人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意：〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型：(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式；(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式： 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕；〔2〕求出b2 4ac的值；并判断方程根的情况；〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点：〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点：找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底；(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4) “解〞就是求出所列方程的解；(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式：增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-本钱价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数：设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题：传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者：第一轮后：共(1+x)个第二轮后：共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后：共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后：共(1+x) “个［注意：上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为：a (1+X) n个］知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八 几何类题：①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形 的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一 边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】单循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场；双循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场；注：双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有：n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示：二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性：①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程知识点归纳如果一个方程只含一种未知数，未知数的最高次数是2，而且等号两边都是整式方程，那么这个方程叫做一元二次方程。

根据以上定义，一元二次方程要满足以下几个特征：①只含有一种未知数。

②未知数的最高次数是2 。

③等号两边都是整式。

④是一个方程。

例1、3x2+4x+1=6、2a2−4=8、4y2=9都是一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

温馨提示：①一定要强调a≠0。

因为如果a=0，那么二次项ax2就会等于0，相当于消失了，这样就不符合一元二次方程的定义了。

②a、b、c都是系数，因此带着前面符号的。

③写a、b、c之前，应先把方程化为一般ax2+bx+c=0(a≠0)的形式。

例2、根据ax2+bx+c=0(a≠0)，写出−4x2−5x+9=0的a、b、c 。

a=-4，b=-5，c=9 。

例3、根据ax2+bx+c=0(a≠0)，写出−4x2−5x+9=10的a、b、c 。

−4x2−5x+9=10移项得：−4x2−5x−1=0a=-4，b=-5，c=-1使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解。

温馨提示：一元二次方程可能有两个解，要写全，不要漏。

例4、x1=3和x2=−3都是x2=9的解，也可以说x2=9的解是±3 。

当一元二次方程出现x2=a(a＜0)这种形式，则这个一元二次方程在实数范围内无解。

例5、对于x2=−9，无法在实数范围内找到满足方程的未知数的值，因此在实数范围内x2=−9无解。

九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结人教版21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。

方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。

2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。

0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

当Δ < 0时，方程无实数根。

3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。

4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。

三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理（完整版）第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。

特殊形式：（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。

（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。

3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。

（2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。

（3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。

二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。

2、方程x 2 = p 的根（1） 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。

（2） 当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。

（3） 当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。

第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。

其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，． 推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-； （3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =； （4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： （1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则： （1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。

第二十一章 一元二次方程（知识点汇总+归类总结+题型汇总）：一、一元二次方程的概念1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________． 2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．四*、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 12x x -= 五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．一元二次方程的定义：1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.02=++c bx axB.x x ax -=+221C.0)1()1(222=--+x a x aD.0312=-+=a x x 3.关于x 的一元二次方程（a 2—1）x 2+x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）A. a ≠1B. a ≠—1C. a ≠±1D.为任意实数4.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ⇔ ab-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ⇔ ac=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ac = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0； （6）两根异号 ⇔ac＜0 ⇔ a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ac ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ；⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

一元二次方程一 、 基本概念（1）方程定义：含有未知数的等式叫方程。

（2） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

（4）一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 02=++c bx ax （0≠a ）.注：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 考察一元二次方程概念例○1：下列方程不是整式方程的是（ ） A 、321=+x B 、07222=++z xy y x C 、21373+=-+x x D 、172=m ○2下列方程不是一元二次方程的是（ ） A 、01262=++y y B 、m m 531212-= C 、043611012=+-p p D 、x 2+x-1=x 2○3方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A 、2±=m B 、2=m C 、m =-2 D 、2±=m○4一元二次方程0352=-+-x x ，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）A.0352=+-x xB.0352=--x xC.0352=-+x xD.0352=++x x二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.计算：（1）2x 2-8=0 （2）9x 2-5=3（3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2=6 （5）（2x+1）2=（x-1）2 （6）（5-2x ）2=9（x+3）22．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．练习题1．用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2+ x+ =（x+ ）2；④ x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=0（5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。

(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。

一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。

- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

- 步骤：- 确定a、b、c的值。

- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。

- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义1. 定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①是整式方程 ; ②只含有一个未知数 ; ③未知数的最高次数是2. 注意：分母位置不能有未知数 例：判断下了哪些是一元二次方程051)1(2=-+xx 073)2(2=+-xy x 41)3(2=-+x x 032)4(3=+-m m 0522)5(2=-x 4)6(2=-bx ax 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 )0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项知识点三 一元二次方程的解(根)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

例如=x -3和x=2都是一元二次方程0652=+-x x 的解(根). 温馨提示:（1）一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个;（2）在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若0=++c b a ，则1=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根;若0=+-c b a ，则1-=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根注意:判断一个数值是不是一元二次方程解的方法:将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解;反之，它就不是一元二次方程的解.21.2 解一元二次方程21.1.2 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法就做直接开平方法 一般地，对于方程为常数）p p x (2=为常数）p p x (2=根据平方根的意义，方程根的情况当时0>p 两个不相等的实数根p x p x =-=21,当时0=p 两个相等的实数根 021==x x 当时0<p方程无实数根可以利用直接开平方法解一元二次方程的类型 （1）)0(2≥=p p x p x p x =-=21,（2））0(2≥=p p ax 先系数化为1 ，ap x a p x -==21, （3）())0(2≥=+p p a x 整体开平方后将a 移项，a p x a p x --=-=21,（4）())0(2≥=+p p b ax 整体开平方，再将b 移项，最后系数化为 1abp x a b p x --=-=21, 温馨提示:(1)采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，它适用的方程是能转化为以上类型的方程,(2)利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当0≥p 时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况。