第二讲 多项式理论153024

人教版 数学 七年级 上册
第二章
整式的加减
2.1 整式
第三课时 多项式
学习目标
1、能正确描述多项式、整式的有关概念. 2、会准确迅速地确定一个多项式的系数和次数.
复习巩固
（1）由__数__字_与_字__母__（或_字__母__与_字__母__）相乘组成的式子叫做单项式.
单独的一个__数___或一个_字__母__也叫单项式. （2）单项式中的_________
5. 多项式
是关于 a、b 的四次三项式，且最高次
项的系数为－2，则 x = -5 ，y = 3 .
6. 已知多项式
是六次四项式，单项式
的次数与这个多项式的次数相同，求 n 的值.
解：由题意得 2 + m + 2 = 6，所以 m = 2. 又因为 3n + 4 - m + 1 = 6，即 3n + 3 = 6， 所以 n = 1.
学以致用
1. 一个多项式的次数是 3， 3
B. 都小于 3 D. 都不大于 3
学以致用
m，n 当作常数 (参数) 看
待，属于系数部分
2.若关于 x 的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1 不含二次项和一
次项，求 m、n 的值.
分析：多项式不含哪一项，则那一项的系数为 0. 解：由题意得 m = 0，n－1 = 0，
1 ab πr 2 2
x2 + 2x + 18
上述几个式子是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单
项式有什么关系？
1 ab πr 2 2
单项式 + 单项式
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
概念学习 多项式有关概念：

物理领域
多项式也被广泛应用于物理领域，如力学、电磁 学等。
工程领域
多项式在工程领域中也有着广泛的应用，如结构 分析、热传导等。
02
多项式的运算规则
加法与乘法
01
02
总结词：多项式中，加法与乘 法是最基本的运算，也是多项 式变形的基础。
详细描述
03
04
1. 加法：将多项式中相同字母 的系数相加，作为新的系数， 字母不变。例如， (2x+3)+(4x+5)=6x+8。
详细描述
2. 除法：在多项式中，除法实际上是乘以一个倒 数
幂运算
详细描述
2. 运算法则：幂运算有特殊的运算法则，如 2^3 x 3^2=(2 x 3)^3=6^3=216。
总结词：幂运算是一种特殊的运算方式，用 于表示相同因子的多次重复。
1. 定义：幂运算是由底数和指数构成的，表 示为a^n，其中a是底数，n是指数。例如， 2^3表示2重复三次。
算法的实现与应用
多项式求值的算法
多项式求值的算法主要有两种，一种是基于泰勒展开的算法，另一种是基于霍纳 规则的算法。泰勒展开算法适用于小规模的多项式求值，而霍纳规则算法适用于 大规模的多项式求值。例如：使用泰勒展开算法求解$e^x$近似值。
多项式求导的算法
多项式求导的算法基于多项式的导数定义和求导公式。例如：对于多项式$f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1$，根据导数定义得到$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$。
。
因式分解方法
包括提公因式法、公式法、分组 分解法等。
因式分解应用
在解决高次方程和求根等问题时， 因式分解具有重要应用价值。

－2，则x=______,
y=______.
6.已知多项式 六次四项式,单项式 次数相同,求n的值.
是 的次数与这个多项式的
解：由题意得2+m+2=6，所以m=2.
又因为3n+4-m+1=6，即3n+3=6，所以n=1.
多
项
式
项：式中的每个单项式叫多项式的项. （其中不含字母的项叫做常数项）
课
归纳总结：解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高 的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.
分析：该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为m＋2，故m＋2=6.
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项 和一次项，求m、n的值. 分析：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
1 2
× ×
×
3.一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为4，一 次项系数为１，常数项为7，则这个二次三项式为＿＿ ＿＿＿4．x2+x+7
4.若
是
关于2x的一次式,则a =______,若它是关于x的二-3次
二项式,则a =______.
5.多项式
-5
是关于3 a、b的四次三项式，且最高次项的系数为
它是___次___项式.
2.多项式3m3 －2m－5+m2 的常数项是 ____，二次
项是_____，一次项的 系数是_____.
方法归纳
(1)多项式的各项应包括它前面的符号
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系 数，每一项定此多项 式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的
第 二 章

对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
分解因式中的两个有用的结论：
Polynomial Long Division
多项式的长除法 分解因式中的两个有用的结论：
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
3
13 3 1
4
4
4 13
12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
例如
x3 4x2 3x2 4x2 2x1
x 4
7 8
3 x 23
2 4x2
8 2x 1
假分式
多项式 真分式
x 7
商
48
4x2 2x1 x 3 4 x 2 3 x 2
Polynomial Long Division （1）怎样判断一个多项式是否可约？
（1）怎样判断一个多项式是否可约？ 中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。 对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的； 第讲多项式理论及多项式除法 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 分解因式中的两个有用的结论： 要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。 定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。