高等数学第七章微分方程试题及答案

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

第 1 页微 分 方 程第一节 微分方程的基本概念 1.填空题(1) 微分方程0)'('''242=++y y y x 的阶是 3 (2) 若xe B Ax y )(+=是微分方程xxe y y =-'2''的一个特解，则=A 1- ，=B 32．写出下列问题所确定的微分方程(1)已知曲线)(x f y =过点)1,1(，其上任意一点),(y x 处的切线的斜率为x x ln 2，求)(x f 满足的微分方程. ⎩⎨⎧==21)1(ln 'y xx y (2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.yy x x y -+=222'(2000题531)(3)设函数)(x f 在),1[+∞上连续，若由曲线)(x f y =，直线1=x ，tx =（1≥t ）与x 周所围平面图形绕x 轴旋转一周所称的旋转体的体积为].1)([3)(2-=t f t t v π求)(x f 所满足的微分方程..023'22=+-x yxy y （北大习题586）第二节 可分离变量方程1. 填空题(1) 微分方程y y x y ln sin '=满足初始条件e y x ==2π的特解是2tanx ey =(2) 微分方程 yx ey 2'+=的通解为C ee yx =+-22(3) 微分方程)2sin()2sin('y x y x y +=-+的通解是C x y y +=-2sin |cot csc |ln2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)0sin tan =-xdy ydx解 分离变量得xdxy ydy sin sin cos =两边积分得 '|2tan|ln |sin |ln C xy +=第 2 页故原方程的通解为 )(2tan sin 'C e C xC y ±== (2)0)()(=++-++dy e e dx e ey y x x yx解 两边除以 yx e+，并分离变量得11+=--x x y y e dxe e dy e两边分别积分得方程的通解为 C e e yx=-+)1)(1( (3)dy x y x y ydx x )1(22222+--= 分离变量得dy yy dx x x 222211-=+ 两边分别积分得微分方程的通解为C y y x x +-=-2ln arctan 2(4))'('2y y a xy y +=- 分离变量可得x a dxayy ey +=-2两边积分求得的通解为 C x a ay yln )ln(|1|ln ++=-，即有 )(1x a C ay y+=-. 第三节 齐 次 方 程1.填空题(1) 微分方程0)(=-+ydx dy y x 的通解是yx Ce y = (2)已知函数)(x y 满足微分方程xy y xy ln'=,且在1=x 时,2e y =,则1-=x 时， y 1-2.求解下列微分方程 (1)xyx y y tan '=-解 令 ux y =，则有xdxu du =tan 两边积分得 Cx u =sin原方程的通解为 Cx xy=sin(2)0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x第 3 页解 方程可化为 xy x y x y y 2132)('2---= 令 ux y =，则有 12)1(32---=-u u u dx du x 分离变量解之得 321-=--Cx u u 原方程的通解为 C x yx x y =--322(3)yx yx y ++-=34'解 另ux y =，则有1)2(2++-=u u dx du u 分离变量两端积分得 21)2(ln +-=+u u Cx 原方程的通解为02)2(ln =+++xy xx y C (4) 2)1('+-=y x y解 另 y x u -=，则方程化为)2(+-=u u dxdu分离变量两端积分得x Ce u u22-=+ 故原方程的通解为x Ce y x yx 22-=+--第四节 一阶线性方程 1. 选择题(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ） A ．ye yx y =+' B. y x y y =+2'C ．x y e xy x=+' D.2'⎪⎭⎫⎝⎛=+x y x y y(2)*下列为伯努利方程的是( B) A ．3)(y x dxdy+= B.2yx y x dy dx += C. 532y x y x dx dy y=+ D.3322y x y x dxdy=+ 2. 填空题(1) 0cos 2')1(2=-+-x xy y x 满足1)0(=y 的特解为11sin 2--=x x y (2)设x x e x f dt t f -=⎰)()(0，则=)(x f x e x )1(+3.求解下列微分方程第 4 页(1) 27)1(2')1(+=-+x y y x解 方程改写为 25)1(12'+=+-x y x y 由一阶线性微分方程通解公式，得])1([122512⎰+⎰+⎰=+-+--C dx ex ey dxx dx x])1(32[)1(232C x x +++= 即方程的通解为])1(32[)1(232C x x +++=(2)2y x y dx dy += 解 原方程可改写为y yxdy dx += 由一阶线性微分方程通解公式， )]([11C y y C yeex dy ydyy+=+⎰⎰=⎰---因此，方程的通解为 )(C y y x += (3)ydy ydx xdy ln 22=+解 上方程变形为yy x y dy dx ln 22=+ 由一阶线性微分方程通解公式，得)ln 2(22⎰+⎰⎰=-C dy e yy ex dyy dyy 221ln -+-=Cy y因此方程的通解为221ln -+-=Cy y x 4.求解下列微分方程(1)*xy y dxdyx2=+ 解 此方程为21=n 时的伯努立方程，两边除以y 可得到x y dxdyy x 2=+ 令 y z = 上方程化为xz x dx dz 121=+ 由一阶线性微分方程的通解公式得到)(1C x xz +=，因此，原方程的通解为 2)(1C x xy +=。

2016～2017学年第二学期科目: 高等数学(二) 第七章微分方程 单元测试题答案命题教师：吴淦洲 使用班级：全校16级理工本科一． 单项选择题（每小题2分，共16分）1． 选B 。

由二阶常系数微分方程可以知道其特征方程为2123201,2r r r r -+=⇒== 故B 是正确的。

2.选择B 由特征方程2210++=r r 解得特征根121==-r r ，所以对应齐次方程的通解为12()x Y c c x e -=+3．选C 。

该特征方程为：220rω+= ，故r i ω=±，所以xc x c y ωωsin cos 21+=正确。

4．选A 。

该方程是齐次方程，令y u x=，该方程可化为：du u x u dx +=，分离变量可以知道，故结论2y=(ln x +C)x y=0和正确。

5．选D 。

根据三阶微分方程的通解的定义，必含有三个独立的任意常数，用排除法即可知D 选项成立。

6．选B 。

该方程属于齐次方程，因为'ln y y y x x=。

7．选D 。

应该特征方程为：210r -=，所以1r =± ，右端中1λ=是特征方程的一个单根，且有个常数1，所以可设特解为x axe b +8．选B 。

由方程阶的定义可以知道B 正确。

9. 选C 该特征方程为：220r r --= 122,1r r ==-，故-1是特征方程的一个单根，所以x e B Ax x y -*+=)(是正确的 10. 选A 。

方程是可分离变量类型，分离变量后dy dx y=-⎰，积分可知A 正确。

11.选D. 特征方程是220rr +=，122,0r r =-=，0是该方程的一个单根，故特解可以设为y ax *= 二. 填空题(每小题2分，共14分，请把答案填在横线上)1．()()(())P x dx P x dx e Q x e dx c -⎰⎰+⎰由一阶线性微分方程的公式法可以写出答案，注意公式中的符号。

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是3阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解（填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x +=；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e e y x dx x +⎰⎰=⎰-，三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。

第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解 （填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e ey x dx x +⎰⎰=⎰-， xC x C dx x x +=+=⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y 分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分 C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。

大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。

掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。

以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。

题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

求解该微分方程。

解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。

首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。

将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。

题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。

求解该微分方程。

解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。

首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。

对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。

题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21a r c t a n l n (1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+l n (c s c c o ty C x x =- 三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 2222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u =-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2c o s d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+ 故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰== 令原方程的通解为sin ()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得s i n s i n ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+ 故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C e C e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得 321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰== 令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C-=-+ 故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111c o s 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰== 令原方程的通解为()x p C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒=1()d d d x x x x x x C x x e x x e e x x e e x e C------==-=-=--+⎰⎰⎰ 故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+ 即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y+= 即d d p y p y =-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1p y C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1t a n ()p x C =+ 1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。

高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。