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定积分的概念ppt8 北师大版

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《定积分的概念》ppt课件

《定积分的概念》ppt课件

f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������

定积分的概念课件北师大选修

定积分的概念课件北师大选修

x^(n+1)+C等。
02
换元法
通过换元法将复杂的积分转化为简单的积分，如令t=√x，则
dt=1/(2√x) dx。
03
分部积分法
通过分部积分法将两个函数的乘积的积分转化为一个函数的积分和一个
函数的微分的和，如∫x*sin x dx=∫x*d(-cos x)=x*cos x-∫cos x dx。
2023
体积计算
总结词
定积分在体积计算中也有着重要的应用，可以用来计算旋转体的体积。
详细描述
通过将旋转体的边界曲线在平面上进行分割，并利用定积分计算每个小曲边柱体的体积，然后将这些 体积求和，即可得到整个旋转体的体积。例如，利用定积分可以计算球体的体积，即将球体分割成若 干个小球体，每个小球体近似为圆柱体，然后计算所有小圆柱体的体积的总和。
变速直线运动的路程
总结词
定积分还可以用来计算变速直线运动的 路程。
VS
详细描述
变速直线运动的路程可以通过对速度函数 进行定积分来得到。具体来说，先对速度 函数进行积分，得到位移函数，然后再对 位移函数进行定积分，即可得到变速直线 运动的路程。例如，如果速度函数为 v(t)=t^2，则位移函数为 s(t)=∫v(t)dt=t^3/3，最后对s(t)进行定 积分得到总路程为t^4/12。
具之一，可以用 于解决各种实际问题，如物理、工程、经济 等领域的建模问题。
数值计算
定积分在数值计算中也有广泛的应用，例如在计算 物理实验的数据处理、数值天气预报等领域中都有 重要的应用。
科学计算
在科学计算中，定积分可以用于解决各种复 杂的数学问题，如求解偏微分方程、积分方 程等。
换元法
在计算定积分时，有时可以通过换元法简化计算，即通过变量替换将复杂的积分区间变 换为简单的区间，或者将复杂的被积函数变换为容易积分的函数。

优课系列高中数学北师大版选修22 41定积分的概念 课件(17张)[可修改版ppt]

优课系列高中数学北师大版选修22 41定积分的概念 课件(17张)[可修改版ppt]

记作
b a
f
(x)dx
c
a即
f
(xa)bdfx(xcb)dfx(x=)dA xac。f
(
积分号
x 积分变量 a 积分下限
f (x) 被积函数
b
积分上限
二、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
优课系列高中数学北师大 版选修22 41定积分的概念
课件（17张）
复习巩固
曲边 梯形面积 变速 物体走过的路程 变力 做功
思路：
先求近似值
再提高精确度
步骤：
分割---近似代替----求和
----取极限
一.定积分的定义
y
yf (x)
一般地，给定在区间[a, b]的函数y = f (x)，将区
间[a, b]分成 n 份，分点为：
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
5
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
1
2dx ;
(2)
2
xdx ;
(3)
1
1 x2 dx
0
1
1
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
-1
o
1x
1 1 x2 dx
-1
2
练习
用图形表示下列定积分：
(1) 1 x2dx 0

定积分的概念课件

定积分的概念课件

区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。

《定积分的概念》课件

《定积分的概念》课件

定积分的微元法
微元法原理
微元法是将被积函数分成若干个微小的元素， 每个元素的贡献可以表示为微小面积与微元函 数值的乘积。
微元法应用
微元法可以用于计算定积分的瑕积分、曲线积 分、曲面积分等，是微积分中的常见方法。
定积分的瑕积分
1
定义
瑕积分是所要求解的曲边梯形面积存在间断点、奇点或无穷处时的积分。
2
定积分的数值解法
1
梯形法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照梯形形状进行大概估算。可以用于求解较为 简单的问题。 Nhomakorabea2
辛普森法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照二次曲线形状进行更加精确的估算，具有高 精度和较高的运算成本。
3
数值微积分
通过使用数值微积分方法，如泰勒展开、拉格朗日、牛顿-科茨等方法，求解定积分的 数值解。
定积分的概念
欢迎来到本课程！本节课将介绍定积分的概念和相关知识点。
什么是定积分
数学定义
定积分是求曲边梯形面积的极限值，也是区间上的面积和，是微积分的重要概念。
直观理解
定积分描述了一个函数在区间上的累积变化，可以用于求面积、体积、平均数等问题。
定积分的意义和应用
意义
定积分是微积分的基础，让我们可以精确求解 函数的变化量。
矢量场定义
路径无关性可以通过矢量场的定义进行证明，该 定义称为黎曼条件。
保守场定义
保守场是指通量积分对于路径没有依赖性，可以 用来描述物理中的力场、磁场等。
定积分的曲面积分
定义
曲面积分是对曲面上的函数进行积分，通常应 用于流量、面积、压力等问题。
算法
可使用高斯公式、斯托克斯公式等方法求解。
定积分的环量积分

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件北师大版选修2_2

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件北师大版选修2_2
§4.1 定积分的概念
学 习 目 标 思 1.了解 曲边梯形的面 积求法. 2.理解 “分割、近似代 替、求和、取极限” 的数学思想. 3.掌握 定积分的概念, 并会用定义求定积 分. 4.理解 定积分的几何 意义和定积分的基本 性质.
维
脉 络
1.曲边梯形及其面积的求法 曲线y=f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的平面图形叫曲边梯 形.求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S的方法是:①分割;②近 似代替;③求面积的和;④逼近. 2.定积分的背景 面积问题、路程问题以及做功问题3个问题,一般通过分割自变 量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值也就 越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不 足估计值都趋于要求的值.
2.定义中区间的分法和ξi的取法是任意的.
【做一做1】 把区间[1,3]等分成n份,所得n个小区间的长度均为 ( )

A.
1 ������
B.
2 ������
C.
解析:区间的总长度为
答案:B
2 2,则每个区间的长度为 . ������
3 ������
D.
1 2������
【做一做2】 汽车以v=v(t)在[0,t]内作直线运动,经过的路程为s, 则下列叙述正确的是( ) A.将[0,t]等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的不足估计值 B.将[0,t]等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的过剩估计值 C.将[0,t]等分n份,n越大,求出的路程近似替代s的精确度越高 D.将[0,t]等分n份,当n很大时,求出的路程就是s的准确值 解析:当n越大时,分割成的小区间长越小,则求出的路程近似替代 s的精确度越高. 答案:C

【高中课件】高二数学北师大版选修224.1 定积分的概念课件ppt.pptx

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5.对于定积分的性质 4 可以用图(2)直观地表示出来,即 S 曲边梯形 AMNB=S 曲 +S . 边梯形 AMPC 曲边梯形 CPNB
图(2)
1.解决面积问题、路程问题及做功问题的过程有什么相似点? 剖析:面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题,但是 它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩 估计值和不足估计值都趋于要求的值. 2.用定义求定积分的一般步骤是什么? 剖析:(1)分割:将区间[a,b]分成n等份; (2)近似代替:取一点ξi(或ζi),ξi∈[xi-1,xi](或ζi∈[xi-1,xi]); (3)求和:S或s; (4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0时,S和s的差也趋于0时,S与s同时趋于某 一个固定的常数A,A就是所求的定积分.
3.性质 2 的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘 积.
123
4.性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立.性质 4 对于把区间[a,b]分 成有限个(两个以上)区间也成立.求 f(x)在区间[a,b]上的定积分,可通过求 f(x)在区间[a,c]与[c,b]上的定积分去实现,其中[a,b]=[a,c]∪[c,b].
123
说明
1.
������ ������
1dx
表示的是曲线
f(x)=1
与直线
x=a,x=b
及
x
轴围成的矩形的
面积,显然其面积为
b-a,故
������ ������
1dx=b-a,如图(1)所示.
图(1) 2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区间的可

定积分的概念.ppt

定积分的概念.ppt
课题：
定积分的概念
定积分的概念
▼ 曲 边 梯 形 面 积 ▼ 定 积 分 的 定 义
▼ 定 积 分 的 几 何 意 义
▼ 课 堂 练 习
引例：

曲边梯形面积
设函数f（x）在区间[a，b]（a〈b）上非负且连续， 由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴围成的图形为曲 边梯形，如图所示。其中曲线弧y=f（x）称为曲边，线 段ab称为底边。 问题：如何计算曲边梯 形的面积呢？
分析过程：
曲边梯形的面积取决于区间[a，b]及定义在这个区间 上的函数f（x）。 f（x）是区间[a，b]上的连续函数，当x变化不大时， f（x）的变化也不大。 将区间[a，b]分割成许多小 区间，相应地将曲边梯形分割成 许多小曲边梯形。每个小曲边梯 形可以近似的看成小矩形。 所有小矩形的面积和就是整 个曲边梯形的面积。 将区间[a，b]无限细分使每 个小曲边梯形的底边长都趋向于 零时，小矩形的面积之和的极限， 就是所求的曲边梯形的面积。
定积分的几何意义
如果函数f（x）在[a，b] 上连续且f（x）≥0时，那么定 积分∫ f（x）dx就表示以y=f （x）为曲边的曲边梯形面积。 定积分∫ f（x）dx的数 值在几何上都可以用曲边 梯形面积的代数和来表示。
练习：
用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。

定积分的概念-PPT精选

定积分的概念-PPT精选
b
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
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1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
这些图形的面积该怎样计算？
例题（阿基米德问题）：求由抛物线 y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面 积．
y
问题1：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？ 问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 x 何启示？
i 1 i 取f x x 在区间 , 上任意一点i处的值f i n n 作为近似值，都有
2
S lim
x 0 i 1
n
1 1 f i x lim f i . n 3 i 1 n
n
一般地，对于曲边梯形，我们也可采用 分割 近似代替 求和 取极限
2
i 1 i 1 v 2 做匀速直线运动， n n
2
即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是用小矩形 的面积 Si 近似地代替 Si ，则有
2 1 i 1 i 1 Si Si v t 2 n n n
（4）取极限
当分割无限变细，即Δ x → 0(亦即n → +∞)时， 1 1 1 1 S = lim 1 - 1 = n→∞ 3 n 2n 3 1 即所求曲边梯形的面积为 . 3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势 区间[0,1]的等分数n
2
4 8 16 32
的方法，求其面积.
探究点2
汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s´(t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么 求路程？
s=vt 直接求出
v
思考 3：如果汽车做 变速直线运动， 在时 刻 t 的速度为 v(t)= － t2+2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢？
f(a)
a b
如何求曲边梯 形的面积？
O
x
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
探究点1 曲边梯形的面积
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
y=x2
方案1
方案2
方案3
O
1
x
S的近似值Sn
0.125 000 00
0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09
64
128 256
0.325 561 52
0.329 437 26 0.331 382 75
512
1024 2048 …
0.332 357 41
0.332 845 21 0.333 089 23 …
i-1 1 n i-1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 3 [0 1 22 (n 1) 2 ] n
n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 (1 )(1 ) 3 n 2n
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.（重点） 2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. （难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲x) f(b)
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
解题思想
“细分割、近似和、渐逼近”
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ], n n n n n n n
每个区间长度为
i i 1 1 x n n n 过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形，它 们的面积分别记作
S1, S2 , , Si , , Sn .
S Si
i 1 n
（2） 近似代替
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
n
(i=1,2,…,n)
（3）求和
S S1 S2 Sn Si ,
i 1
2
g gg
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v (t )
D Sj
t2
n
2
gD S
O
1 2 3 j n-1 n n n n n
1
t
解： （1）分割 在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个分点， 将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n 1 0 , ， , ，… ， ,1 记第 i 个区间为 n n n n i i 1 1 i 1 i , (i 1, 2 , , n) ，其长度为 t n n n n n 1 1 2 n 1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，…， n n n n 驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
显然， S Si
i 1 n
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间 i 1 i 2 上，可以认为函数 , v t t 2 的值变化很 n n 小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于左端
i 1 i 1 i 1 点 处的函数值 v 2 ，从物理意义 n n n i 1 i , (i 1, 2 , , n) 上的速 看，就是汽车在时间段 n n i 1 度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n