9.11平方差公式 学案

《平方差公式》导学案河洛镇初中薛素梅王小霞学习目标：1、通过计算、小组讨论，能说出平方差公式的结构特点，能用语言和公式总结出平方差公式。

2、通过对几何图形的观察，能描述平方差公式的特征和由来，并体会数形结合的思想。

3、能运用平方差公式进行乘法运算。

学习重点：会运用平方差公式进行计算学习难点：平方差公式的灵活运用。

学习过程;一、复习旧知，感知新知。

1、多项式与多项式相乘2、根据多项式乘多项式的法则进行计算：(1)、（x+2）（x-2）; (2)、（1+3a）(1-3a) ; (3)、（x+5y）（x-5y）;二、小组合作，探究新知。

1、观察以上各式，它们的两个因式有什么特点？2、它们的运算结果与两个因式之间又有什么关系？同伴之间相互说一说。

3、再举两个例子说明你的发现。

4、因此，（a+b）（a-b）= 这个公式叫做。

用文字语言叙述。

5、你能从此图中发现平方差公式吗？思考：(1) 在图中①、②、③、④区域的面积分别怎么表示？(2)在图中（a+b）(a-b)表示哪一区域的面积？(3)在图中(a2-b2)表示哪一区域的面积？(4) 图中（a+b）(a-b)与(a2-b2)表示的面积之间是什么关系？三、展示自我，运用新知。

1、下列各式哪些可以运用平方差公式计算。

A、（a+b）（a-b）B、（x+y）（-y+x）C、（ab-3x）（-3x-ab）D、（-m-n）（m+n）2、运用公式进行计算。

（1）、（3x+2）（3x-2）（2）、（b+2a）（2a-b）（3）、（-x+2y）（-x-2y）（4）、（-2m-n）（2m-n）3、填空。

（1）、（3+2a）（3-2a）= （2）、（4a-1）（）=16a2-1（3）、（2x+ ）（-3y）=4x2-9y2（4）、（）（x-1）=1-x2四、延伸迁移，深化新知。

（1）（a-b）（a+b）（a2+b2）(2)（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）五、自悟自得本节课你学会了那些知识？六、达标测试1、选择题(1)下列各式，可以利用平方差公式计算的是（）A （a-nb）（nb-a）B（-1-a）（a+1）C （-m+n）（-m-n）D（ax+b）（a-bx）(2)、（m2-n2）-（m+n）（m-n）等于（）A -2n2B 0C 2m2D2m2-2n22、计算:（1）（a+3b）（a-3b）（2）（3+2a）（-3+2a）（3）498 ×502 （4）（3x+1）（3x-1）+5x(x+1)七、课后选做先化简，再求值（2x-y）（y+2x）-（2y+x）（2y-x）,其中x=1, y=2。

9.11 平方差公式 巩固案知识梳理1、什么叫平方差公式？它的特点是什么？两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)= a 2-b 2。

平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。

（3）公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

2、平方差公式注意哪些问题？有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式。

如(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a 2-b 2)，(a+b-c)(b-a+c)=[b+(a-c)][b-(a-c)]=b 2-(a-c)2。

基础训练1、下列计算中可以用平方差公式的是（ ）A 、(a+2)(-a-2)B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121 C 、(-x+y)(x-y) D 、(x 2-y)(x+y 2) 2、下列各式计算中，结果正确的是（ ）A 、(2+x)(x-2)=x 2-2B 、(x+2)(3x-2)=3x 2-4C 、(ab-c)(ab+c)=a 2b 2-c 2D 、(-x-y)(x+y)=x 2-y 23、用平方差公式计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x 327732 229449x y - （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 221221 22441y x +- （3）(3a 2b-1)(-1-3a 2b) 1-9a 4b 2（4）(x 2-3y 3)( 3y 3-x 2) -x 4+6x 2y 3-9y 6（5）(x-5y)(x+5y) x 2-25y 2（6）(-a 2b-3b)(a 2b-3b) 9b 2-a 4b 2（7）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 4141 22161b a -（8）99.8×(-100.2) -9999.96（9）1.12×0.92 0.98014、三个连续奇数中，如果中间一个为m ，它的平方比另外两个数的积大多少？45、如果x+y=9，x-y=3，则2x 2-2y 2的结果是 。

9.11平方差公式（1）执教：澧溪中学 姚久龙教学目标：1．理解并掌握“平方差公式”，会熟练运用该公式进行乘法运算；2．在探索平方差公式的过程中，体会从一般到特殊的认知规律，感悟数形结合 的思想方法；3．认识运用乘法公式的意义，提高学习数学的兴趣，养成善于观察、求实、认 真的好习惯. 教学重点和难点：1．平方差公式的运用.2．掌握平方差公式的特征，判断是否可以运用公式. 教学过程：一、复习思考： 1．计算下列各题：（1）)2)(1(+-x x （2）)1)(1(+-x x （3）)2)(2(+-x x （4）)12)(12(-+x x （5）))((b a b a -+ （6）98102⨯ 2．思考：1、观察上面（2）—（5）题的运算，两个因式有何特点？2、你能发现结果与两个因式的各项有什么关系吗？3、你发现的规律对一般情况都成立吗？ 二、探求新知：1．认识平方差公式：在学生回答各自的发现后，归纳出平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。

（板书） 即 22))((b a b a b a -=-+问：符合平方差公式的条件有那些？你能举一个符合平方差公式的例子吗？在)31)(13(x x -+、)2)(2(n m n m --+-中找出公式中对应的a 、b归纳：a 、b 可以表示单独的一个数或字母，也可以表示一个代数式，符号相同 的在前，符号相反的在后3．运用平方差公式：例1：运用平方差公式计算：)5)(5)(1(-+x x ； )21)(21)(2(a a +-； )2131)(2131)(3(b a b a -+； )3)(3)(4(y x y x +---解：)5)(5)(1(-+x x )21)(21)(2(a a +-=225-x =22)2(1a - =252-x =241a -)2131)(2131)(3(b a b a -+ )3)(3)(4(y x y x +---=22)21()31(b a - =22)3()(y x --=224191b a - =229y x -学生先尝试，在和老师一起完成，强调解题的规范，进行示范板书 试一试：计算)32)(32)(1(y x y x +--- )32)(23)(2(xy xy -+ )32)(32)(3(b a b a ---))()(4(n m n m +-- )4)(2)(2)(5(22b a b a b a +-+归纳：利用平方差公式可以使计算简便，但第 4小题不能用平方差公式，强调要符合公式的特征才能用公式 4．加深理解：前面运用多项式相乘的法则对平方差公式进行了推导，你是否能用图形的面积关系来说明平方差公式呢？三、巩固练习： 1.填空：(1)（ — ）25941)5321(2-=+m m ；；(2)（a 5-+ ）（ b 3-）=-225a (3) +ab 3( ）（21-+ ）= + ； (4)（ + ）（ — ）=228149n m -； 2.计算(1) )3)(3(b a b a -+ (2) )23)(23(a a +-+ (3) )54)(54(y x y x +- (4) )52)(52(22--+-x x(5) ))()((22y x y x y x +-+ (6) )21)(41)(21(2++-x x x四、课堂小结：问：通过这节课学习，你学到了什么？你还有什么疑惑?归纳：1．平方差公式：两数和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.即(a ＋b ) (a －b )= a 2－b 22．公式中的a 、b 表示的是任意的数或代数式；a 、b 并不是以先后为准，而是以符号为准，相同的数相当于a ，互为相反的数相当于 b ，即符号相同在前．符号相反在后．3．运用平方差公式进行运算可以简便，但一定要符合公式特征才可以用，要注意观察，对不能用公式的问题，用乘法法则解决．思考：计算98102⨯是否有更简便的方法？ 五、作业布置：基本题：练习册：P21 9.11 第1、2、3题提高题：1．计算： )1()1)(1)(1)(1(242n a a a a a ++++- （n 为正整数）2．计算：)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++ 课后反思：9.11（1）平方差公式（学生用）1、计算下列各题：（1）)2)(1(+-x x （2）)1)(1(+-x x （3）)2)(2(+-x x（4）)12)(12(-+x x （5）))((b a b a -+ （6）98102⨯3．运用平方差公式计算)32)(32)(1(y x y x +--- )32)(23)(2(xy xy -+ )32)(32)(3(b a b a ---))()(4(n m n m +-- )4)(2)(2)(5(22b a b a b a +-+4.填空：(1)（ — ）25941)5321(2-=+m m ；； (2)（a 5-+ ）（ b 3-）=-225a(3) +ab 3( ）（21-+ ）= + ； (4)（ + ）（ — ）=228149n m -； 5.计算(1))3)(3(b a b a -+ (2))23)(23(a a +-+(3))54)(54(y x y x +- (4) )52)(52(22--+-x x(5) ))()((22y x y x y x +-+ (6) )21)(41)(21(2++-x x x4．思考题：１．计算： )1()1)(1)(1)(1(242n a a a a a ++++- （n 为正整数） ２．计算：)12)(12)((12)(12)(12(16842+++++。

二、自主探究
1.计算下列各式：
(1)(a+1)(a-1) =a2-a+a-12=a2-1
(2)(a+2)(a-2) =a+-2a+2a-22=a-4
(3)(a+3)(a-3) =a2-3a+3a-32=a2-9
2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能计算(a+b)(a-b)吗？
【归纳结论】两数和与两数差的积，等于它们的平方差
平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2
3.如图，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（b），你能用这两个图来解释平方差公式吗？
①请表示图1中阴影部分的面积.
②将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
【归纳结论】(a+b)(a-b)＝a2-b2
4.判别平方差公式的基本特征。

平方差公式和完全平方公式学案知识梳理：1. 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．2. 完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++．口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央．例：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+① ②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦ 223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--练习题1. 填空：①_________；①__________；①_____________；①=_______-_______=___________； ①_______-_______=__________； ①；①；①(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=( )2-( )2=_______；①；①．2. 计算：①； ①； 22(4)(4)( )( )x x -+=-=22(32)(32)( )( )a b a b +-=-=22()()( )( )m n m n ---=-=112244x y x y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()() n na b a b +-=22(33)(33)( )( )a b a b +++-=-22(33)(33) ( )( )a b a b -++-=-22(23)( )49x y x y +=-22(3)( )9x y y x +=-(8)(8)ab ab +-112233a b b a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①； ①；⑤2201720162018-⨯．3. ①_______________； ②___________； ③212mn n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________________=______________； ④________________；⑤________________；⑥=2()=______________________；⑦=2()=______________________；⑧_________．4. 下列各式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5. 计算：①；②；③；④．6. 运用乘法公式计算：①；22(2)(2)(4)a b a b a b -++10397⨯222(25)( )2( )( )( )x y +=++=22211( )2( )( )( )32m ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭22()( )x y -+==22()( )m n --==2(34)x y -+2142x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭224x y ++2(2)x y =-222(2)42a b a ab b -=-+222()x y x y +=+2221124a b a ab b ⎛⎫--=++ ⎪⎝⎭22()()x y x y x y --+=-2(21)t --22(2)4m n n +-2()a b c --21022(2)4()()x y x y x y --+-②()()()()a b a b a b a b --+----；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．7. 若222(3)x y ax bxy y -=++，则a =______，b =_________．8. 若2222(2)4x y a x xy y -=-+，则a =______．9. 若，则a =______．10. 若222()816x ky x xy y -=++，则k =______．11. 若是完全平方式，则a =______．12. 若是完全平方式，则m =______13. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 14. 下列各式一定成立的是（ ） A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭ D ．222(2)4x y x y +=+ 15. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．16. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．17. 计算： ①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-； (23)(23)x y x y +--+()()a b c a b c -+---3()a b +()()a b c a b c -+--+2210298-2222(1)(1)n n +--222()96ax y x xy y +=-+229x axy y ++2244x xy my -+⑤296；⑥2112113111-⨯．18. 运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+； ②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑥2210199-．【参考答案】1. ①x ；4；216x -；②3a ；2b ；2294a b -；③n -；m ；22n m -； ④2(2)y -；214x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；221416y x -； ⑤ 2()n a ；2b ；22n a b -； ⑥3a b +；3；⑦3a ；3b -；⑧22m n -；2m ；2n ；44m n -；⑨23x y -；⑩3y x -2. ①2264a b -；②22149b a -；③4416a b -；④9 991；⑤13. ①2x ；2x ；5y ；5y ；2242025x xy y ++； ②13m ；13m ；12；12；2111934m m -+；③2211()2()22mn mn n n -⋅⋅+；222214m n mn n -+； ④x y -；222x xy y -+；⑤m n +；222m mn n ++；⑥3x -4y ；2292416x xy y -+； ⑦142x y +；2211644x xy y ++；⑧(4)xy - 4. C5. ①2441t t ++；②24m mn +；③222222a b c ab ac bc ++--+； ④10 4046. ①245xy y -+；②222ab b -；③224129x y y -+-；④2222c a ab b -+-；⑤332233a b a b ab +++；⑥222222a ab b ac bc c -+--+-；⑦800；⑧24n7. 9；-68. ±29. -310. -411. 6±12. 113.C 14.B 15.±3 16.-217.①22149n m -②44x y -+ ③2912x xy+ ④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 18.①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400。

平方差公式教案(公开课)章节一：平方差公式的引入1. 教学目标让学生通过实际例子，感受平方差公式的实际意义，培养学生的数学思维能力。

2. 教学内容通过具体的数字例子，引导学生发现平方差公式的规律。

3. 教学步骤(1) 教师出示一组数字，如2^2, 3^2, 4^2等，引导学生计算它们的差值。

(2) 学生发现，这些差值都可以表示为平方差的形式，如2^2 1^2, 3^2 2^2, 4^2 3^2等。

4. 教学评价通过具体的数字例子，检查学生对平方差公式的理解和掌握程度。

章节二：平方差公式的应用1. 教学目标让学生掌握平方差公式的应用，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。

2. 教学内容通过具体的数字例子，引导学生掌握平方差公式的应用。

3. 教学步骤(1) 教师出示一组数字，如2^2, 3^2, 4^2等，引导学生运用平方差公式计算它们的差值。

(2) 学生运用平方差公式，计算出这些差值，如2^2 1^2 = (2 + 1)(2 1) = 3，3^2 2^2 = (3 + 2)(3 2) = 5，4^2 3^2 = (4 + 3)(4 3) = 7等。

4. 教学评价通过具体的数字例子，检查学生对平方差公式的应用理解和掌握程度。

章节三：平方差公式的拓展1. 教学目标让学生掌握平方差公式的拓展，能够运用平方差公式解决更复杂的问题。

2. 教学内容通过具体的数字例子，引导学生掌握平方差公式的拓展。

3. 教学步骤(1) 教师出示一组数字，如2^2, 3^2, 4^2等，引导学生运用平方差公式计算它们的差值。

(2) 学生运用平方差公式，计算出这些差值，如2^2 1^2 = (2 + 1)(2 1) = 3，3^2 2^2 = (3 + 2)(3 2) = 5，4^2 3^2 = (4 + 3)(4 3) = 7等。

4. 教学评价通过具体的数字例子，检查学生对平方差公式的拓展理解和掌握程度。

章节四：平方差公式的运用1. 教学目标让学生能够灵活运用平方差公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。