离散型随机变量
——分布列、期望与方差
从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题
着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差
1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:
如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.
如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。 (3)离散型随机变量的分布列:
设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,
,)i n =,
则下表:
称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:
①0i p >(1,2,
,)i n =；②
1
1n
i
i p
==∑(1,2,,)i n =.
③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:
(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =++
+,叫做这个离散型随
机变量X 的均值或数学期望(简称期望).
(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
3.离散型随机变量的方差:
(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-+
+-
叫做这个离散型随机变量X 的方差.
(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).
(3)()D X
的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.
4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=
二、条件概率与事件的独立性:
1.条件概率:
对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.
把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性
如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.
如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发
生的概率的积,即12
12()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.
三、几类典型的概率分布:
1.两点分布:
如果随机变量X 的分布列为
其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.
注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==
2.超几何分布:
一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率
为C C ()C m n m
M N M
n N
P X m --==
(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.
记为:(,,)X H N M n .
注:();M
E X n N
=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=
-. 3.二项分布:
(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.
在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)k
k n k n n P k p p -=-(0,1,
,)k n =.
(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么
在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q
-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:
由于表中第二行恰好是二项展开式00111
()C C C C n n n k
k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++
各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:
若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.
4.几何分布:
(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.
“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.
如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么1123
11231()()()()()
()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.
(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
记作(,),X
g k p
