第三章 中值定理与导数的应用复习

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导

x 0
x) x ；
8、 lim nq (0 q 1, n N ) ．
n
二、设 f ( x ) 具有一阶连续导数， f (0) 0, f (0) 2 ，求 lim
x 0
f (1 cos x) ． tan x 2
(1 x)1/ x 1/ x , x0 e 三、讨论函数 f ( x ) 在 x 0 处的连续性． 1 2 x 0 e , f ( x) f ( x) 四、 设 f ( x ) 具有二阶导数， 在 x 0 的某去心邻域内 f ( x ) 0 ， 且 lim 求 lim1 0 ，f (0) 4 ， x 0 x 0 x x
8
2 5
2 5
§3-3
五、极大值 f (0) 4 ，极小值 f ( 2)
8 9 ；六、 a ， b 6 ， y ( x1 ) 为极大值， 3 2
5 ；9、0，4； 3
y ( x2 ) 为极小值；八、 M (n) (
n n 1 1 3V . ) ， ；九、 r h 3 n 1 e 5
f ( )

．
四、设 b a 0 f ( x ) 在 [ a, b] 上可导，试证明存在 ( a, b) 使 f (b) f ( a ) f ( ) ln
'
b ． a
五、证明:当 1 x 0 时， arcsin 1 x arctan 六、证明下面不等式 1、
4
§3-4
一、填空题：
3 2
曲线的凹凸性和曲率
,在区间 内上凸，在区间 _____ 内下凹；
1、若 y x 5 x 3 x 5 ，则函数图形的拐点是

。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。

对于幂指函数型未定式采取的是取对数法.以下列例题为例给出取对数法.
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
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注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
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（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。