定积分的概念与性质

§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。

注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。

5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。

注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。

一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。

然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。

当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。

二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。

其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。

几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。

例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。

根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。

分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。

通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。

换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。

假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。

通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。

三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。

在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。

它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。

选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。

这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。

2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。

这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。

3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。

这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。

三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。

下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。

例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。

2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。

这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。

定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。

本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。

一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。

定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。

设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。

我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。

二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。

4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。

5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例设()y f x =在区间[],a b 非负、连续．由直线x a =、x b =、0y =及曲线()y f x =所围成的图形（如图所示）称为曲边梯形．在区间[],a b 中插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -它们的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，则可按下式近似计算曲边梯形的面积A ：()()()()11221.nn n i i i A f x f x f x f x ξξξξ=≈∆+∆++∆=∆∑如记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，则 ()01lim .ni i i A f x λξ→==∆∑二、定积分的定义定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入1n -若干个分点 0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作和()1.ni i i S f x ξ==∆∑记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，如果当0λ→时，和S 的极限总存在，且闭区间[],a b 的分法及点i ξ的取法无关，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即()()01lim ,nbiiai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰ 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在[],a b 上的定积分存在，那么就说()f x 在[],a b 上可积．定理1 设()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积．定理2 设()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 定积分的几何意义．在[],a b 上()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在[],a b 上()0f x ≤时，定积分()baf x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数．在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去下方图形面积所得之差．习题5-13.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）121xdx =⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分12xdx ⎰表示由直线2y x =、1x =及x 轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即12 1.xdx =⎰（2）4π=⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分⎰表示的是由曲线y x 周、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有.4π=⎰（3）sin 0xdx ππ-=⎰；证 由于函数sin y x =在区间[]0,π上非负，在区间[],0π-上非正．根据定积分的几何意义，定积分sin xdx ππ-⎰表示曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形1D 的面积减去曲线[]()sin ,0y x x π=∈-与x 轴所围成的图形2D 的面积，显然图形1D 与2D 的面积是相等的，因此sin 0.xdx ππ-=⎰（4）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰．证 由于函数cos y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上非负．根据定积分的几何意义，定积分cos xdxππ-⎰表示曲线c o s 0,2y x xπ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴所围成的图形1D 的面积加上曲线cos ,02y x x π⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴和y 轴所围成的图形2D 的面积，而图形1D 的面积和图形2D 的面积显然相等，因此2202cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰⎰。