⎰
=
x x dx y x f y 0
),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0)
,(0
x x y y x f y ；
3、已知微分方程
02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不
是”）该微分方程的解；
4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，
21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的
解 （填“通解”或“解”）；
5、已知1=y 、x y =、2
x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(22
1+-+-=x C x C y ；
6、方程
054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.
7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *
+=；
8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；
9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*
y 形式为：b axe y x += ；
10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x
2sin 2cos e 221++。
二、（10分）求x x
y
y =+
'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式
)(1
1
C xdx e
e y x
dx
x +⎰⎰=⎰-
，
x
C x C dx x x +=+=
⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .
解：0=+'xy y
分离变量x x y y
d d 1
-=，
两边同时积分 C x y ln 2
ln 2
+-=，22
e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故2
22x e
y -
=
四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。 解：x y 6=''得123C x y +='，213C x C x y ++=， 又由32)0(,2)0(=
'-=y y 知，2,32
21-==C C ， 故曲线方程为23
2
3-+
=x x y 五、（15分）求齐次方程0)1(2)21(=-
++dy y
x
e dx e y
x y
x 的通解. 解：原方程可化为y
x y
x e
y x
e dy
dx 21)
1(2+--=，
令y x
u =
，则yu x =，dy
du y u dy dx +=.
原方程变为：u u e u e dy du y u 21)1(2+--=+即u u e u
e dy du y 212++-=. 分离变量，得y dy du u
e e u u -=++212
两边积分得：C y u e u
ln ln )2ln(+-=+
即y
C u e u
=
+2.
以y
x
代入上式中的u ，化简得方程的通解为： C x ye y
x
=+2.
六、（15分）求解初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==+''==0,10
1311
x x y y y y .
解：设p y ='，则dy
dp
p
y =''，代入方程得： 013
=+dy
dp
p y ，分离变量并积分，得：
C y p 2
1
212122+=-，即C y p +±=-2. 当1=x 时，,1=y 0=p ，得1-=C . 则12-±==
-y dx
dy
p . 分离变量并积分，得：2
11y C x --=+± 由11
==x y
，得11μ=C .
则2
1)1(y x --=-± 即2
2x x y -±= .
七、（15分）求方程
x y y y 2344-=+'+''的通解.
解：该方程对应的齐次方程的特征方程为
0452=++r r ，解得1,421-=-=r r
则x x e C e C Y --+=2
41. 由于0=λ
不是特征根，所以设*y 为b ax y +=*，
代入原方程，得：8
11
,21=-=b a .
所以8
1121*
+-
=x y . 该二阶常系数非齐次线性方程的通解为
8
11
21241*
+-+=+=--x e
C e
C y Y y x
x
.
