高等数学第七章测试题(第7版)

习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。

2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4． 解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

第七章测试题答案一、填空（20分）1、是 3 阶微分方程；2、与积分方程等价的微分方程初值问题是；3、已知微分方程，则函数不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设和是二阶齐次线性方程的两个特解，为任意常数，则一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；5、已知、、是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：；6、方程的通解为.7、微分方程的特解可设为；8、以为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：；9、微分方程的特解形式为：；10、微分方程的通解：。

二、（10分）求的通解.解：由一阶线性微分方程的求解公式，三、（10分）求解初值问题.解：分离变量，两边同时积分，，又由，得，故四、（15分）曲线的方程为，已知在曲线上任意点处满足，且在曲线上的点处的曲线的切线方程为，求此曲线方程。

解：得，，又由知，，故曲线方程为五、（15分）求齐次方程的通解.解：原方程可化为，令，则，.原方程变为：即.分离变量，得两边积分得：即.以代入上式中的，化简得方程的通解为：.六、（15分）求解初值问题：.解：设，则，代入方程得：，分离变量并积分，得：，即.当时，，得.则.分离变量并积分，得：由，得.则即.七、（15分）求方程的通解.解：该方程对应的齐次方程的特征方程为，解得则.由于不是特征根，所以设为，代入原方程，得：.所以.该二阶常系数非齐次线性方程的通解为.。

高等数学测试（第七章）一. 选择题（每小题3分，共30分）：1.下列结论正确的是（ ）A.若||||a b >，则有a b >B.若非零向量{,,}a x y z =与xOy 面垂直，则0z =C.若a b a c ⋅=⋅，0a ≠，则b c =D.对于两个向量总有a b b a ⨯=-⨯2.设{1,1,1},{1,1,1}a b =-=--，则有（ ） A.//a b B.a b ⊥ C.π(,)3a b ∧= D. 2π(,)3a b ∧= 3.平面21x y -=的位置是（ ） A..与x 轴平行 B.与z 轴垂直 C.与xOy 面垂直 D. 与xOy 面平行4.直线2121x y y z +=⎧⎨+=⎩与直线11101x y z --==-的位置关系（ ）A.平行B.重合C.垂直D.既不平行也不垂直 5.直线32112x y z -+==-与平面10x y z --+=的位置关系式（ ） A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面内 D.平行6. 柱面20x z +=的母线平行于（ ） A.y 轴 B.x 轴 C.z 轴 D.zOx 面7．曲面2224z x y =+称为（ ）A.椭球面 B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.椭圆抛物面 8.在空间直角坐标系下，方程222199164x y z z ⎧++=⎪⎨⎪=⎩表示的是（ ）A.一条直线 B.一个点 C. 椭圆 D.两个圆 9.旋转曲面122222=--z y x 是( )A.xOy 面上的双曲线绕x 轴旋转所得B.xOz 面上的双曲线绕z 轴旋转所得C.xOy 面上的椭圆绕x 轴旋转所得D.xOz 面上的椭圆绕x 轴旋转所得 10.双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为( ) A. 143222=-+z y x B. 143222=+-z y x C. ()14322=-+z y x D. ()14322=+-z y x 二. 填空题（每空4分，共20分）：11. 点)1,3,2(-关于yOz 平面的对称点是 .12. 向量{}2,1,1=→a 与向量{}1,1,2-=→b 的夹角为 . 13. 向量→→→→-+=k j i a 43的模=→a .14. 由向量{}{}2,1,0,1,0,1=-=→→b a 为邻边构成的平行四边形的面积为 .15. 向量{}2,1,1-=→a 在向量{}4,3,0=→b 上的投影为 .三．计算题（每题10分，共50分）：16.写出⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 的对称式方程和参数方程.17.求过点(2,1,3)-与直线21101x y z -+==-垂直，又与平面430x y +=平行的直线方程.18.求过直线212524x y z -+-==且与平面4370x y z +-+=垂直的平面方程.19.求直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 与平面x z 3=的夹角ϕ.20.一直线过点()3,2,1A ，且与向量{}2,0,1-=→c 平行，求原点到该直线的距离d .答案：一. 选择题1—5 DACCD 6—10ADBAA二. 填空题11. ()31,2-- 12.3π 13. 26 14. 6 15. 1 三．计算题16.写出⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 的对称式方程和参数方程. 【解析】取直线的方向向量{}3,1,4312111--=-=→→→→kj i s .当0=x 时，⎩⎨⎧=++-=++04301z y z y 即⎪⎩⎪⎨⎧-==4541z y ，则直线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,41,0，故直线的对称式方程为3451414+=--=z y x ，参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==t z t y t x 345414（t 为参数）. 17.求过点(2,1,3)-与直线21101x y z -+==-垂直，又与平面430x y +=平行的直线方程. 【解析】有题意可知：所求直线与已知直线和平面的法向量都垂直， 取直线的方向向量为{}1013,4,3430i j ks =-=-，所求直线方程为213343x y z -+-==-. 18.求过直线212524x y z -+-==且与平面4370x y z +-+=垂直的平面方程. 【解析】直线212524x y z -+-==的方向向量为{5,2,4}s =； 平面4370x y z +-+=的法向量为1{1,4,3}n =-； 由题意可知，所求平面的法向量n 与1,s n 都垂直，取{}114322,19,18524i j kn n s =⨯=-=--，取直线上点(2,1,2)-；故所求平面方程为22(2)19(1)18(2)0x y z --+--=，即221918270x y z ---=.19.求直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 与平面x z 3=的夹角ϕ.【解析】直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 的方向向量为{}2,2,1102012=--=→→→→k j i s ，平面x z 3=的法向量为{}1,0,3-=→n . 所以3010sin 222222=++++++=C B A p n m pCnB mA ϕ，故3010arcsin =ϕ. 20.一直线过点()3,2,1A ，且与向量{}2,0,1-=→c 平行，求原点到该直线的距离d .【解析】由直线的点向式方程可知，直线方程为230211-=-=--z y x ，即得直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==-=t z y t x 2321， 过原点与该直线垂直的平面方程为02=+-z x ，把直线方程代入可得1-=t ，则直线与平面的交点()1,2,2B ，而OB 之间的距离就是原点到该直线的距离.所以原点到该直线的距离3=d .。

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是3阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解（填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x +=；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e e y x dx x +⎰⎰=⎰-，三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解 因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 （1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解 因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 （1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明 因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解 （1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解 （1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

第七章高等数学试题及答案第七章空间解析几何与向量代数1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。

解因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a ,) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a .2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。

解点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。

解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c .4．若4=r，它与轴u 的夹角为3π，求r 在轴u 上的投影。

解22143c o s ||j Pr =?=?=πr r u .5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

解设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以及和21M M 方向一致的单位向量。

第七章微分方程一、填空题1、曲线上点(,)x y 处的切线斜率为该点纵坐标的平方，则此曲线的方程是_____y x C=-+1。

2、曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是______ x y C 22-=。

3、一质点沿直线运动，已知在时间t 时加速度为t 21-，开始时()t =0速度为13，则速度与时间t 的函数关系式是________ V t t =-+13133。

4、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 y x C =+133。

5、一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +，则曲线方程是______ y e x x=--21()。

6、微分方程e y ax "=1（a 是非零常数）的通解是 ______y ae C x C a x =++-1212。

7、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''=y 0。

8、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'=y y 0。

9、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cos sin =+y C kx C kx ，其中C C 12,为独立的任意常数，k 为常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''+=y k y 20。

10、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C e x x =+-12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-=y y 0。

11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x e x=+()12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'+=y y y 20。

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解 （填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e ey x dx x +⎰⎰=⎰-， xC x C dx x x +=+=⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y 分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分 C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。

高等数学下册第七章习题答案详解1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：()123A ，，；()2,3,4B -； 2,3,4C --（）； D 3,4,0（）；()0,4,3E ；3,0,0F （）. 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.3. 对于x 轴上的点，其坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答：x 轴上的点，y =z =0;y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.4. 求下列各对点之间的距离： (1) (000)，，，(234)，，； (2) (000)，，，(23,4)--，； (3) (2,3,4)--，() 1,0,3； (4) (4,2,3)-，(2,1,3)-.解：（1）22223429s =++=(2) 2222(3)(4)29s =+-+-=(3) 222(12)(03)(34)67s =++-++=(4) 222(24)(12)(33)35s =--+++-=5. 求点(4,3,5)-到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+=222(44)(30)(50)34x s =-+--+-=2224(33)541y s =+-++=2224(3)(55)5z s =+-+-=.6. 在z 轴上求一点，使该点与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离. 解：设此点为M （0，0，z ），则222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--解得 149z =即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证:以三点(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.习题7-21. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图12. 设2,3=-+=-+-u a b c v a b c .试用a,b,c 表示23-u v . 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c3.把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为1234,,,D D D D ，再把各分点与A 连接，试以,AB BC ==c a 表示向量123,,A D A D A D 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a4. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=5. 一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在三坐标轴上的投影依次是4，－4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0). 6. 一向量的起点是1(4,0,5)P ，终点是2(7,1,3)P ，试求: (1) 12P P 在各坐标轴上的投影； (2) 12P P 的模；(3) 12P P 的方向余弦； (4) 12P P 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==- (2) 22212(74)(10)(35)14PP =-+-+-=(3) 123cos 14x a PP α==121cos 14y a PP β==122cos 14z a PP γ-==(4) 120123{}141414141414PP PP ===-e j . 7. 三个力123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)=---F F F 同时作用于一点，求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R cos cos cos 212121αβγ=== 8. 求出向量,235=++=-+a i j k b i j k 和22=--+c i j k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量,,a b c .解：222||1113=++=a222||2(3)538=+-+=b222||(2)(1)23=-+-+=c3, 38, 3. a b c ===a e b e c e9. 设358,247,54,=++=--=+-m i j k n i j k p i j k 求向量43=+-a m n p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 10. 已知单位向量a 与x 轴正向夹角为π3，与其在xOy 平面上的投影向量的夹角为π4.试求向量a .22223===34411cos cos cos 1cos ,cos ,42112112,,.222222a πππαγγαβγββ++===±⎧⎧⎪⎪±-±⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭由已知得单位向量的分向量：，或由知从而所求向量为，，或11. 已知两点12(2,5,3),(3,2,5)M M --，点M 在线段12M M 上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 12. 已知点P 到点(0012)A ，，的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+122226570cos 6, 749z z z x y z γ==⇒==++ 又122222190cos 2, 749xx x x y z α==⇒==++ 122223285cos 3, 749y y y x y z β==⇒==++ 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 13. 已知,a b 的夹角2π3ϕ=，且3=a ， 4=b ，计算: (1) ⋅a b ；(2) (32)(2)-⋅+a b a b .解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b14. 已知(4,2,4),(6,3,2)=-=-a b ，计算:(1) ⋅a b ； (2) (23)()-⋅+a b a b ；(3) 2-a b .解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15. 已知32,2=+-=-+a i j k b i j k ， 求: (1) ⨯a b ； (2) 27⨯a b ；(3) 72⨯b a ； (4) ⨯a a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .16 已知向量a 和b 互相垂直，且3,4==a b ， 计算： (1) ()()+⨯-a b a b ；(2) (3)(2)+⨯-a b a b .解：（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 习题7-31. 求过点(41,2)，-，且与平面32611x y z -+=平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.2. 求过点0(1,7,3)M -，且与连接坐标原点到点0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=03. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 4. 求过(1,1,-1),(2,-2,2)-和(1,-1,2)三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) 0y =； (2) 310x -=； (3) 2360x y --=； (4) 0x y -=； (5) 2340x y z -+=.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图3)图2 图3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图6）.图4 图5 图66. 通过两点(1,1,1)和(2,2,2)作垂直于平面0x y z +-=的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.7. 求通过下列两已知点的直线方程： (1)()1,2,1,(3,1,1)--；(2) (3,1,0),(1,0,3)--.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 8. 求直线234035210x x z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数式方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩9. 决定参数k 的值，使平面29x ky z +-=适合下列条件： (1) 经过点(5,4,6)－；(2) 与平面230x y z -+=成π4的角. 解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.（2） 两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||42514k k θ⋅-====+⋅n n n n 解得70k =±10. 确定下列方程中的l 和m ：(1) 平面2350x ly z ＋＋－＝和平面620mx y z --+=平行； (2) 平面3530x y lz -+-=和平面3250x y z +++=垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n11. 通过点(11,1)，－作垂直于两平面10x y z -+-=和210x y z +++=的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =012. 求平行于平面375x y z -+=，且垂直于向量2i j k －＋的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则1(52).30n =±+-e i j k 13. 求下列直线的夹角： (1) 533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；(2) 2314123x y z ---==-和38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩.解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 12126cos 0.2064135785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 14. 求下列直线与平面的交点： (1) 11,2310126x y zx y z -+==++-=-；(2)213,2260232x y z x y z +--==+-+= 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 15. 求点(121)，，到平面22100x y z ++-=的距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为222122()()()1333d =++= 即为点到平面的距离.习题7-41. 建立以点(13-2)，，为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2. 一动点离点(20-3)，，的距离与离点(4-6,6)，的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.3. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：(1)2222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （a 为正常数）(2)22149x y -+=；(3)22194x z +=；(4)20y z －＝； (5)220x y －＝；(6)220x y ＋＝.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图8.图7 图8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图10.图9 图10 （5）母线平行于z轴的两平面，如图11.（6）z轴，如图12.图11 图124. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：(1)222149y zx++=；(2)22369436x y z+-=；(3)222149y zx--=；(4)2221149y zx+-=；(5)22209zx y+-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图14.图13 图14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图15.(4) 单叶双曲面，如图16.图15 图16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图17.图175. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1)2222x y z a ＋＋＝与()0,02az z a ==>为常数； (2)4x y z =＋＋，0,1,0,2x x y y ====及0z =； (3)24,0,0,0z x x y z =-===及24x y +=； (4)226,0,0,0z x y x y z =-+===（）及1x y +=. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图18，19，20， 1所示.图18 图19图20 图216. 求下列曲面和直线的交点：(1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-； (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.7. 设有一圆，它的中心在z 轴上、半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.8. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面2x =； (2) 平面0y =； (3) 平面5y =； (4) 平面2z =.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.9. 求曲线2222222,x y z a x y z ＋＋＝＋＝在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩10. 建立曲线22,1x y z z x ＋＝＝＋在xOy 平面上的投影方程. 以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题七1.填空题：（1）过(0,1,0)且与平面1x y z -+=平行的平面方程为1x y z -+=-（2）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离（3）原点关于平面6291210x y z +-+=的对称点是 （-12，-4，18） 。

第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

《高等数学》单元自测题第七章 空间解析几何专业 班级 姓名 学号一、填空题：1． 已知向量a 与b 垂直,且5||=a ，12||=b ，则=+||b a ,=-||b a .2．设向量{}{}1,1,2,1,2,1--==OB OA ,则=⋅OB OA ,=⨯OB OA ,=∠AOB cos .3．已知点)3,1,2(),5,0,4(B A ,则与AB 同向的单位向量为 . 4．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直,则k = . 5．过点)1,2,3(--和点)5,4,5(的直线方程为 . 6．点)2,3,1(到平面0322=+-+z y x 的距离为 .7．母线平行于z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++22222214zy x z y x 的柱面方程是 .8．球面042222=+-++y x z y x 的球心为 ,半径为 . 二、单项选择题： 1．若两直线634123-=+=-z y x 与22251-+=+=-k z y x 平行,则k= . (A)2； (B)3； (C)4； (D)5.2．设平面方程为0=++D Cz Bx ,且0≠BCD ,则平面 . (Ａ)平行于x 轴； (Ｂ)平行于y 轴； (Ｃ)经过y 轴； (Ｄ)垂直于y 轴.3．过点)1,1,2(-且与平面0132=+-+z y x 垂直的直线方程为 .(A)111322-+=-=-z y x ； (B)111322--=+=+z y x ； (C)113122-+=-=-z y x ； (D)113122--=+=+z y x . 4．设三向量c b,a,的模分别为3,6,7,且满足0c b a =++，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅ = . (Ａ)45； (Ｂ)－47； (Ｃ)42； (Ｄ)－43.5．方程16422=+y x 所表示的空间曲面的名称为 . (Ａ)椭球面；(Ｂ)球面；(Ｃ)椭圆抛物面；(Ｄ)柱面.三、解答题：1．已知向量}1,0,1{-=a ，}1,2,2{-=b ，求)()23(b a b a +⨯-．2．设b a m +=2，b a n +=k ，其中1||=a ，2||=b ，且b a ⊥，求数k ，使得n m ⊥．3．设有点)0,1,2(A 和)2,3,2(-B ,求线段AB 的垂直平分面方程.4．已知点)1,3,2(A ,)1,4,5(-B ,)3,2,6(-C ,)1,2,5(-D ,求通过点A 且垂直于B 、C 、D 所确定的平面的直线方程.5．用点向式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=--+012530432z y x z y x .6．求直线3931211-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点坐标.《高等数学》单元自测题第八章 多元函数微分学专业 班级 姓名 学号一、填空题1.设 xyz 3=, 则=∂∂xz____________. 2.设 221),(y x y x f +=，则=)3,1(y f __________________.3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则=∂∂xz_________________. 4.设 xe y z sin =,则=∂∂∂yx z2__________________. 5.设 )1ln(2122y x z ++=,则=)1,1(dz ______________. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分dy y ax dx xy dz 2232+=,则常数=a _________________.7.函数343y xy x z ++=在A(1,2)处沿从A 到B(2,1)方向的方向导数等于____________. 8.函数zx yz xy u ++=在点(1,2,3)处的梯度=∇)3,2,1(u _________________. 二、选择题1.设,0,0,0,),(222222=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 则).(y x f 在点(0,0)处( ). (A)连续,但偏导数不存在; (B)不连续,但偏导数存在; (C)连续,且偏导数存在; (D)不连续,且偏导数不存在.2.设=z ln ),2(yxe e -则=∂∂)0,0(22x z( ).(A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数,则=∂∂xz( ). (A) ;'3'2'2'1F F F F -- (B ;'3'2'1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;'3'2'1'3F F F F -- 4.函数yx yx z -+=的全微分=dz ( )．(A)2)()(2y x ydy xdx --； (B)2)()(2y x xdx ydy --； (C)2)()(2y x xdy ydx --； (D)2)()(2y x ydx xdy --5．函数233xy xy x z +-=在点M(1,2)处沿}3,11{=l方向的方向导数( )．(A)最大； (B)最小； (C)等于１； (D)等于０．6．在曲线32,,t z t y t x ===的所有切线中与平面02=++z y x 平行的切线( ).(A)只有一条; (B)只有两条; (C)至少有三条; (D)不存在. 7. 函数23242),(y y xy x y x f +--=有( )个驻点.(A) 1; (B) 2; (C) 3 ; (D) 4. 8. 对于函数22y x z -=,原点(0,0)( ).(A)是驻点但不是极值点; (B)不是驻点; (C)是极大值点; (D)是极小值点. 三.解答题 1.设)ln(22y x x z ++=,求x z ∂∂,yz ∂∂.2.求 x y z arctan = 的二阶偏导数y x zx z ∂∂∂∂∂222,及22yz ∂∂.3.设方程02223=-++z z y x 确定z 是y x ,的函数, 求xz ∂∂. 4.设vu e z 2-=，而y x v x y u cos ,sin ==，求yz x z ∂∂∂∂,.5.设),(xyxy f z =,f 具有连续的二阶偏导数,求x z ∂∂,y x z ∂∂∂2.6.求函数 x y x y x y x f 933),(2233-++-= 的极值.7.求球面 14222=++z y x 在点 )3,2,1( 处的切平面和法线方程.8.要做一个容积为32m 的无盖长方体水箱,问怎样选取长,宽,高,才能使得用料最省.《高等数学》单元自测题第九章 重积分专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知积分区域10,10:≤≤≤≤y x D ，则二重积分=+⎰⎰Dd y x σ)(__________________.2．交换二次积分的积分次序=⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10__________________________.3．已知积分区域)0(:2222b a b y x a D <<≤+≤，则将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为极坐标形式的二次积分为___________________________.4．已知区域10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则三重积分=++⎰⎰⎰Ωdv z y x )32(___________________.5．由224y x z --=与xOy 坐标面所围成的立体Ω的体积V ＝_______________.二、选择题：1．已知区域D 是由直线1=+y x 与x 轴、y 轴所围成的闭区域，则二重积分=⎰⎰Ddxdy( ). (A)41； （B ）21； (C ）1； (D ）2. 2． 已知积分区域D 是由1,==x x y 和x 轴围成，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（ ）.(A)⎰⎰1010),(dy y x f dx ； (B)⎰⎰110),(x dy y x f dx ；(C )⎰⎰xdy y x f dx 010),(； (D)⎰⎰y dx y x f dy 010),(.3．已知⎰⎰+=Dd y xf I σ)(22，其中1:22≤+y x D ，则=I ( ).（A ）dr r rf ⎰102)(； （B ）dr r rf ⎰12)(2π；（C ）dr r f ⎰102)(； （D ）dr r f ⎰12)(2π.4． 已知积分区域Ω：41222≤++≤z y x ，则将三重积分⎰⎰⎰Ω++dv z y xf )(222化为球坐标系下的累次积分为( ). (A) dr r f d d ⎰⎰⎰21220)(ππϕθ； (B)dr r f d d ⎰⎰⎰212020)(sin ππϕϕθ；(C)dr r r f d d ⎰⎰⎰212020)(sin ππϕϕθ； (D) dr r r f d d 2212020)(sin ⎰⎰⎰ππϕϕθ.三、计算下列二重积分：1．计算σd y xD⎰⎰32，其中积分区域D 是由曲线x y x y ==,1与直线4=x 围成的闭区域.2．计算dxdy e Dy ⎰⎰2，其中积分区域D 是由直线x y =,1=y 及y 轴所围成的闭区域. 3．计算 dxdy y x D⎰⎰+22，其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.4．计算⎰⎰+Dy x d e σ22，其中积分区域D 是由122≤+y x 所确定的圆形域.四、计算下列三重积分：1．计算三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz x 2,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.2． 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域.五、求由平面0,1==y x 与柱面2x y =所围成的柱体被平面0=z 及抛物面224y x z --=所截得的立体的体积.《高等数学》单元自测题第十章 曲线积分与曲面积分专业 班级 姓名 学号一、计算下列曲线积分： 1. 设L 为单位圆周的上半部分,求⎰+Ly x ds e22.2. 计算⎰Lxyds ,其中L 为由x 轴,单位圆,y 轴围成第一象限扇形的整个边界.3. 计算ds z y x ⎰Γ++2221,其中Γ是螺线t z t y t x 3,s i n2,c o s 2===的第一圈（π20≤≤t ）.4. 计算xydy dx y L+⎰,其中L 为(1)上半圆周21x y -=上从点)0,1(到点)0,1(-的一段弧;(2)从点)0,1(到点)0,1(-的直线段;(3)先沿直线从)0,1(到)1,0(再沿直线到)0,1(-的折线.5. 利用格林公式计算dy x y x dx y x L)3()3(2+++⎰,其中L 是由曲线2x y =及x y =2所围成区域的正向边界.6. 证明曲线积分⎰+++Ldy x y x dx y x xy )()3(3222在整个xoy 平面上与路经无关,并计算⎰+++)4,3()2,1(3222)()3(dy x y x dx y x xy 的值.二、计算下列曲面积分1. 计算dS y x ⎰⎰∑+)(22，其中∑是抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的区域的整个边界曲面.2. 计算ydzdx xdydz zdxdy ⎰⎰∑++,其中∑是长方体,10,10|),,{(≤≤≤≤=Ωy x z y x}10≤≤z 整个表面的外侧.3. 利用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++,其中∑为球面1222=++z y x 的外侧.《高等数学》单元自测题第十一章 无穷级数专业 班级 姓名 学号一、选择题：1、若极限lim 0n n u →∞≠， 则级数1nn u∞=∑( ) .(A) 收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 绝对收敛. 2、下列级数发散的是 （ ） (A)nn n 1)1(11∑∞=--； (B) )111()1(11++-∑∞=-n n n n ； (C) nn n1)1(1∑∞=-；(D))1(1n n ∑∞=-. 3、下列级数绝对收敛的是（ ） (A)∑∞=-2)1(n nnn； (B)nn n 1)1(21∑∞=--； (C) ∑∞=-2ln )1(n nn ； (D) ∑∞=--2321)1(n n n.4、下列级数收敛的是（ ）(A) ∑∞=+1)1ln(1n n ； (B)∑∞=+-1)1ln()1(n nn ； (C) ∑∞=+-112)1(n nn n； (D) ∑∞=+112n n n. 5、下列级数中条件收敛的是（ ）(A) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；(B)∑∞=--11)1(n n n； (C)∑∞=-+-1112)1(n n n n；(D) ∑∞=--13151)1(n n n.6、如果级数1nn u∞=∑收敛，则下列结论不成立的是（ ）(A) lim 0n n u →∞= ； (B)1nn u∞=∑ 收敛；(C)1(nn kuk ∞=∑为常数）收敛； (D)2121()n n n uu ∞-=+∑ 收敛.7、交错级数11(1)(1)n n n n ∞-=-+-∑（ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性不能判定. 8、设幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处收敛，则在1x =-处（ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性不能判定.9、函数22()x f x x e =在(,)-∞+∞内展成x 的幂级数是（ ）(A) 211(1)(21)!n n n x n -∞=--∑； (B)21!n n x n +∞=∑； (C) 2(1)1!n n x n +∞=∑ ； (D) 21!nn x n ∞=∑. 二、填空题：1、函数211x +的幂级数展开式是____ ____.2、幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑在(1,1]-上的和函数是_______ ____. 3、幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域为___ ________. 4、函数()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为0()(0),0x f x k kx ππ-≤<⎧=≠⎨≤<⎩则()f x 的傅立叶级数的和函数在x π=处的值为______ _____.三、判断以下正项级数收敛或发散：（要写出详细的判断过程） 1．∑∞=+121n nn 2．()∑∞=++1332n n n n3．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1134．()∑∞=-+121n nnn四、判断以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛：（要写出详细的判断过程） 1．()∑∞=---11121n n n n2． ++-+++-14413312221222五、求下列幂级数的收敛半径和收敛域 1. ∑∞=13n n n x n2．()∑∞=-11n n nnn x ；3．∑∞=1!n n x n .六、 将函数()x x f 2-=，()ππ≤≤-x 在区间[]ππ,-上展开为傅里叶级数.七、 将函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=lx l x l l x x x f 2,20,分别展开成正弦级数和余弦级数.高等数学（一）综合测试I一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，则下列结论正确的是（ ）.(A) 若()x f 可积，则()x f 一定有界. (B) 若()x f 连续，则()x f 一定可导. (C) 若()x f 有界，则()x f 一定连续. (D) 若()x f 可积，则()x f 一定可微. 2. 下列结论正确的是（ ）. (A) 若()0lim x x f x A →=, 则()0lim x x f x A →=.(B) 可导函数的极值点一定是驻点.(C) 若0''()0f x =，则点00(,())x f x 一定是曲线()y f x =的拐点. (D) 一切初等函数在定义区间内部都可导. 3.下列求导运算错误的是（ ）.(A)0()()x d f t dt f x dx =⎰; (B) 33311xd tdt x dx -+=-⎰; (C) 1(ln8)'x x=; (D) 22()'x x e e =.4. 微分方程2''1x y y e -=+的特解形式为（其中,a b 为常数）（ ）. (A) 2xaxebx +； (B) 2x axe b +； (C)2x ae b +； (D) 2x ae bx +.5. 设0()lim2x f x x →=，则0sin 2lim (3)x xf x →=（ ）.(A)23; (B) 32; (C) 13; (D) 3.6. 设0'()f x 存在，则000()()lim2h f x h f x h h→--+=-（ ）. (A) 0'()f x ; (B)02'()f x ; (C) 0'()f x -; (D) 02'()f x -.7. 设函数arctan ,0ln(1)()0,01sin ,0xx x f x x x x x ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪<⎪⎩，则点x =0是函数)(x f 的（ ）.(A) 第二类间断点; (B) 第一类间断点; (C) 连续但不可导点; (D)可导点. 8. 设()x f x dx xe C -=+⎰，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）.(A) (,1]-∞; (B) [1,)+∞; (C) (,2]-∞; (D) [2,)+∞.9.下列反常积分错误的是（ ）. (A)41113dx x +∞=⎰； (B) 211dx x π+∞-∞=+⎰；(C)1110dx x -=⎰；(D)1111dx x-=⎰. 10. 设函数1,0(),0xx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则（ ）. (A) 0lim ()x f x →不存在；(B) 0lim ()x f x →存在， 但()f x 在点0x =处不连续；(C) ()f x 在点0x =处连续，但不可导； (D) ()f x 在点0x =处可导，且'(0)1f =.二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1. 3ln(1)lim(1)x x x +→+= .2.设3232x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则dydx = . 3. 设))ln(cot(x y =，则函数的微分dy ＝ . 4. ()xf x e -=的5阶麦克劳林公式为xe-= .5.一阶线性微分方程 'xy y e -=的通解为 .三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）1. 求不定积分211sec tan 2ln 212x x x e dx x x ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭⎰.2. 设函数)(x y y =由方程tan y x y =+确定，求dxdy .3. 求极限011lim sin 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.4.求不定积分21815x dx x x --+⎰.5.求定积分31ln e x xdx ⎰.6. 求微分方程''3'20y y y -+=的通解和在初值条件001,'2x x y y ====下的特解.四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1.求由抛物线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.2.设函数()f x 和()g x 都在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=.高等数学（一）综合测试II一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1、 当0→x 时，下列函数（ ）不是其它函数的等价无穷小．（A ）2sin x ； （B ）2cos 1x -； （C ）)1ln(2x +； （D ）)1(-x e x ．2、 已知极限0)2(lim 2=++∞→kn nn n ，则常数=k （ ） （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 3、 设)(x f 在点0x 可导，则下列说法错误的是（ ） (A))(lim 0x f x x →存在； (B))(x f 在点0x 连续；(C) )(x f 在点0x 可微； (D) )(x f 在点0x 取得极值，．4、 设)(x ϕ在点0=x 处连续,且0)0(=ϕ,若)(||)(x x x f ϕ=,则)(x f 在0=x 点处（ ） （A ）不连续； （B ）连续但不可导； （C ）可导，且)0()0(ϕ'='f ； （D ）可导，且)0()0(ϕ='f ．5、 曲线314--=x y 的拐点是（ ）（A ）)4,1(； （B ）)3,2(； （C ）)2,9(； （D ）)5,0(． 6、 若函数x2为)(x f 的一个原函数，则函数=)(x f （ ）.（A ） 12-x x ; （B ） 1211++x x ; （C ） 2ln 2x; （D ） 2ln 2x . 7、 设C e dx x f x +=⎰2)(，则下列说法正确的是（ ）．（A ）)(x f 在),(+∞-∞内单调增加； （B ）)(x f 在),(+∞-∞内单调减少； （C ）)(x f 在),0[+∞上单调增加； （D ）)(x f 在),0[+∞上单调减少． 8、 设连续函数)(x f 满足：⎰+=102)()(dt t f x x x f ，则)(x f =（ ）（A ）234x x +； （B ）243x x +； （C ）232x x +； （D ）223x x +． 9、 下列反常积分中收敛的是（ ） （A ）⎰∞+11dx x ；（B ）⎰∞+1321dx x；（C ）⎰-102)1(1dx x ；（D ）⎰-212x dx ．10、曲线221x y =上相应于x 从0到1的一段弧的长度为 （ ） （A ）)]12ln(2[21++；（B ）221；（C ）)12ln(21+；（D ）)12ln(2++．二：填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1．=-→xx x 30)21(lim ________________．2．设函数⎩⎨⎧≥+<=0),ln(0,sin )(x x b x x a x f 在点0=x 处可导，则=a _________,=b _________.3．设x x y ln 2=，则函数的微分=dy ________________．4．xxe x f =)(的n 阶麦克劳林公式为_________________________________________． 5．微分方程212y x dxdy-=的通解为________________．三：计算下列各题（本大题共 6 小题，每小题 10分，共 60分） 1. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 1sin 1lim 0．2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求dx dy ．3. ⎰--+dx x x x 272．4. 求⎰+102)1ln(dx x ．5. 求由曲线2y x =及直线x y =所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.6. 求微分方程xxe y y 2='+''的通解．四：证明题（本大题共 1 小题，每小题 10分，共 10 分） 设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0)(>x f ，证明方程x x e x dt t f )1()(0-=⎰在区间)1,0(内有且仅有一个实根．高等数学（一）综合测试III一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．下列广义积分结果正确的是（ ）．A. ⎰-=1101dx x ；B.⎰--=11221dx x ；C.⎰∞++∞=141dx x ；D. ⎰∞++∞=11dx x．2. 下列求导运算正确的是（ ）．A. ()x x xcos 2sin 2='；B. ()[]()00x f x f '='；C. ()xxee cos cos ='；D. ()xx 15ln ='． 3. 设()x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是（ ）．A. 若()x f 可导，则()x f 一定连续；B. 若()x f 可微，则()x f 一定可导；C. 若()x f 不连续，则()x f 一定不可导；D. 若()x f 可微，则()x f 不一定可导． 4. 下列等式正确的是( )． A.()()()x f dx x f ='⎰； B. ()()⎰=x f x df ；C. ()()()x f dx x f d=⎰； D. ()()⎰='x f dx x f ．5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 处的切线方程为（ ）. A. 73-=x y ；B. 33-=x y ；C. 31931+=x y ；D. 3731+=x y ． 6. 设()x f 在点a x =处可导，则()()=--+→hh a f h a f h 2lim 0（ ）． A. ()a f '3；B. ()a f '2；C. ()a f '；D. ()a f '31．7. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin 2x a x xe x xf ax 在点0=x 处连续，则=a （ ）． A. 1； B. 0；C. e ；D. 1-．8、设123,,y y y 都是微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，且≠--3231y y y y 常数，则该微分方程的通解为 ( ) .(A)1122123(1).y C y C y C C y =++-- (B)1122123();y C y C y C C y =+-+ (C)1122123(1);y C y C y C C y =+--- (D)11223;y C y C y y =++9. 设()x f 在点0=x 的某个邻域内可导，且()2cos 1lim0=-→xx f x ，则点0=x （ ）． A. 是()x f 的极小值点； B. 是()x f 的极大值点；C. 不是()x f 的极值点；D. 是()x f 的驻点，但不是极值点．10. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且可导，如果⎰+=102)()(dt t f xx x f ，则=')(x f ( ) .A. x 231+；B. 223x x +；C. 243x x +；D. 4232x x +．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1. 1)1sin(lim 21--→x x x ＝ ．2. 微分方程y y x y ln ='满足初始条件e y x ==1的特解为 .3. 设函数⎰+=xdt t y 02)1cos(，则微分=dy ．4.⎰-++1121sin 2dx x x＝ ．5. 由曲线2x y =，直线1=x 及x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积=V ___ _．三、 计算题（本大题共 3 小题，共 30 分）1. 设)(x f y =是由方程e xy e y x +=+所确定的隐函数，求dxdy.2. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→x xx 11ln arctan 2limπ.3. 求函数()313x x x f -=的单调区间、极值点、凹凸区间以及函数曲线上的拐点.四．计算下列积分（本大题共 3 小题，共 30 分）1. 求不定积分⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅-+dx x e x x x x x 111cot csc 122.2． 求不定积分⎰-dx x 113 .3． 求定积分⎰10dx e x .五． 证明题（本大题共 2 小题，共 10 分） 1. 当0>x 时, ()x x x arctan )1ln(1>++.2. 设函数()x f 与()x g 在],[b a 上连续.证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使得 ()()()()⎰⎰=ba dx x f g dx x g f ξξξξ.高等数学（二）综合测试I一.填空题(本大题8小题,每小题3分,共24分)1.设,333},3,2,1{k j i b a -+==则b a ⋅=__________.2.过点)3,2,1(0M 且与直线31321zy x =+=-垂直的平面方程是___________________. 3.函数22y x ez +=的全微分dz =____________________.4.函数232y xy x z ++=在点A(1,1)处沿A 到B(3,3)的方向导数是__________________.5.交换二次积分次序dx y x f dy yy⎰⎰2),(1=________________________________.6.设L 是圆122=+y x 的上半圆周,⎰Lds 2 =____________________.7.设Ω是由圆柱面122=+y x ,及平面0=z ,1=z 所围成,将三重积分dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(化为柱坐标系下的三次积分是_________________________________.8.展开函数=)(x f 2x e 的x 的幂级数是___________________________________.二.单选题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)1.下列曲面中,为旋转曲面是( )(A) 1=++z y x (B) 1222222=++cz b y a x (c b a ,,彼此不等)(C) )(2122y x z +=(D) 2x y = 2.已知区域D:4122≤+≤y x ,则⎰⎰=+Dy x dxdy e 22( )(A))(24e e -π(B) )(4e e -π(C) -e π (D) 4e π 3.下列级数中收敛的是( ) (A)∑∞=1cos n n (B) ∑∞=-1)1(n n(C) ∑∞=-11)1(n nn (D)∑∞=11n n4.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是( )(A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) [-1,1) (D) (-1,1]三.解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）1.求曲面022=-+z y x 在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程.2..设 02=-yz x e z ,求yz x z ∂∂∂∂,.3. 设),ln(xy x z =,求yx zx z ∂∂∂∂∂2,.4.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.5.应用格林公式计算曲线积分:dy y dx x xy L22)2(+-⎰,其中L 是由曲线2x y =及x y =2所围成的区域的边界(逆时针方向).6.利用高斯公式计算曲面积分:⎰⎰∑++zdxdy y ydzdx xdydz xz 222,其中∑是球体1222=++z y x 的表面的外侧.四.证明题（8分）验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z .高等数学（二）综合测试II一.填空题(本大题10小题,每小题3分,共30分)1.设a ={3,-1,-2},b =k j i -+,则_______=⋅b a . 2.过点)3,2,1(0M 且与直线32211zy x =+=-垂直的平面方程是__________________. 3.函数=z xye 在点(1,1)的全微分___________________=dz . 4.函数z y x z y x f +-=22),,(在点)0,1,1(0-P 的梯度=-)0,1,1(gradf ________________. 5.交换二次积分的积分次序=⎰⎰dx y x f dy y y 2202),(_________________.6.将三重积分dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(变换为柱坐标系下的三重积分为___________________.7.设L 是以O 为心,R 为半径的上半圆周,则=+⎰ds y x L22)(_______.8.曲线积分⎰+LQdy Pdx 在区域G 内与路径无关的充分必要条件是____________________. 9.将函数xx f -=21)(展开为关于(1-x )的幂级数是____________________. 10.若)(x f 是以π2为周期的周期函数,则)(x f 的傅里叶级数中的傅里叶系数.______2=a二.单选题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)1.设)(xyf z =,则下列等式正确的是( ).(A) 2)(x y x y f z x '=; (B) 2)(x yx y f z x '-=;(C) 21)(x x y f z y '=; (D) 21)(xx y f z y '-=.2.下列级数中绝对收敛的是( )(A) ∑∞=-11)1(n nn ; (B)∑∞=-1)1(n n;(C)∑∞=-11)1(n nn; (D)∑∞=-11)1(n nnn .3.函数xyz z xy u -+=32在(1,1,1)点处方向导数最大值是( ). (A)5; (B) 5; (C) 25; (D)51.4.已知dxdy y x f I D ⎰⎰+=)(22,其中1:22≤+y x D ,则=I ( ).(A)rdr r f ⎰102)(; (B) rdr r f ⎰102)(2π; (C)dr r f ⎰102)(; (D) dr r f ⎰12)(2π.5.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是( ).(A) [-1,1]; (B) (-1,1]; (C) [-1,1); (D) (-1,1).三.解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分)1.设函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求yz x z ∂∂∂∂,.2.设),(y x xy f z +=,其中),(v u f 具有二阶连续偏导数,求yx zx z ∂∂∂∂∂2,.3.计算二重积分⎰⎰Ddxdy yx2,其中D 是由曲线x y x y ==,1与直线4=x 围成.4.计算曲面积分dS y x z ⎰⎰∑++)(,其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.四.应用题(10分)求函数y x y x y x f 22),(22--+=的极值.五.证明题(10分) 证明曲线积分⎰++Lx ydy x dx xy e 22)(在xoy 平面上与路径无关,并计算.)(2)3,2()1,1(2ydy x dx xy e x ++⎰高等数学（二）综合测试III一：填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1、 抛物线2x y =和x y =2所围成平面图形的面积为________________．2、 设),(y x f z =是由方程02222=-++xyz z y x 所确定的隐函数，则=∂∂xz _________． 3、 函数)ln(22y x z +=在点)1,1(处方向导数的最大值为_______________．4、 旋转抛物面22y x z +=在点)2,1,1(处的切平面方程为_______________．5、 设⎰⎰=220),(x dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I _______________． 6、 设L 是圆周222a y x =+（0>a ），则=+⎰L ds y x )(22_______________．7、 设L 是椭圆12222=+by a x （0>a ，0>b ）正向一周，则=-⎰L ydx xdy _________． 二：选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1．设221ln y x z ++=，则=)1,1(dz （ ）（A ）dy dx +； （B ）)(3dy dx +； （C ）)(21dy dx +； （D ）)(31dy dx +． 2．设),(yx x f z =，其中f 具有连续的偏导数，则=∂∂x z （ ） （A ）21f x f '+'； （B ）211f y f '+'； （C ）21f y x f '+'； （D ）221f y x f '-'． 3．如果⎰⎰⎰⎰-=θππθθθcos 022)sin ,cos (),(a D rdr r r f d dxdy y x f ，则积分区域D 为（ ）（A ）ax y x ≤+22（0>a ）； （B ）ax y x ≤+22（0<a ）；（C ）ay y x ≤+22（0>a ）； （D ）ay y x ≤+22（0<a ）．4．设Ω是上半球体2222a z y x ≤++（0≥z ），则下列积分不为零的是（ ）（A ）⎰⎰⎰Ωxdv ； （B ）⎰⎰⎰Ωydv ； （C ）⎰⎰⎰Ωzdv ； （D ）⎰⎰⎰Ωxyzdv ．5．下列级数中条件收敛的是（ ） （A ）∑∞=-+-111)1(n n n n ； （B ）∑∞=--1211)1(n n n ； （C ）∑∞=--1311)1(n n n； （D ）∑∞=--111)1(n n n ．三：计算题（本大题共 5 小题，共 59 分）1．求函数x y x y y x f 43),(223+--=的极值．2．求二重积分⎰⎰D d x x σsin ，其中D 是由抛物线2x y =和直线x y =所围成的闭区域．3．求对弧长的曲线积分⎰+=L y x ds e I 22，其中L 是222a y x =+（0>a ）在第一象限与x 轴、y 轴所围的区域的整个边界．4．将函数651)(2+-=x x x f 展开成x 的幂级数，并指出其收敛域．5．求曲面∑：)(2122y x z +=在0=z 与2=z 之间部分的面积．四：证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1．设函数)(r g 有二阶导数，且)(),(r g y x f =，22y x r +=， 证明：)()(12222r g r g r yf x f ''+'=∂∂+∂∂（其中)0,0(),(≠y x ）．2．设y xe y x P 21),(+=，y e x y x Q y -=22),(，(1) 证明曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(与路径无关；(2) 求沿上半圆1)1(22=+-y x 从点)0,0(O 到点)0,2(A 的曲线积分⎰+)0,2()0,0(),(),(dy y x Q dx y x P ．。

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。

目　录第一部分　考研真题精选第1章　函数与极限第2章　导数与微分第3章　微分中值定理与导数的应用第4章　不定积分第5章　定积分第6章　定积分的应用第7章　微分方程第二部分　章节题库第1章　函数与极限第2章　导数与微分第3章　微分中值定理与导数的应用第4章　不定积分第5章　定积分第6章　定积分的应用第7章　微分方程第一部分　考研真题精选第1章　函数与极限一、选择题1若，则f（x）第二类间断点的个数为（ ）。

[数二、数三2020研] A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。

因为存在，故x＝0为可去间断点；因，故x＝1为第2类间断点；因，故x＝－1为第2类间断点；因，故x＝2为第2类间断点；综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。

2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（ ）。

[数一2019研]A．1B．2C．3D．4【答案】Ctanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－【解析】tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。

3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（ ）。

[数三2019研] A．（－∞，－4）B．（4，＋∞）C．{－4，4}D．（－4，4）【答案】D【解析】方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。

令f（x）＝x5－5x，则f（x）在R上连续，且f′（x）＝5x4－5，再令f′（x）＝0，得x＝±1，通过分析f′（x）在稳定点x＝±1左右两侧的符号，可知当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。