2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一（理实验班）上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知R 为实数集，集合{1}A xx =>∣，{2}B x x =≥∣，则()R C B A ⋂=（ ） A ．(1,2) B ．(1,2]C ．(,1]-∞D ．[2,)+∞【答案】A【分析】先利用补集的运算和交集运算求解.【详解】因为{2}B xx =≥∣， 所以{2}RB x x =<∣，所以(){12}RB A x x ⋂=<<∣，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知,a b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由函数33,x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<，可得答案【详解】由函数33,x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<， 所以“33a b <”是“33a b <”的的充要条件， 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题， 3．下列命题中正确的是 A ．若m a n =，则log a m n = B ．若10x e =，则lg10x = C ．若24log 1x =，则2x = D ．若2log a b c =，则2c a b =【答案】D【分析】根据指对数的互化逐个辨析即可.【详解】对A ，若m a n =，则log a m n =，故A 错误. 对B ，若10x e =，则ln10x =，故B 错误. 对C ，若24log 1x =，则24,2x x ==±.故C 错误. 对D ，若2log a b c =，则2c a b =成立. 故选：D【点睛】本题主要考查了指对数的互化与计算，属于基础题. 4．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【分析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】解：3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>， 所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)， 故选：A.【点睛】本题考查对零点存在性定理的理解和应用，是基础题. 5．设0.31.7a =，0.5log 1.1b =，sin1c =，则（ ）． A ．c b a << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据指数，对数，三角函数的性质，分别和特殊值比较，再判断,,a b c 的大小. 【详解】0.301.7 1.71a =>=，0.5log 1.10b =<，0sin1sin 12π<<=，所以b c a <<. 故选：B6．设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ） A ．B C D【答案】B【分析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则0k <，∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=，又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角， ∴sin160︒=21k k-+，故选：B ．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．7．已知0abc <，则在下图的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是．A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】A 中，0,0,002ba c abc a-∴； B 中，0,0,002ba c abc a >-<<∴<； C 中，0,0,002ba c abc a>-∴>； D 中，0,0,002ba c abc a-∴； 所以选B.8．若函数()211()2422x xf x x x m --=-++有且仅有一个零点，则m =（ ）．A ．0B ．2C ．1D ．-1【答案】C【分析】函数只有一个零点，可转化为方程只有一个解的问题，进而转化为两图象的交点问题即可.【详解】由()211()2422x xf x x x m --=-++有且仅有一个零点，可知方程()2112422x x x x m --+-=+只有一个解，令1t x =-，则转化为方程()22222t tt m --+=+只有一个解，即曲线222y t =-+与()22t ty m -=+的图像只有一个交点， 又因曲线222y t =-+与()22t ty m -=+都为偶函数，故要使曲线222y t =-+与()22t ty m -=+的图象只有一个交点， 只需满足0t =为方程()22222t tt m --+=+的解即可，代入计算得1m =. 故选：C.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数相等，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．下列函数中，最小值为2的有（ ）．A ．1y xx=+ B ．y =+C ．22y x x -=+ D ．1sin ((0,))sin y x x xπ=+∈ 【答案】BCD【分析】利用基本不等式求解判断. 【详解】A.当0x <时， 10y x x=+<，故错误；B. 2y =+≥=，=即0x =时，等号成立，故正确；C. 222y x x -=+≥=，当且仅当22x x ，即1x =±时，等号成立，故正确；D. 1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin x x =，即2x π=时，等号成立，故正确； 故选：BCD【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值. 10．下列命题是假命题的是（ ）． A ．若sin 0α<，则α是第三或四象限的角 B ．lg sin 4y x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为572,244k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ； C ．函数sin 34y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是6D．sin 12α⎛⎫<⎪⎝⎭72266k k πππαπ+<<+，k ∈Z 【答案】AD 【分析】对A ，由3sin102π=-<可判断；对B ，满足sin sin 044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且单调递增即可；对C ，可直接求得最小正周期；对D ，由不等式可得1sin 2α>，再结合三角函数性质可解得. 【详解】对A ，当32πα=时，sin 10α=-<，此时α不是第三或四象限的角，故A 错误；对B ，需满足sin sin 044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且单调递增，令322,42k x k k Z πππππ+<-≤+∈，解得5722,44k x k k Z ππππ+<≤+∈，故lg sin 4y x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为572,244k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ，故B 正确； 对C ，函数sin 34y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是263T ππ==，故C 正确； 对D，由1sin 211222α⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1sin 2α>，解得522,66k k k Z πππαπ+<<+∈，故D 错误.综上，AD 为假命题. 故选：AD.11．已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ）A ．120x x π-≤<≤B ．120x x π≤<≤C ．12x x >D ．2212x x < 【答案】AC【分析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减， 则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >， 故选：AC ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足()2(2)f x f x =+，且当[2,0)x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的值可以是（ ）．A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】CD【分析】根据()2(2)f x f x =+得1()(2)2f x f x =-，进一步求出其他区间的函数表达式，再结合图形和不等式即可求解.【详解】由()2(2)f x f x =+得1(2)()2f x f x +=，则1()(2)2f x f x =-. 当[2,0)x ∈-时，()f x 在(2,1)--上递增，在(1,0)-上递减，所以max ()(1)2f x f =-=. 当2[2,0)x -∈-时，2211()(2)[2(21)2](1)122f x f x x x =-=⨯--++=--+，其最大值为1，同理当[2,4)x ∈时，max 1()2f x =,依此类推，可知当2x ≥时，8()9f x ≤恒成立.又[0,2)x ∈时，2()(1)1f x x =--+，当8()9f x =时，得23x =或43x =，结合图象，知423x ≤<.所以8()9f x ≤恒成立时43m ≥，故选项C ，D 正确.故选：CD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过迭代求函数的最值，然后再结合图形解不等式.三、填空题13．()sin 690cos 240tan 540︒︒︒--+的值为________．【答案】0【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】()()()sin 72030cos 302700sin 690cos 240tan 540︒︒︒-=---+-+sin 30sin 300=-+=.故答案为：0.14．已知命题p ：x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥是真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0,4]【分析】由于x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥，所以0∆≤，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：因为命题p ：x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥是真命题， 所以0∆≤，即240a a -≤，解得04a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为[0,4]， 故答案为：[0,4]15．已知函数2019sin ,01()log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是________．【答案】(2,2020)【分析】画出函数图象，即可得出()1,1,2019a b c +=∈，即可求得. 【详解】画出()f x 的函数图象，如图所示， 由()()()f a f b f c ==，不妨设a b c <<， 由图可得,a b 关于12x =对称，12019c <<， 则()12,2020a b c c ++=+∈. 故答案为：(2,2020).【点睛】关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，数形结合求解.16．已知函数cos y a x ω=+，[],x ππ∈-（其中，a ，ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则a 的值为_______，ω的取值范围是_______. 【答案】1- [)2,4【分析】函数cos y a x ω=+在[π-,]π上为偶函数,根据偶函数的性质可知0x =必为函数的一个零点,由此求得1a =-,再根据三角函数的图象性质,求得ω的取值范围. 【详解】函数cos y a x ω=+在[π-,]π上为偶函数,且函数有且仅有3个零点, 故必有一个零点为0x =, cos00a ∴+=,1a ∴=-;所以函数cos 1y x ω=-,[x π∈-,]π的零点个数,等价于函数cos y x ω=与直线1y =的图象在[π-,]π上交点的个数,而函数cos y x ω=相当于函数cos y x =纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的1(0)ωω>倍,当1ω=时,函数cos y x =与直线1y =在[π-,]π上仅有一个交点,则1ω>; 当2ω=时,函数cos 2y x =与直线1y =在[π-,]π上恰有3个零点,如下图所示,故2ω;当4ω=时,函数cos 2y x =与直线1y =在[π-,]π上恰有5个零点,如下图所示,故4ω<;综上所述,ω的取值范围是[2,4). 故答案为:1-;[2,4).【点睛】本题考查三角函数的图象及性质,考查数形结合思想及逻辑推理能力,属于中档题.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3sin 4cos ββ-的值． 【答案】（1）117；（2）75-． 【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数，代入求值；（2）由条件可知，2παβ-=，利用诱导公式，结合三角函数的定义，求函数值. 【详解】解：（1）由题得3cos 5α=-，4sin 5α，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-． （2）由题得2παβ-=，∴2παβ=+，∴cos sin αβ=-，sin cos αβ=，∴3sin 5β=，4cos 5β=，∴91673sin 4cos 555ββ-=-=-． 18．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，直线8x π=是其图象的一条对称轴．（1）求ϕ的值；（2）用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象，并由此写出函数在[0,]π上的单调减区间．【答案】（1）34πϕ=-；（2）作图见解析；减区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）根据直线8x π=是函数()y f x =的图象的一条对称轴，由sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭求解；（2）由3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用五点作图法，列表，连线画出函数图象； 【详解】（1）∵直线8x π=是函数()y f x =的图象的一条对称轴，∴sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭． ∴42k ππϕπ+=+，k ∈Z ．∵0πϕ-<<，34πϕ∴=-． （2）由3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭列表如下 ：故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图：由图象知：在区间[0,]π上的减区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放(04a a <≤且)a R ∈个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()()()3023727xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值. 【答案】（1）4天；（2）2086-【分析】（1）营养液有效则需满足y ≥4，由分段函数，对x 讨论，解不等式即可得到结论；（2）通过化简、利用基本不等式可知()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b 的最小值．【详解】（1）已知()()()3,0237,27xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，当2a =时，()()()()32,022327,27xx y f x x x x +⎧⨯≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩要使营养液有效，则需满足y ≥4，则023243x x x⎧⎪+⎨⋅≥⎪-⎩或()27274x x <≤⎧⎨-≥⎩，即为1≤x ≤2或2＜x ≤5，解得1≤x ≤5，所以营养液有效时间可达4天； （2）当4≤x ≤7时，y ＝14﹣2x +b •()()34434x x +-≥--在[4，7]上恒成立，∴()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，令[]13,6t x =-∈，则b ≥﹣2（t +24t）+20，又﹣2（t +24t ）+20≤﹣2•＝20﹣ 当且仅当t ＝24t，当t＝1x =时，取等号；∵[]14,7x =∈，∴20b ≥-，b的最小值为20-．所以，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20-． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数()9()log 31()xf x kx k =++∈R 为偶函数．（1）求k 的值；（2）函数()()991f x kx x g x m -=+⋅-，[0,1]x ∈最小值为0，求实数m 的值． 【答案】（1）14-；（2）13-．【分析】（1）根据函数()9()1031()xf xg kx k =++∈R 为偶函数，由()()f x f x =-，利用对数的运算求解；（2）由（1）知()g x 93x x m =⋅+，[0,1]x ∈，令3x t =，将函数转化为2y m t t =⋅+，分0m =，0m >时，106m >≥-，1126m -<<-，1164m ->>-，1142m ->>-，利用二次函数的性质讨论求解.【详解】（1）因为函数()()()931x f x log kx k =++∈R 为偶函数， 所以()()f x f x =-，即()()99log 31log 31()x xkx k x -++=++-， 也即()()99log 31log 312x xkx -+-+=-，故()931log2133x x xkx +=-+，所以9log 32xkx =-，即9log 32x kx =-， 即9log 32k =-，所以93311log 31log 3229log 4k =-=-=-． （2）由（1）知()4()991xf x xg x m +=+⋅-，()9log 3199193x x x x m m +=+⋅-=⋅+，[0,1]x ∈，令3x t =，因为[0,1]x ∈，所以[1,3]t ∈， 则2y m t t =⋅+，当0m =时，y t =在[1,3]上是增函数，min 1y =不合题意， 当0m >时，对称轴102x m=-<， 2y m t t =⋅+在[1,3]上是增函数，min 10y m =+=，1m =-矛盾，当0m <时，对称轴102x m=->，2y m t t =⋅+， 若132m ≤-，即106m >≥-时，y 在[1,3]上是增函数，min 10y m =+=，1m =-矛盾， 若112m ≥-，即12m ≤-时，y 在[1,3]上是减函数，min 930y m =+=，13m =-矛盾，若1132m<-<，即1126m -<<-时， 若122m -≥-，即1164m ->≥-时，min 10y m =+=，1m =-矛盾， 若122m -<，即1142m ->>-时，min 930y m =+=，13m =-， 综上所述，m 的值为13-．【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 21．函数()cos()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）解关于x 的不等式()1f x ≥． 【答案】（1）3()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）44|,3933x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由图可知2A =，再由(0)2cos 3f ϕ==||2ϕπ<，得到ϕ，然后由33102249T T πππωω=<<=，结合10,09π⎛⎫⎪⎝⎭是上升中的零点求解； （2）由31()1cos 262x f x π⎛⎫≥⇔-≥⎪⎝⎭，利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）由图可知2A =，(0)2cos 3f ϕ=3cos 2ϕ=， ∵||2ϕπ<， ∴6π=ϕ或6π-∵33102249T T πππωω=<<=， 解得279205ω<<， 因为10,09π⎛⎫⎪⎝⎭是上升中的零点， 所以10292k ππωϕπ⋅+=-，k ∈Z 当6π=ϕ时，93134,55123k k ω⎛⎫=-⇒∈ ⎪⎝⎭，与k 为整数矛盾，舍去； 当6πϕ=-时，93117,510126k k ω⎛⎫=-⇒∈ ⎪⎝⎭，故1k =，32ω=，所以3()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）31()1cos 262x f x π⎛⎫≥⇔-≥⎪⎝⎭， 3223263x k k πππππ⇔-≤-≤+解得443933k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ,所以不等式()1f x ≥的解集是44|,3933x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0>ω. （1）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式； （2）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（3）在（1）的条件下的函数()y g x =的图像，区间[,]a b (,a b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.【答案】（1）()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）30,4⎛⎤⎥⎝⎦；（3）433π 【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得()g x ；（2）利用x 范围可求得x ω的范围，根据单调性可得不等式组2422232k k ωπππωπππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解不等式组求得3034k ω<≤+；由2342T ππ+≤可求得2411ω≤，两个范围取交集得到最终结果；（3）令()0g x =可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若b a -最小，知,a b 均为零点，此时在[](),a m a m Nπ*+∈恰有21m +个零点，从而得到在(]14,a b π+至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到,a b 满足的条件，进而求得所求的最小值.【详解】（1）()()2sin 2f x x = 2sin 263f x x ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2163f x x ππ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）0ω> ∴当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,43x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2422232k k ωπππωπππ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤+⎪⎩，k Z ∈，解得：3034k ω<≤+，k Z ∈又211234122T ππππω+=≤= 2411ω∴≤ 304ω∴<≤ 即ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（3）令()0g x =得：1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 72236x k πππ∴+=+或112236x k πππ+=+，k Z ∈解得：512x k π=π+或34x k ππ=+，k Z ∈∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π若b a -最小，则,a b 均为()g x 的零点，此时在区间[],a a π+，[],2a a π+，…，[](),a m a m N π*+∈分别恰有3,5,,21m ⋅⋅⋅+个零点∴在区间[],14a a π+恰有214129⨯+=个零点 (]14,a b π∴+至少有一个零点()143b a ππ∴-+≥，即431433b a πππ-≥+=检验可知，在5543,12124πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，满足题意b a∴-的最小值为43 3π【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.。
