不定积分的概念.ppt

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不定积分的概念及其性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

1
1
x4
dx
x2(1
x
2
dx )
1 x4
dx
[
1 x2
1
1 x2
]dx
1 x3 x1 arctan x C 3
例7.
2
3x
3x
5
2
x
dx；
解：
2
3x
3x
5
2
x
dx
2
dx
5
(
2 ) x dx 3
2x 5 (2 / 3)x C ln(2 / 3)
例8. 设函数 f ( x) 定义于 (0, ) 上，并且满足
积分号
原函数存在定理：如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x),使 x I ,都有 F ( x) f ( x).
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx.
解
x6 x5 , x5dx x6 C .
6
6
例2
求
1
1 x
2
dx.
解
arctan
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，f ( x)的全部原函数称为 f ( x) 的不定积分(indefinite integral)，记作： f ( x)dx 若 f ( x) 存在原函数，也称 f ( x) 可积。
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,

高数—不定积分讲解和例题-PPT (1)

课外作业
习 4 — 1（A）（） 1（双）（习 4 — 1（B）（） 1（5，6，7，11），（，，，），），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数，是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲，从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。数等因素，一般不检验。所以注重积分过程的正确性是至关重要的。关重要的。即每一步运算都要看能否还原到上一步。上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理：同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例：求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的，切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线倍的一条曲线。切线斜率等于该点横坐标倍的一条曲线。解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。为一簇积分曲线。

不定积分的概念与性质ppt课件

例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a