圆中最值域定值问题研究
类型一、
例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______
1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______
2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________
类型二、折叠隐圆
【基本原理】（一箭穿心）
点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1
例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．
1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B （0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______
2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____
类型三、随动位似隐圆
例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是
边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点
F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________
[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取
AB中点G，则FG为中位线，FG=1
2
AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
思路2：倍长BC到B’，则CF为△B’D’B的中位线，CF=1
2
B’D’,当B’D’最大时，CF也取最大
值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。
【方法归纳】○1、如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点⇒点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1中点。○2、构造中位线
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D是AC的中点，M是BD的中点，将线段AD绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是_______
2、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为________
类型四、定性分析——垂线段最短
例、如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_______________
【分析】：思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC面积取最大值，则使△CPD面积取最小即可，△CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点P到CD距离最小。C、D、O为定点，则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长，由勾逆知OC⊥CD，设点P到CD距离为h，则h+r≥OC，∴h≥OC-r，即当O、P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故OC与圆O交点即为所求点P。
思路2：P点的确定也可以这样想，平移CD，设平移后的直线为m，则直线m与CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线m与圆O相切时，高h有最小值。
1、如图，P为圆O内一个定点，A为圆O上一个动点，射线AP,AO分别与圆O交于B，C 两点，若圆O的半径为3，OP=3，则弦BC的最大值为________
2、如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为___________
类型五、定弦定角
【基本原理】
如图1\⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
图1 图2
例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度，请在图中画出点C 的运动轨迹，简要说明作图步骤
步骤1、___________________________________________________
步骤2、___________________________________________________
练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角∠AOB=__________
2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C 的运动轨迹,
【实战应用】
例、如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_______________
1、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE⊥AD于E，则CE的最小值为___________
2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________
类型六、定弦定角——反客为主
例、如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______
【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的
