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勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
多项式的系数多项式是数学中一个非常重要且常见的概念，它可以用于解决各种实际问题和推导其他数学理论。
在多项式中，系数是其中一个关键的要素，它承载着多项式的重要信息。
本文将深入探讨多项式的系数的概念、性质和应用。
一、多项式的定义和基本形式多项式是由若干个单项式相加（或相减）而得到的代数表达式。
它一般使用字母和数字的组合来表示，其中字母代表变量，而数字代表该变量的指数。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中P(x)表示多项式，an, an-1, ..., a2, a1, a0称为多项式的系数，x表示变量。
二、多项式系数的性质1. 多项式系数是数学中的数字，可以是整数、有理数或复数。
2. 多项式的次数等于最高次项的指数，系数为0的项不计入多项式的次数。
3. 多项式系数可以进行运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
三、多项式系数的意义和应用1. 多项式系数的数值代表了多项式的重要性质。
例如，多项式的常数项系数a0可以表示函数的截距，一次项系数a1可以表示函数的斜率，二次项系数a2可以表示函数的曲率等。
2. 多项式系数可以用于解决实际问题。
例如，在物理学中，多项式可以用于描述运动的轨迹和速度变化；在经济学中，多项式可以用于建立市场模型和预测价格走势；在计算机科学中，多项式可以用于图像处理和数据拟合等。
3. 多项式系数也在数学中的其他分支中起到重要作用。
例如，在代数学中，多项式系数可以用于证明定理和建立理论；在数值分析中，多项式系数可以用于数值计算和逼近算法等。
四、多项式系数的求解方法1. 多项式系数可以通过观察和推导得到。
例如，已知多项式的一个解时，可以使用综合除法等方法求解其余系数。
2. 多项式系数也可以通过数学软件和计算机编程来求解。
例如，使用MATLAB、Python等编程语言可以方便地求解多项式的系数，同时还可以进行其他数值计算和数据处理。
高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究数学是一门抽象的学科，但它却与现实世界密切相关。
在高中数学中，多项式函数是一个重要的内容，它不仅有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际问题。
本文将探讨高中数学中的多项式函数与实际问题的联系，并举例说明其应用。
多项式函数是由常数项、一次项、二次项等多个项组成的函数。
它的一般形式为：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$n$为非负整数。
多项式函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在经济学、物理学、工程学等领域。
首先，我们来看一个经济学中的实际问题。
假设某个公司的销售额随时间的变化可以用一个二次函数来描述。
我们可以通过分析销售额与时间的关系，利用多项式函数来预测未来的销售情况。
通过对已有数据进行拟合，我们可以得到一个二次函数的模型，从而预测未来的销售额。
这个模型不仅可以帮助公司制定合理的销售目标，还可以帮助公司进行资源的合理配置，提高销售效益。
其次，多项式函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，当我们研究物体的运动时，可以利用多项式函数来描述物体的位置、速度和加速度与时间的关系。
通过对物体运动的观测和实验数据的分析，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测物体在未来的位置和速度。
这个模型不仅可以帮助我们理解物体的运动规律，还可以应用于工程设计和天体物理等领域。
此外，多项式函数还在工程学中有着重要的应用。
例如，在电路设计中，我们可以利用多项式函数来描述电流、电压和电阻之间的关系。
通过对电路的分析和实验数据的拟合，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测电路中的电流和电压。
这个模型不仅可以帮助我们优化电路设计，还可以应用于电力系统的规划和优化。
在实际问题中，多项式函数还可以用于解决一些优化问题。
例如，在工程设计中，我们经常需要在给定的条件下，寻找最大值或最小值。
多项式的加减法多项式是代数学中的重要概念，它是由数和字母的乘积按照特定规则组成的代数表达式。
在代数学中，多项式的加减法是一项基本操作，掌握多项式的加减法对于解决各种数学问题具有重要意义。
本文将介绍多项式的加减法的基本原理和运算方法，以及一些实际应用。
一、多项式的加法多项式的加法是指将同类项相加得到一个新的多项式。
同类项是具有相同指数的项，例如2x^2和3x^2就是同类项。
多项式加法的基本原理是对应同类项的系数相加得到新的系数。
例如，考虑以下两个多项式的加法：3x^2 + 4x + 2 和 2x^2 + 5x + 1。
首先，对应同类项的系数相加，3x^2 + 2x^2 = 5x^2；4x + 5x = 9x；2 + 1 = 3。
将得到的系数组合在一起，得到新的多项式：5x^2 + 9x + 3。
二、多项式的减法多项式的减法是指用减去的多项式减去被减去的多项式，得到一个新的多项式。
和加法类似，多项式减法也要对应同类项的系数相减。
例如，考虑以下两个多项式的减法：4x^3 + 6x^2 + 2x - 1 和 2x^3 +3x^2 - 5x + 1。
首先，对应同类项的系数相减，4x^3 - 2x^3 = 2x^3；6x^2 - 3x^2 =3x^2；2x + 5x = 7x；-1 - 1 = -2。
将得到的系数组合在一起，得到新的多项式：2x^3 + 3x^2 + 7x - 2。
三、多项式的加减法综合运用多项式的加减法可以在解决各种数学问题中起到重要的作用，下面通过几个例子来说明。
例1：假设小明有一些苹果和橘子，表示苹果的多项式为3x + 2，表示橘子的多项式为4x - 1。
问小明共有多少水果？解：将两个多项式相加，(3x + 2) + (4x - 1) = 7x + 1。
根据新的多项式，小明共有7x + 1个水果。
例2：某高中学生参加了数学竞赛，得分规则为答对一道题得5x^2 + 3x + 2分，答错一道题扣除2x^2 - 4x - 1分。
洛朗多项式
摘要：
1.洛朗兹多项式的定义与性质
2.洛朗兹多项式的应用
3.洛朗兹多项式的发展历程
正文：
洛朗兹多项式是一种在数学领域具有重要地位的代数表达式。
它的定义来源于法国数学家亨利·洛朗兹，他在19 世纪末20 世纪初对多项式进行了系统的研究，从而创立了洛朗兹多项式理论。
1.洛朗兹多项式的定义与性质
洛朗兹多项式是一个关于变量x 的多项式，其系数为整数，且满足一定条件。
具体来说，洛朗兹多项式的形式为：
P(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) +...+ a_1x + a_0
其中，a_n, a_(n-1),..., a_1, a_0 均为整数，且a_n ≠ 0。
洛朗兹多项式的一个重要性质是，它的根（即使多项式等于0 的x 值）都是实数。
2.洛朗兹多项式的应用
洛朗兹多项式在数学领域具有广泛的应用，尤其在代数、数论、微分方程等方面有重要意义。
此外，洛朗兹多项式还在物理学、工程学等学科中发挥作用。
3.洛朗兹多项式的发展历程
洛朗兹多项式的发展历程可以追溯到19 世纪末，当时法国数学家亨利·洛
朗兹对多项式进行了系统的研究，提出了洛朗兹多项式的概念。
随着数学家们对洛朗兹多项式的深入研究，这一理论逐渐发展壮大，并成为代数学的一个重要分支。
总的来说，洛朗兹多项式作为一种重要的数学概念，不仅具有丰富的理论性质，还在多个领域中发挥着重要的应用价值。
多项式理论与基本性质多项式是数学中的重要概念之一，它在代数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的理论基础以及其基本性质。
一、多项式的定义和表示方法多项式由一系列有限项组成，每一项由系数和指数部分构成。
在最简单的情况下，一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0表示系数，x^n,x^{n-1}, ..., x^1, x^0表示指数，n表示多项式的次数。
二、多项式的运算法则1. 加法和减法：多项式的加法和减法运算都是对应项相加或相减。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的和为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)它们的差为：P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0)2. 乘法：多项式的乘法通过每一项相乘并按指数相加的方式进行。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_n * b_0)x^{n+m} + (a_n * b_1 + a_{n-1} *b_0)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_1)x^2 + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0其中，n和m分别为P(x)和Q(x)的次数。
3. 乘法的分配律：对于任意多项式P(x)、Q(x)和R(x)，满足以下分配律：P(x) * (Q(x) + R(x)) = P(x) * Q(x) + P(x) * R(x)三、多项式的因式分解和根的性质1. 因式分解：多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因子的乘积的过程。
复系数多项式及其用法
复系数多项式是指系数可以是复数的多项式。
在数学中，复系数多项式是一个非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用，包括代数学、分析学、几何学和物理学等。
复系数多项式的一个重要性质是代数基本定理，即每个非零的复系数多项式在复数域中都有根。
这个定理是复数理论的基础之一，也是代数学中的一个基本定理。
复系数多项式还可以进行因式分解，即每个复系数多项式都可以表示成一次因式的乘积。
这个性质在解决一些数学问题时非常有用，例如求解多项式方程、计算多项式的零点等。
复系数多项式在实际应用中也有很多用途。
例如，在物理学中，复系数多项式可以用来描述波动现象，如电磁波和声波的传播。
在控制理论中，复系数多项式可以用来描述线性时不变系统的传递函数，从而分析系统的稳定性和性能。
总之，复系数多项式是数学中一个非常重要的概念，它们在理论和应用方面都有着广泛的应用。
多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
什么是多项式在生活中的应用多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
那么你对多项式了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是多项式的内容，希望大家喜欢!什么是多项式在数学中，多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式。
对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数定义为负无穷大(或0)。
单项式和多项式统称为整式。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6中的6就是常数项。
多项式的定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且pˆ2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。
因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。
所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。
多个多项式互素多项式是数学中的重要概念之一，也是实际问题中常见的数学模型，如多项式拟合、最小二乘法等等。
在研究多项式时，有一个重要的概念——多项式的互素。
本文将介绍多个多项式互素的情况下的应用及其相关理论。
一、多项式的互素概念在初中数学中，我们已经学过了整数间的互质关系，即若两个整数的最大公约数为1，则它们互质。
同理，两个多项式如果它们的最大公因式为1，则称它们互素。
例如，$2x^2+1$ 和 $3x+1$ 就是互素的，因为它们的最大公因式是1.二、多项式互素的性质1、性质1：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的多项式$k(x)$，$f(x)$和$g(x)$的积$f(x)g(x)$和$k(x)f(x)+h(x)g(x)$也互素。
2、性质2：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)+bg(x)$也是互素的。
3、性质3：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)$和$bg(x)$也互素。
三、多个多项式互素的情况及应用现在考虑多个多项式的情况。
如果有 $n$ 个多项式$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$，它们两两互素，即对于任意的$i,j (i\ne j)$，有$gcd(f_i(x),f_j(x))=1$，则称这$n$个多项式互素。
这个概念在实际问题中也有应用，例如公共钥密码学中常用到的RSA算法中就涉及了多项式互素的问题。
我们可以使用扩展欧几里得算法求出$n$个多项式的最大公因式。
四、多项式互素的判定1、Eisenstein准则Eisenstein准则是判定多项式是否可用某个质数的多项式系数除以整个多项式后的余数判定可约与否的方法，其内容如下：设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_n \ne 0,0\le k<n$），若存在质数$p$，满足：i) $p$不能整除$a_n$，ii) $p|a_k(k\in\{0,1,\cdots,n-1\},k\ne n)$，iii) $p^2\not\ |\ a_0$，则$f(x)$不可约，否则$f(x)$可约。
有限域上的多项式理论多项式理论是代数学中的一个重要分支，它研究的对象是多项式及其相关的性质与运算。
有限域则是指其元素个数有限的域。
本文将介绍有限域上的多项式理论，包括有限域的定义与性质、有限域上的多项式运算以及一些相关的应用。
一、有限域的定义与性质在开始介绍有限域之前，我们先来了解一下域的基本概念。
域是一个包含加法、减法、乘法和除法运算的数学结构，满足一定的运算规律。
有限域则是指其元素个数有限的域。
有限域的定义如下：设F是一个含有q个元素的域，若其中的元素个数是有限的，则称F为有限域，记作Fq。
有限域有许多独特的性质，下面列举其中一些重要的性质：1. 有限域Fq中有q个非零元素，其中0为零元素。
2. 有限域Fq中的非零元素满足乘法交换律和乘法结合律。
3. 有限域Fq中的非零元素构成一个乘法群，其中单位元为1。
4. 有限域Fq中的元素满足加法交换律、加法结合律和分配律。
5. 有限域Fq中的元素的乘法逆元和加法逆元都存在。
二、有限域上的多项式运算有限域上的多项式是一种形如f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an-1x^n-1的表达式，其中a0, a1, ..., an-1属于有限域Fq，n为多项式的次数。
在有限域上，多项式的加法和乘法运算定义如下：1. 多项式的加法运算：f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 +b2)x^2 + ... + (an-1 + bn-1)x^n-1，其中f(x) = a0 + a1x + ... + an-1x^n-1，g(x) = b0 + b1x + ... + bn-1x^n-1。
2. 多项式的乘法运算：f(x) * g(x) = c0 + c1x + ... + c2n-2x^2n-2，其中c0, c1, ..., c2n-2属于有限域Fq，c0 = a0 * b0，c1 = a0 * b1 + a1 *b0，...，c2n-2 = an-1 * bn-1。
基于多项式优化理论的全场优化算法及其应用科技的高速发展催生了信息时代，信息技术发展特别迅速，互联网的普及和数据的爆炸式增长对算法提出了更高的要求。
尤其是在大数据时代下，如何通过算法有效地利用数据资源，提高数据的应用效果和价值，成为了很多人关注和研究的问题。
在这个背景下，基于多项式优化理论的全场优化算法已经成为了一个研究的热点。
一、多项式优化理论多项式优化理论源于20世纪的优化问题。
这是一个涉及函数和条件约束的问题。
考虑一个函数f(x)，它可以用下面的形式表示:f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn这里ci是常数，xi是变量。
同时考虑一些约束条件h(x)，这些条件定义了可行解的集合。
那么问题就在于在可行解的集合中寻找使f(x)最小的解。
这是一个经典的问题，称为线性规划问题，有一种叫做单纯形算法的方法用来解决。
但是，当函数和极端点（线性规划解的一类）的数量很大时，单纯形算法的计算复杂度会变得很高。
因此，多项式优化理论应运而生。
它不仅可以解决线性规划问题，还可以解决很多其他类型的优化问题，包括非线性优化和组合优化问题。
二、全场优化算法全场优化算法就是利用多项式优化理论来解决问题的一种方法。
这种算法的主要优点是它可以处理复杂的、具有多个局部最优解的问题。
因为全场优化算法能够在所有可能的解空间范围内寻找全局最优解。
算法基于二次规划理论，使用一个叫做半正定规划的方法来解决。
半正定规划是一种特定类型的二次规划问题，其中目标函数是二次函数，约束条件是线性的。
全场优化算法的本质是给定一个和多项式函数有关的优化问题，使用合适的系数表达出多项式，再通过理论算法得到其全局最小值或最小值的一个较好的近似值。
三、应用场景全场优化算法可以解决在现实生活中一些非常有意义的问题。
例如，在能源领域，通过找到发电和输电的最少成本方案，可以以最小的成本满足电力需求。
优化过程中可能会涉及多个因素，如风速、光照、电网输电效率等，全场优化算法可以快速计算出满足最小成本的每种条件的最优解。
多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
以下本文将介绍多项式的有关理论及其应用。
一,多项式的有关理论 （一）多项式的有关概念定义1：f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）称为关于x 的一元n 次多项式，n 称为f(x)的次数，记作：deg f(x)=n 。
定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g （x ）.系数全为零的多项式称为零多项式。
性质：设f(x)≠0与g(x)≠0是两个多项式，且f(x)±g(x) ≠0，则 deg[f(x)±g(x)]≤max{deg f （x ）,deg g(x)};deg[f(x)·g(x)]=deg f(x)+ deg g(x) . （二）多项式的整除法定理1（带余除法定理）：设f(x)与g(x)是两个多项式，且g(x)≠0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)与r(x)，使得f(x)= g(x)q(x)+ r(x)；其中r(x)=0或deg r(x)<deg g(x) 。
定理2（余数定理）：多项式f(x)除以 x-a 所得的余式为f(a)； 推论1（因式定理）：多项式f(x)有因式x-a 的充要条件是f(a)=0 。
推论2：如果f(x)∈Z[x],a 与b 为不相等的整数，则(a-b)丨[f(a)-f(b)] 。
（三）最大公因式定义3：设f(x) ，g(x)是F[x]中的两个多项式。
P[x]中多项式d(x)称为f(x) ，g(x)的一个最大公因式。
那么它满足 下面两个条件： 1. d(x)是f(x) ，g(x)的公因式；2. f(x) ，g(x)的公因式全是d(x)的公因式。
引理：如果有等式f(x)=g(x)q(x)+ r(x)成立，那么，f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式。
定理3：设多项式f(x)与g(x)的最大公因式为d(x)，那么存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) .定理4：两个多项式f(x)与g(x)互素的充要条件为：存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. （四）因式分解定理定理5：（复数范围内的唯一分解定理）如果不考虑因式的顺序，复系数n （n ≥1）次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式的乘积f(x)=0a ，其中1n + 2n +…+ k n =n 。
定理6：如果不考虑因式的顺序，实系数n(n ≥1)次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式和有非零共轭复根的二次因式的乘积。
f(x)=a211()[()]k miiii i x x x a b ==--+∏∏,其中i a ,i b ,i x ∈R,且i b >0,k+2m=n 。
推论3：实系数n(n ≥1)次多项式的虚根成对出现。
推论4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。
（五）多项式的根 定理7（代数基本定理）在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
定理8：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式恰有 n 个根。
定理9：若f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，而既约分数q/p 是它的一个根，则p 丨n a ，q 丨0a 。
定理10：如果整系数多项式的首项是1，那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。
定理11（爱森斯坦因判别法）：设f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，如果有一个系数为p ，且满足： 1. p 不整除n a ；2. p 整除120,,...,n n a a a --；3. 2p 不整除0a ；那么f(x)在有理数集上是不可约的。
（六）本原多项式定义4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式是本原多项式。
定理12（高斯引理）：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
二．多项式理论的应用（一）多项式理论在初等代数中的应用 1.多项式理论在因式分解中的应用在高等代数里已经证明任意一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式。
这种分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。
并且,我们只能对于给定的数域来谈论多项式的可约或不可约。
例如：4x -4在有理数范围内分解为（2x -2）（2x +2），在实数范围内可分解为（）)(2x +2),在复数范围内分解为（）（）（i ）（）。
例1，能否将有理系数多项式4x +4kx+1(k 为整数)进行分解？解：（1）.待定系数法就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数令f(x)= 4x +4kx+1 (k 为 整数)，显然f (±1) ≠0,所以f(x)无一次因式。
若f(x)可约，只能是2个二次有理因式的积，由于f(x)是整系数多项式，因此f(x)可化为两个整系数多项式的积。
即f(x)=（2x +ax+1）(2x +bx+1),其中a,b 是整数，则4x +4kx+1=4x +（a+b ）3x +(2+ab)2x +(a+b)x+1,得a+b=0,2+ab=4k,得2a =2 使a 为整数是不可约的。
因此f(x)不可约。
即有理系数多项式4x +4kx+1 (k 为整数) 不可因式分解。
（2）爱森斯坦因判别法设f （x ）=0a +1a x+…+n a nx 是整系数多项式，若能找到一个系数p ，使得p 丨i a （i=0,1,..,n-1）,p 不能整除n a 且2p 不能整除0a ，则f(x)在有理数域不可约。
把f(x)变形，令x=y+1.这样得g(y)=f(y+1)= 4y +43y +62y +(4k+4)y+4k+2 由爱森斯坦因判别法，取p=2 即可证 g(y)不可约。
即4x +4kx+1 (k 为整数) 在有理数域上不可因式分解。
以上，用两种方法解决了初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！2.用多项式理论分解因式初中代数已经介绍了提取公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法等基本方法。
这里根据多项式的理论再讨论两种因式分解的方法以便解决高次方程的因式分解问题。
例2 在 有理数域上分解因式5x -103x -202x -15x-4 解： 分离重因式法 因为1f -（x ）=54x -302x -40x-15 用辗转相除法，得d(x)=[f(x), 1f-(x)]= 3x +32x +3x+1 。
h(x)=()()f x d x =2x -3x-4=(x+1)(x-4), 因此，f(x)的所有不可约因式为x-4,x+1，其中x-4 在f(x)中是单因式，x+1是f(x)的四重因式，于是，f(x)=(x-4)4(1)x +.即5x -103x -202x -15x-4=(x-4)4(1)x +（二）多项式理论在解高次方程中的运用对于某些特殊的一元高次方程,在中学代数教材中仅介绍了因式分解法和换元法，但在许多实际问题中仅掌握这两种方法是远远不够的,这里,利用多项式理论中的韦达定理和实系数多项式的非实复根两两成对的理论,通过例子求一些高次方程的解. 例3 已知方程25x -74x +83x -22x +6x+5=0有两个根是2-i ，i 。
解此方程。
解：由于实系数方程的虚根成对出现，故2+i ,-i 也是方程所给的根，由代数基本定理可知此方程有5个根。
设此方程第五个根是∂，由韦达定理得（2+i ）+（2-i ）+i-i+∂=7/2; 得∂=-1/2故此方程的根是2±i, ±i ，-1/2 。
例4 已知实系数方程3x +22x +qx+r 有一个根是i ，试求q,r ；并解此方程。
解：设方程的三个根是-1±i ，∂ 。
则由韦达定理，可知（i ）i)+ ∂=-2 得∂=0 由韦达定理可进一步推知：q=3;r=0 例5 解方程34x +53x +2x +5x+2=0解：易知，-2.1/3是f(x)= 34x +53x +2x +5x+2=0的两个根。
令g(x)=(x+2)(x-1/3)=2x +5x/3+2/3,由带余除法，得f(x)=g(x)(32x +3),求32x +3=0的解，±i 是它的根。
经验算原方程的根是-2，±i ，1/3.二．多项式理论在矩阵问题中的应用（一）.利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵命题1 设f(λ)是复系数多项式，n 阶方阵A 的特征值不是f(λ)的零点，则f(A)可逆，且f(A)的逆矩阵可表示为A 的多项式。
