浙教版数学八年级下册解码专训一：巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值

最新浙教版八下二次根式题型归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母；⑶ 分母中不含根式。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：（ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ）5. 二次根式的运算：（ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， • 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．= ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）．（ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， • 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1 、概念与性质例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）．例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（ 2 ）例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（）A ． 1) 2)B ． 3) 4)C ． 1) 3)D ． 1) 4)例 4 、已知：例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2 、二次根式的化简与计算例 1 . 将根号外的 a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例 2 . 把（ a － b ）化成最简二次根式例 3 、计算：例 4 、先化简，再求值：，其中 a= ， b= ．例 5 、如图，实数、在数轴上的位置，化简：3 、在实数范围内分解因式例 . 在实数范围内分解因式。

解码专训一：巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值名师点金：本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含开得尽方的因数或因式；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子不一定是二次根式的是( ) A .3a 2 B .x 2＋1 C .－3x(x ≤0) D .－x 2＋8x －16利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围2．无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义，化简式子（m －3）2＋（4－m ）2.利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？ 412－402，8－x 2，22，x 2－4x ＋4(x>2)，－x 12x，0.75ab ，ab 2(b>0，a>0)，9x 2＋16y 2，（a ＋b ）2（a －b ）(a>b>0)，x 3，x3.4．化简下列各式：(1) 1.25； (2)4a 3b ＋8a 2b(a ≥0，b ≥0)；(3)－nm 2(mn ＞0); (4)x －y x ＋y(x ≠y)．利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值5．如果最简根式b －a3b 和2b －a ＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么( )A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－26．若最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，则代数式－3a2b ＋(3a ＋2b)2的值为________． 7．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围．8．若m ，n 均为有理数，且3＋12＋34＝m ＋n 3，求(m －n)2＋2n 的值．解码专训二：比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x ＝n ＋3－n ＋1，y ＝n ＋2－n ，试比较x ，y 的大小．特殊值法7．用“<”连结x ，1x ，x 2，x.(0<x<1)定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．解码专训三：常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化简到最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．估算法1．估计32×14＋18的运算结果应在( )A ．5到6之间B ．6到7之间C ．7到8之间D ．8到9之间2．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．(第2题)公式法3．计算：(5＋6)×(52－23)．拆项法4．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.(提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2))换元法5．已知n ＝2＋1，求n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4的值．整体代入法6．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋yx －4的值．因式分解法7．计算：2＋32＋6＋10＋15.8．化简：x y＋y xx＋2xy＋y(x≠y)．配方法9．若a，b为实数，且b＝3－5a＋5a－3＋15，试求ba＋ab＋2－ba＋ab－2的值．辅元法10．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x＋yx＋z＋x＋2y的值．先判后算法11．已知a＋b＝－8，ab＝8，化简b ba＋aab并求值．解码专训四：巧用二次根式的双重非负性化简求值名师点金：对于二次根式a，有两个“非负”：第一是a≥0，第二是a≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．利用被开方数a ≥0解决有关二次根式的问题1．若3x －4－4－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13y 2，则3x －12y 的值为________．巧用a ≥0求代数式的值2．已知2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，求a ＋b －ab 的值．巧用a ≥0求最值3．当x 取何值时，9x ＋1＋3的值最小？最小值是多少？巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题4．设等式a （x －a ）＋a （y －a ）＝x －a －a －y 成立，且x ，y ，a 互不相等，求3x 2＋xy －y 2x 2－xy ＋y 2的值．解码专训五：利用二次根式解与直角三角形有关的问题名师点金：利用二次根式解与直角三角形有关的问题，通常借助勾股定理进行计算．常见的题型有：求直角三角形中的某些线段长，求三角形(四边形)的周长和面积，求平面直角坐标系中点的坐标，解决实际问题等．利用二次根式求直角三角形中的线段长1．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，BC ＝2，求斜边AB 上的高CD.(第1题)利用二次根式求四边形的周长和面积2．一个直角梯形的上底是22cm，下底为18cm，高为3cm，求这个梯形的面积和周长．利用二次根式求解平面直角坐标系中点的坐标3．已知在Rt△OAB中，∠B＝90°，A点的坐标为(12，0)，BA＝2.把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．(第3题)利用二次根式求解实际问题4．如图，在水塔O的东北方向10 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向202m处有一建筑工地B，在AB间铺设一条直通的水管，求水管的长.(第4题)解码专训六：二次根式中常见五种热门考点名师点金：本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质、二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查，二次根式的内容是中考热点之一．二次根式有意义的条件及性质1．(中考·南京)若式子x ＋1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 2．(中考·黔南州)实数a 在数轴上对应的点的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝________.(第2题)3．若x －3与y ＋2互为相反数，求6x ＋y 的平方根．二次根式的化简及运算4．(中考·徐州)下列运算中错误的是( ) A .2＋3＝ 5 B .2×3＝ 6 C .8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 5．若最简根式a ＋b3a 与a ＋2b 可以合并，则2a ＋3b ＝________.6．(中考·张家界)计算：(5－1)(5＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8.二次根式的化简求值7．(中考·呼和浩特)先化简，再求值：2a 5a 2b ＋3b 10ab 2÷72a 3b 2，其中a ＝52，b ＝－12.8．(中考·荆门)先化简，再求值：a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a ÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b－3|＝0.二次根式综合应用9．等腰三角形的一边长为23，周长为43＋7，求这个等腰三角形的腰长．10．如图，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为5∶3，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE＝30 m，坝顶宽CD＝10 m，求大坝的截面周长．(第10题)二次根式的规律性探究11．(中考·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是__________．(用含n的代数式表示)解码专训七：思想方法荟萃分类讨论思想名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的取值范围下化简二次根式．1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．数形结合思想名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．2．已知实数m，n在数轴上对应的点的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.(第2题)类比思想名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在不同事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算的方法和顺序，运算公式和运算律同样适用．3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．转化思想名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题得到解决，这就是转化思想．在二次根式中，常把二次根式的乘法运算转化成乘方运算，巧求它们的积．4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016.答案解码专训一1．D点拨：3a2，x2＋1，－3x(x≤0)是二次根式，－x2＋8x－16可化为－（x－4）2，只有当x＝4时，才是二次根式，故－x2＋8x－16不一定是二次根式．2．解：∵x2－4x＋m＝（x－2）2＋m－4，且无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，∴m－4≥0，∴m≥4.当m≥4时，（m－3）2＋（4－m）2＝(m－3)＋(m－4)＝2m－7.3．解：8－x2，22，9x2＋16y2，x3是最简二次根式．412－402，x2－4x＋4(x＞2)，－x 12x，0.75ab，ab2(b＞0，a＞0)，（a＋b）2（a－b）(a＞b＞0)，x3不是最简二次根式．∵412－402＝（41－40）×（41＋40）＝81＝9，x2－4x＋4＝（x－2）2＝x－2(x>2)，－x12x ＝－x 2x 2x·2x＝－122x ， 0.75ab ＝0.25×3ab ＝123ab ， ab 2＝b a(b>0，a>0)，（a ＋b ）2（a －b ）＝(a ＋b)a －b(a>b>0)， x 3＝3x 3， 4．解：(1) 1.25＝54＝52.(2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b(a ≥0，b ≥0)． (3)由－nm 2≥0，mn ＞0知m ＜0，n ＜0，∴－nm 2＝－n m 2＝－n －m＝－－n m (mn>0)． (4)x －y x ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋yx －y (x ≠y)．5．A 点拨：由题意得⎩⎨⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.故选A . 6．1 点拨：∵最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，∴5a ＋b ＝2a －b ，∴3a ＋2b ＝0，∴3a ＝－2b.∴－3a2b ＋(3a ＋2b)2＝1＋0＝1.7．解：由题意得3a －8＝17－2a. ∴a ＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可． ∴20－2x ≥0，∴x ≤10. 8．解：∵3＋12＋34＝3＋23＋32＝723＝m ＋n 3，∴m ＝0，n ＝72.∴(m －n)2＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－722＋2×72＝494＋7＝774.解码专训二1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2，又因为6＋11>0，14＋3>0， 所以6＋11＞14＋ 3. 2．解：∵4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63， 63≈10.39，∴11－63＜1，又∵4－3>0，2＋3>0， ∴4－3＜2＋ 3. 3．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0， ∴115＋14<114＋13，即15－14＜14－13. 4．解：∵12－3＝2＋3，13－2＝3＋2， 2＋3＞3＋2， ∴12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0， 所以19－33>0，所以19－13>23.6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝n ＋3＋n ＋12＞0，1y ＝1n ＋2－n ＝n ＋2＋n 2＞0，∵n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0， ∴1x ＞1y ＞0，∴x ＜y.7．解：取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x ＝4， ∴x 2＜x ＜x ＜1x .8．解：∵5－a ≥0，∴a ≤5，∴a －6＜0，∴3a －6＜0， ∴5－a ＞3a －6.解码专训三1．C 点拨：原式＝42×12＋32＝22＋32＝5 2. ∵2≈1.414，∴52≈7.07. ∵7＜7.07＜8，∴选C .2.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7. 3．解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3] ＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.4．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2） ＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3 ＝6－ 2.5．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4， 则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n.当n ＝2＋1时，原式＝2＋1.6．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－22，所以x ＋y ＝6，xy ＝1， 所以原式＝x 2＋y 2－4xy xy ＝（x ＋y ）2－6xyxy＝30.7．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－25－2＝5－23.8．解：原式＝xy （x ＋y ）（x ＋y ）2＝xyx ＋y ＝xy （x －y ）（x ＋y ）（x －y ）＝x y －y x x －y .9．解：由二次根式的性质，得⎩⎨⎧3－5a ≥0，5a －3≥0，∴3－5a ＝0，∴a ＝35.∴b ＝15，∴a ＋b ＞0，a －b ＜0. ∴b a ＋ab ＋2－b a ＋ab －2＝（a ＋b ）2ab－（a －b ）2ab ＝a ＋b ab ab －b －aab ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab－b －a ab ab ＝2b ab. 当a ＝35，b ＝15时，原式＝215×35×15＝25.方法点拨：对于形如b a ＋a b ＋2或b a ＋ab －2的代数式都要变为（a ＋b ）2ab 或（a －b ）2ab 的形式，当它们作为被开方数进行化简时，要注意a ＋b 和a －b 以及ab 的符号．10．解：设x ＝k(k ＞0)，则y ＝2k ，z ＝3k ， ∴原式＝3k 4k ＋5k ＝32＋5＝15－2 3.11．解：∵a ＋b ＝－8，ab ＝8，∴a ＜0，b ＜0. ∴bba ＋aa b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab ＝－64－168＝－488＝－12 2.点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．解码专训四1．2 点拨：由题意知3x －4＝0，x －13y ＝0，所以x ＝43，y ＝4，代入求值即可． 2．解：由绝对值、二次根式的非负性，得|2a －4|≥0，a 2＋b －1≥0.又因为2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，所以⎩⎨⎧2a －4＝0，a 2＋b －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，则a ＋b －ab ＝2－3－2×(－3)＝5.3．解：∵9x ＋1≥0，∴当9x ＋1＝0，即x ＝－19时，9x ＋1＋3的值最小，最小值为3.方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．4．解：由题意知⎩⎨⎧a （x －a ）≥0，a （y －a ）≥0，x －a ≥0，a －y ≥0，解得a ＝0，代入已知等式得x －－y ＝0，所以x ＝－y ，所以x ＝－y ， 所以3x 2＋xy －y 2x 2－xy ＋y 2＝3x 2－x 2－x 2x 2＋x 2＋x 2＝x 23x 2＝13.解码专训五1．解：AC ＝AB 2－BC 2＝8－2＝6， ∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12CD·AB ， ∴CD ＝AC·BC AB ＝6×28＝62.方法规律：根据直角三角形的性质利用面积相等法、勾股定理计算．2．解：∵直角梯形的上底是22cm ，下底为18cm ，高为3cm ，∴直角梯形的两腰长分别为3cm ，（18－22）2＋（3）2＝5(cm )．∴梯形的面积为12(22＋18)×3＝526(cm 2)．梯形的周长为22＋18＋3＋5＝52＋3＋5(cm )．点拨：此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是梯形的面积公式、勾股定理，解题的关键是掌握梯形的面积公式．3．解：过点B 作BC ⊥x 轴交x 轴于点C ，如图，由题意，得OA ＝12，AB ＝2，∵∠OBA ＝90°，∴OB 2＝OA 2－AB 2＝12－4＝8，解得OB ＝2 2.∵12BC·OA ＝12OB·BA ，∴BC ＝2×2212＝263.在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2－BC 2＝433，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，263.(第3题)(第4题)4．解：∵A 在水塔O 的东北方向10 m 处，B 在水塔O 的东南方向202m 处，∴如图，建立平面直角坐标系可得A(52，52)，B(20，－20)，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两垂线相交于点C ，则AC ＝(20＋52)m ，BC ＝(20－52)m ，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝（20＋52）2＋（20－52）2＝900＝30(m )，即水管的长为30 m .答：水管的长为30 m .点拨：本题考查了二次根式的应用，求出点A ，B 的坐标并作辅助线构造出以AB 为斜边的直角三角形是解题的关键．解码专训六 1．x ≥－1 2.13．解：由题意，得x －3＋y ＋2＝0，∴x －3＝0，y ＋2＝0，解得x ＝3，y ＝－2，则6x ＋y ＝16，∴6x ＋y 的平方根为±4.4．A 5.56．解：原式＝5－1－9＋2－1－1＋22＝－7＋3 2.7．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25ab ＋310ab ×2a 3b 27＝25ab ×2a 3b 27＋310ab ×2a 3b 27＝4a 2b 35＋3a 2b 35＝a 2b 5.当a ＝52，b ＝－12时，原式＝－18.8．解：∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＋1＝0，b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝ 3.原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]÷b 2a （a －b ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a －b －a a －b ·a （a －b ）b 2＝b a －b ·a （a －b ）b 2＝a b ＝－13＝－33.9．解：当腰长为23时，底边长为43＋7－2×23＝7，∵23＋23＝43＝48＜7，∴此时不能组成三角形；当底边长为23时，腰长为(43＋7－23)÷2＝3＋72，∵此时任意两边之和大于第三边，∴能组成三角形．综上所述，这个等腰三角形的腰长为3＋72. 10．解：∵DE ＝30 m ，AE ＝30÷53＝18(m )， ∴AD ＝AE 2＋DE 2＝182＋302＝634(m ) ∵CD ＝10 m ，∴EF ＝10 m .又∵CF ＝DE ＝30 m ，FB ＝30÷12＝60(m )， ∴CB ＝CF 2＋FB 2＝302＋602＝305(m )．∴周长＝AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝634＋10＋305＋60＋10＋18＝634＋305＋98(m )． 答：大坝的截面周长为(634＋305＋98)m . 11.n 2－2.解码专训七1．解：（a ＋2）2－（a －1）2＝|a ＋2|－|a －1|，分三种情况讨论： 当a ≤－2时，原式＝(－a －2)－[－(a －1)]＝－a －2＋a －1＝－3； 当－2＜a ≤1时，原式＝(a ＋2)＋(a －1)＝2a ＋1； 当a ＞1时，原式＝(a ＋2)－(a －1)＝3.点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．2．解：由m ，n 在数轴上对应的点的位置可知m ＞n ，0＜m ＜1，n ＜－1. ∴m －n ＞0，m －1＜0，n ＋1＜0.∴原式＝|m|＋|n|＋|m －n|＋|n ＋1|－|m －1|＝m －n ＋m －n －1－n －(1－m)＝m －n ＋m －n －1－n －1＋m ＝3m －3n －2.方法点拨：在利用a 2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．3．解：(72＋26－3)(26－72＋3) ＝[26＋(72－3)][26－(72－3)] ＝(26)2－(72－3)2 ＝24－(98＋3－146) ＝146－77.4．解：(3＋2)2 015·(3－2)2 016 ＝[(3＋2)(3－2)]2 015·(3－2)＝1×(3－2)＝3－ 2.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

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知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三:1、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是2、如果代数式mnm 1+-有意义,那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=解题思路:式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =,y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若11x x ---2()x y =+,则x －y 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．33、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。

浙教版八年级下册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值. 2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（2016春•天津期末）已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y 的值，然后代入x﹣y2求值即可．【答案与解析】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．举一反三【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三 【变式】（2014春•铁东区校级月考）问题探究： 因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： （1）； （2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3. （2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x ≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x ≤3，可以判断1﹣x ≤0；x ﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解． 【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x ﹣3≤0，∴=x ﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．【：： 381279 经典例题4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=． 【答案】a b c ++. 【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->,即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++. 【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<a <b ,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b a a b a b a b +--+=1()()()a b b a a b a b ab a b a b +-⨯+⨯-++ =1a b ab-+. 【总结升华】2a a =成立的条件是a >0;若a <0,则2a a =-.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C. a =1，b =-1 D. a =1，b =1【答案】 D. 【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴，∴a =1，b=1.二次根式的概念和性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 2.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数 3. 把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m -C ．m --D ．m -4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①2(4)4-=；②（﹣）2=16；③（）2=4；④2(4)4-=-．正确的是（ ） A.①② B.③④ C.②④ D.①③5. 若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ） A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a 二. 填空题7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则.8. （2015•江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12. （2016•乐山）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a ﹣2|的结果为 ．三. 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值. 14. 若时，试化简.15. （2015春•武昌区期中）已知a 、b 、c 满足+|a ﹣c+1|=+，求a+b+c 的平方根．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.【解析】依题意得：x ﹣1＞0，解得x ＞1． 2．【答案】B. 3．【答案】C. 4．【答案】D. 【解析】解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确； ④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D ．5．【答案】D. 【解析】 因为=22(4)a +222(4)4A a a =+=+.6．【答案】 A.【解析】因为a ≤0，所以a --=23()()a a a a ---=---=--二、填空题 7.【答案】1；1. 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+又，所以1b =. 8.59.5【解析】23100x x x -+=∴≠,13,x x ∴+=即21()9x x+=,2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3.【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ . 12．【答案】 3.【解析】由数轴可得：a ﹣5＜0，a ﹣2＞0，则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2=3．三、解答题 13.【解析】因为1+21122y x x =-+-，所以2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12则2234x xy y ++=.14.【解析】 因为，所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-. 15.【解析】解：由题意得，b ﹣c ≥0且c ﹣b ≥0，所以，b ≥c 且c ≥b ， 所以，b=c ，所以，等式可变为+|a ﹣b+1|=0，由非负数的性质得，，解得，所以，c=2， a+b+c=1+2+2=5， 所以，a+b+c 的平方根是±．二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

浙教版八下数学各章节知识点及重难点（改正版）第一章二次根式一.知点 :1.二次根式的定：形如（ a≥0）的代数式叫做二次根式。

如：，, ，，5，-3 ⋯⋯2.二次根式的性 :⑴≥ 0 （两重非性）；⑵2（ a ≥）aa a0⑶a2∣a∣； (4)ab×（ a 0, b0 ）；(5)a÷（ a 0, b0 ）.b：二次根式拥有两重非性。

3.最二次根式：被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。

足三个条件的二次根式称最二次根式。

4.同二次根式：化成最二次根式后，被开方数同样的几个二次根式称同二次根式。

5.二次根式的运算（1）加（减）法：先化，再归并。

（2）乘（除）法：先乘除，再化。

6．分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。

就是将分母含有根号的代数式变为分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。

（1）形如：（2）形如： 27.对于拥有两重根号的二次根式。

如：二.要点和难点：要点：二次根式的运算。

难点：混淆运算以及应用。

第二章一元二次方程一.知识点：1. 定义：形如ax2bx c0(a0) 的方程叫做一元二次方程，此中，a叫做二次项系数， bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数， c 叫做常数项。

例：若方程 (m2) x|m|3mx10 是对于x的一元二次方程，则（）A．m 2B．m=2C．m= —2D．m 22.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法 ; （5）换元法。

例：按要求解方程（1）用配方法解方程： x2 —4x+1=0（2）用公式法解方程： 3x2+5(2x+1)=0（3）用因式分解法解方程： 3(x-5)2=2(5-x)3.一元二次方程根的鉴别式：△=b24ac .△>0, 方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。

第1章 二次根式1.1二次根式【教学目标】知识与技能1．经历二次根式概念的发生过程；2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。

过程与方法1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。

2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。

3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及文字表述能力情感、态度与价值观1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。

3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑理解的能力。

【教学重难点】重点：二次根式的概念，会求二次根式中字母的取值范围。

难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围．教学过程：【导学过程】 【知识回顾】求一求：（1）3的平方根是_____;（2）3的算术平方根是_____; （3）-5有意义吗？为什么？0呢？归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________;②一个非负数a 的算术平方根可以表示为_______________. 【情景导入】根据图1—1所示的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。

学生写出表示算术平方根的式子。

问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式特征。

从而引出课题。

【新知探究】1、二次根式的概念引导学生概括二次根式的定义：象 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。

为了方便起见，我们把一个数的算术平方根（如3， ）也叫做二次根式。

2(3)b cm - 2cm acm图1—1 2scm 21πs b a ,3,42-+2、概念深化： 提问：9-，1a +是不是二次根式？1a +呢？议一议：二次根式1a +表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评。