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一元二次方程(全章共21课教案)人教版

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第十二章一元二次方程

第1课一元二次方程

一、 教学目的

1 •使学生理解并能够掌握整式方程的定义.

2 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义.

3 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.

二、 教学重点、难点

重点：一元二次方程的定义.

难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.

三、 教学过程

复习提问

1. 什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2. 指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？

(l) 3x+4=l ; (2)6x-5y=7 ;

-70^ + 825 = 0；

3. 结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”.

引入新课

1. 方程的分类：

通过上面的复习，引导学生答出：

学过的几类方程是

(I)—元一次方程£ 3x +4 = 1* = 5)

⑵二元二次方程：6s -5y = 7,年-专=0;

* 4 5 3

〔3)分式方程* 1 --- ---- 0; ?+ ------ = 4； y y -* 2

没学过的方程是

2 x -70x+825=0 , x(x+5)=150 .

这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程.”而在整式方程中， “只含

有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”

据此得出复习中学生未学过的方程是

____ 2

⑷一元二次方程：x-70x+825=0 , x(x+5)=150 .

同时指导学生把学过的方程分为两大类：

〔整式方程; |分式方桎. (7)x(z + 5) = ISO, 2•—元二次方程的一般形式

注意引导学生考虑方程

2 x -70x+825=0

2

和方程 x(x+5)=150，即 x +5x=150,

可化为：x +5x-150=0 •

从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

2

ax +bx+c=O(a 丰 0)

的形式•并称之为一元二次方程的一般形式•强调，其中 ax , bx, c分别称为二次项、

一次项、常数项；a, b分别称为二次项系数、一次项系数•要特别注意：二次项系数 a是

不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0,不再是二次方程了 ); b, c可为任意实数.

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式.并写出它的二次项系数、 一次项系数及常

数项.

讲解例题

课堂练习 P5-6 1 、2

课堂小结

判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数； 判别一元一次方程，一元

二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次.

2•一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最 高次数是2,则这样的整式方程称一元二次方程. 其一般形式是ax2+bx+c=0(a工0),其中b,

c均可为任意实数，而 a不能等于零.

作业：教材中相关习题.

第2课一元二次方程的解法(一)

一、 教学目的

1 •使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程.

2•引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、 归纳出解一元二次方程 ax2+c=0(a >0, c

v 0)的方法.

二、 教学重点、难点

重点：准确地求出方程的根.

难点：正确地表示方程的两个根.

三、 教学过程

复习过程

回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据.

求下列各式中的x：

2 2 2 2

1. x =225; 2 . x -169=0 ; 3. 36x =49; 4 . 4x -25=0 .

回答解题过程中的依据. 1.方程分为两大类: 方程 整式方桂;

分式方程. 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.

即一般地，如果一个数的平方等于 a(a > 0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反

数.

引入新课

我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课

例1解方程x 2-4=0 .

解：先移项，得x2=4.

■ = ±

即 xi=2, X2=-2 .

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

例2解方程(x+3) 2=2.

讲解例2

练习：P7 1、2

小结

1. 本节主要学习了简单的一元二次方程的解法一一直接法.

2

2. 直接法适用于 ax +c=0(a > 0, c v 0)型的一元二次方程.

作业：习题12.1A组1、2

第3课一元二次方程的解法(二)

一、 教学目的

1•使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法.

2•使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些 一元二次方程•并由此体会转化的思想.

二、 教学重点、难点

重点：掌握配方的法则.

难点：凑配的方法与技巧.

三、 教学过程

复习过程

用开平方法解下列方程：

2 2

(1) x =441; ⑵ 196x -49=0;

引入新课

我们知道，形如X2-A=0的方程，可变形为 x2=A(A> 0)，再根据平方根的意义，用直接 开平方法求解.那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a > 0)的一类方程，化为上述形式求解呢? 这正是我们这节课要解决的问题.

新课

我们研究方程X2+6X+7=0的解法：

2 2 2 2 2

将方程视为：x+2 • x • 3=-7 , 即 x +2 • x • 3+3 =3 -7 ,二(x+3) =2, 解之，得梵+ 3二士姙即Xj = -3+ J2,衍八?；-后

这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方

程的右边，再把左边配成一个完全平方式， 如果右边是非负数， 就可以进一步通过直接开平 方法来求出它的解.

例1解方程X2-4X-3=0 .

配方法解之.在解的过程中，介绍配方的法则.

例2解方程2X2+3=7X.

7 7

应用配方法解之，注意讲-弓的一半应为-彳-

练习：P10 1、2

小结：应用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0)的要点是：

(1) 化二次项系数为1;

(2) 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3) 方程两边各加上一次项系数一半的平方；

作业：习题12.1 3

第4课一元二次方程的解法(三)

一、 教学目的

1•使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综 合和计算能力.

2•使学生掌握公式法解一元二次方程的方法.

二、 教学重点、难点

重点：要求学生正确运用公式解方程.

难点：求根公式的推导过程.

三、 教学过程

复习提问

提问：当x2=c时，c > 0时方程才有解，为什么？

练习：用配方法解下列一元二次方程

2 2

(1)X -8X=20 ; (2)2X -6X-1=0 .

引入新课

我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？ 新课

(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0)的步骤.

解：••• a工0,两边同除以a,得

把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

b ( b V c ( b V —匕）+九/b 2 —冷sc

据此指岀’ x - ---------- ---------- （b2 -4ac^0）,叫做一兀二次方程atx*十bx + c = 0

元二次方程的方法叫做公式法.

一元二次方程的关键在于： （1）将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a丰0）;

a, b, c代入求根公式.

X2-3X+2=0 .

练习P14 1

小结

1. 本节课我们推导出了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a丰0）的求根公式，即

~b t 4ac r x = ----------- ---------- (b2 -4ac^0),

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即 b2-4ac > 0 •

2 •应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解.

作业：习题12.1A组4

第5课一元二次方程的解法（四）

一、 教学目的

使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法.

二、 教学重点、难点

重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法.

难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法.

三、 教学过程

复习提问 b -4ac

、:4a2>0 3®,当b2 -4ac>0时,

2a

亠 b + Jb' a 4丸c

耳i ----------- 二 ----- ’耳 -b - Jt? 4 貳

2a

（a工0）的求根公式•用此公式解 应用求根公式解

⑵将各项的系数

例1解方程

讲解例1

例2解方程

讲解例2 2X2+7X=4 • 1. 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a丰0）的求根公式是什么？

2. 求根公式成立的前提是什么？

引入新课 在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例.

新课

例3 解方程x3 -272^ + 2 = 0.

讲解例3

例4解方程x2+x-1=0 .（精确到0.001）

讲解例4

例5解关于x的方程 x -m（3x-2m+n）-n =0.

讲解例5

练习：P14 2

小结：

1-解一元二次方程as ' + bx + c = 0（a x 0）时- 4ac = 0,其有等根可 ~ .

2a

2 .在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定 b2-4ac > 0后，

再用求根公式解之.

作业 习题12.1 A组5 6

第6课一元二次方程的解法（五）

一、 教学目的

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法.

二、 教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程.

难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解.

三、 教学过程

复习提问

1. 在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

2. 方程x2=4的解是多少？

引入新课

方程x2=4还有其他解法吗？

新课 众所周知，方程x2=4还可用公式法解.

此法要比开平方法繁冗.本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法一一 因式分解法.

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数学《一元二次方程》教案设计

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作为一无名无私奉献的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。如何把教案做到重点突出呢？下面是小编收集整理的数学《一元二次方程》教案设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

数学《一元二次方程》教案设计1

教学目标

1.了解整式方程和一元二次方程的概念;

2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：

重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：

1.教材分析：

1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2)重点、难点分析

理解一元二次方程的定义：

是一元二次方程的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：

(1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( )，把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。 (2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

(3)方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程;当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

数学《一元二次方程》教案设计2

教材分析

1．本节在引言中的方程基础上，首先通过两个实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后引导学生观察出它们的共同点，得出一元二次方程的定义。

九年级数学上册第21章《一元二次方程》精品教案(人教版)

九年级数学上册第21章《一元二次方程》精品教案(人教版)

21.1 一元二次方程

教学目标：

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元二次方程及相关概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式．

3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

【过程与方法】

从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．

【情感态度与价值观】

通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

1．一元二次方程的概念及其一般形式．

2．判断一个数是不是一元二次方程的解．

【教学难点】

能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．

教学过程：

环节1 自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解决下列问题：

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.

列方程，得__(100－2x)(50－2x)＝3600__， 化简，整理，得__x2－75x＋350＝0__.①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x(x－1)__场．

列方程，得__12x(x－1)＝28__.

化简、整理，得 __x2－x－56＝0__.②

人教版九年级上册数学教案：第21章一元二次方程

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第21章一元二次方程

一、复习目标

1．了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

3．通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

4．通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

5．用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

6．提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．

二、课时安排

2课时

三、复习重难点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

四、教学过程

（一）知识梳理

1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。

5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）

当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=242bbaca；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=ab，x1•x2=ac。

第21章 一元二次方程教案

第21章 一元二次方程教案

第二十一章 一元二次方程

课题 课时 1课时 课型 新授课

学习目标 1、 理解一元二次方程的概念；

2、知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；

3、会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点 由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。判定一个数是否是方程的根；

难点 由实际问题列出一元二次方程。准确理解一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

考点 一元二次方程的定义、一般式、系数。

导学流程

【自主预习】－－－－－－不议不讲

（一）温故知新

问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm，

则盒底的长为__________，宽为__________.

得方程_____________________________

整理得_____________________________ ②

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为___________.

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，

所以全部比赛共_________________场.

列方程____________________________

化简整理得________________________ ③

（二）探索新知

请回答下面问题：

（1）方程①②中未知数的个数各是多少？

（2）它们最高次数分别是几次？

方程①②的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.