《利用平方差公式因式分解》导学案

课题: 用公式法平方差公式因式分解 课 型：新授 课时:第1课时【学习目标】1. 使学生进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式因式分解的方法。

.2. 掌握提公因式法、平方差公式法因式分解的综合运用。

【学习重点】：用平方差公式法进行因式分解.【学习难点】：把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式因式分解 【学习过程】（一）复习引入（约5分钟，独立完成）1、运用平方差公式计算：(a+b)(a-b) =1) .（a+2)(a-2)= ；2). (-4s+t)(t+4s)= 3) .( 2n+ m)(2n- m)= ； 4). (x+2y) (x-2y) = 2、快速热身1）.236()= 2）. 224()m = 3）.2225()n = 4）.229()16c = 5）.22264()x y = 6）.442100()p q =（二）引导自学 初步达标 (约15分钟，独立完成)自学课本116页思考下面问题： 读书思考：1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的平方差公式有什么区别和联系？2.你能用平方差公式把多项式362-x 因式分解吗?尝试用你的发现把下面多项式因式分解。

(1)()()()()_________36222-+=-=-x .(2)_________________________162==-a3.归纳:我们把整式乘法的平方差公式:(a+b)(a-b)=反过来就得到因式分解的平方差公式:________________22=-b a用文字描述为: . 4.下列多项式能用平方差公式分解因式的是①22y x + ②24a -+ ③22x y - ④222y xy x -+ ⑤2249m n - 5.运用新知解决问题 [例3]分解因式（1）942-x （2）()()22x q x p +-+变式练习把下列多项式分解因式.（1）2916x - （2） ()()2222a a +--[例4]因式分解：（1）44y x - （2）3a b ab -变式练习把下列多项式分解因式.（1）44a b - （2） 3³12 3x y xy -（三）合作探究 达成目标 (约8分钟，独立完成) 1.因式分解的平方差公式:_________________________22=-b a2.学习小结:公式法因式分解的基本步骤: 294x -(1)找平方 ：()()22- (2)看符号：（ ）（ ） 两个数的平方差 (3)代公式：()()22a b a b a b -=+- ()()()()22294________x -=-=+-(4)查正负、审系数4.利用上述归纳的特征对下列各式因式分解：（1）2425x -= （2）22216a b c -=(3)21p -+=____________ (4) 2()4a b +-=______________(5)328xx -=________ (6) y y x 442-=____________（四）课堂小结(约2分钟，独立完成)⑴对自己说我的收获 。

第1课时 利用平方差公式进行因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式以下多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．应选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】 利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4. 解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )； (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】 利用因式分解整体代换求值x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】 利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的根本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，那么可以使运算简便．【类型三】 因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影局部的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影局部的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．那么S 阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm 2)．答：所有阴影局部的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提〞得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

平方差公式法因式分解教学设计【教材依据】本节课是苏科版数学七年级下册第九章整式乘法与因式分解第五节公式法第二课时内容。

【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。

它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。

本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。

它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数，高中学习一元二次不等式和分式不等式等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！【学情分析】学生已有学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。

【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。

通过学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。

【教学目标】知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。

14.2.1 《平方差公式》导学案一、学习目标：1. 掌握平方差公式的推导及应用2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.二、新授课堂引入：王大爷租地的故事 知识点1 合作探究 得出公式问题1（1）(x+5)(x −5)= （2）(x+1)(x −1)=（3）(m+2)(m −2)2.得出公式 (a+b)(a-b) = 文字表述 ：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.3.验证公式 ：数形结合4.填空：初识公式知识点2 运用公式 巩固知识1.牛刀小试()()()23231-+x x ()()()b a b a -+222练一练 (1)(x+2)(x-2) (2)(a+3b)(a-3b)2. 慧眼识珠: 如果有错，请改正过来。

（1）（x-2)(x+2)=x 2-2 （2）(21+4xy)( 21-4xy)= -16x 2y 2 （3）(-3a-2)(3a-2)=9a 2-43.再探公式 ：想一想下面的式子还能用这公式计算吗？如果能，请算出结果.()()()b a a b -+221 ()()()1414-2--a a4.快乐游戏：下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公式” 进行计算.请连线知识点3 扩展提升 发展能力(1)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5) (2) 102×98三、课堂总结：通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？(y +2)(-y +2)(3x -2) (-3x +2)(-3+2a )(-3-2a )四、课后作业1.填空：（2y+5x)( )=25x2-4y22.计算：(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)……(a2012+1)3.学考精练该课时内容。

驻马店市第八中学八年级数学导学案《车轮为什么做成圆形》教学设计焦作道清中学胡萍【课程分析】本节“车轮为什么做成圆形”，主要是让学生通过观察实例归纳出圆的定义，虽然小学阶段学生已经对圆的有关知识有所了解，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的圆形叫做圆”的概念．本节主要是使学生通过观察实例体会圆的概念的形成过程，进一步归纳出点与圆的三种位置关系，并初步体会集合的观点．其中点和圆的三种位置关系是本节的重点，用集合的观点研究圆的概念是难点．【学情分析】学生经过两年多的初中学习，已经能够主动的去探索新知，对概念的形成有较强的探究意识，已形成良好的思维习惯，具备较强的表达能力.在学习本节课之前学生已经对圆的相关知识有所了解，但还没有用集合的观点抽象出圆的定义.【设计思路】本节课采用“诱思探究教学”，侧重于学生的“观察”、“探究”、“概括”、“运用”.在教师的导向性信息指引下，学生仔细观察、独立思考、自主探究、动手实践，充分体现张熊飞教授的“体验为红线、思维为主攻”理念.本节内容中点和圆的三种位置关系是重点，用集合的观点研究圆的概念是难点，所以本课设计了三个认知层次：“情景激趣、自然引入”，“自主合作、探究新知”，“拓展训练、应用提高”。

情景激趣使用学生熟悉的各种车轮自然引入新课，然后老师用导向性信息引导学生“独立探究”、“自主合作”、“代表发言”等，诱导学生完成本节的学习任务.探究新知“点和圆的位置关系”的过程，引导学生通过画图、描点、探究等活动，自主合作探索新知识。

拓展训练中充分利用课本上的习题，巩固所学知识，并利用实物投影仪让学生展示自己的作业，全班进行评价.自制PPT+几何画板课件，以增强了教学直观性，激发学生的学习兴趣，开阔学生视野.使用实物投影仪快速展示学生所做图形，便于学生进行讨论和评价.【学习目标】1、知识与技能（1）能说出圆的概念及圆心和半径两要素；（2）了解点和圆的位置关系有三种：圆内、圆上、圆外；（3）会由点到圆心的距离d与半径r的数量关系判断点与圆的位置关系；反之，也会由点与圆的位置关系判断点到圆心的距离d与半径r的数量关系.2、过程与方法（1）经历通过实例归纳出圆的定义的过程；（2）经历探索点与圆的位置关系的过程；（3）掌握点与圆的位置关系的使用方法.3、 情感态度价值观（1） 在课堂活动中体会数学的无所不在，进而培养对数学的兴趣；（2） 在课堂展示中体验成功的快乐.【教学流程】一、情景激趣、自然引入〖课件投影〗认真观察图片，举手发言谈谈你对生活中车轮的认识！引言：我们中国历史源远流长，早在几千年前就出现了车，到现在道路上更是车轮滚滚，哪位同学来谈谈对车轮的认识？圆，与三角形、四边形一样，也是我们常见的图形.本章我们就来学习圆的相关知识. 大家有没有想过“车轮为什么做成圆形？”今天我们就用数学思维来解决这个问题. （设计意图：通过实例让学生感受到圆是生活中常见的图形之一，再以常见的各种车轮的图片引入新课，激发学生的学习积极性.）〖课件投影〗课题：车轮为什么做成圆形.二、自主合作、探究新知（一）圆的概念〖课件投影〗1、结合动画，请大家独立思考下列问题，举手发表个人意见，有困难的同学可以和同桌讨论.(1) 车轮为什么要做成圆形?车轮能否做成三角形或正方形？(2) 如图，A 、B 表示车轮边缘上的两点，O 表示车轮的轴心，A 、O 之间的距离与B 、O 之间的距离有什么关系？(3) C 是表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳滚动，C 、O 之间的距离与A 、O 之间的距离应满足什么关系？（设计意图：让学生初步圆的本质特征：圆上各点到圆心的距离相等.）2、发奖活动针对学生的回答情况发奖，让五位学生在前面呈“一”字排开，规定谁先拿到奖品谁得奖.这样设计公平吗？怎样改变使之公平？（设计意图：让学生发现身边的数学问题，并想办法去解决，并进一步了解圆的本质特征.）学生容易想出应排成圆形队形后，教师追问：你如何设计这样的圆形？用一根三米长的绳子能解决问题吗？如果把每个同学看成一个点，这样组成的图形是圆吗？如何得到一个圆？假如我们这些同学刚好围成一个圆形，把每个学生看做一个点，一个同学离开了，他们围城的图形还是圆吗？如果这些同学保持不动，旁边又来一个同学，这是所有的同学组成图形还是圆吗？ 〖课件投影〗3、你能根据自己的理解给圆下个定义吗？（设计意图：由前面的铺垫，让学生尝试给圆下个定义，各抒己见，互相补充，在培养数学表达能力的同时也增强了同学们的合作意识.）〖课件投影〗平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（circle ）. 其中，定点称为圆心（centre of a circle ），定长称为半径（radius ）的长（通常也称为半径）.以点O 为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O ”.圆的两要素：圆心——确定圆的位置；半径——确定圆的大小. AC（设计意图：明确圆的概念、表示方法及要素.）（二）点与圆的位置关系我要画出上面的队形图，谁来展示？（请一同学在黑板上画出上面游戏中的圆形.） （设计思路：让学生在画圆的同时再次感受定点与定长的含义.）〖课件投影〗1、请大家按老师的要求做一做，有困难的同学可以和同桌讨论.在前面的问题中，为了保证游戏的公平性，同学们设计了一个圆形的队伍，这个圆形的队伍把地面分成了几部分？圆把所在平面分为几部分？点与圆有几种位置关系？〖课件投影〗（二）仔细思考下列问题举手回答，有困难的同学可以和同桌讨论.1、 点A 、B 、C 、D 、E 到圆心O 的距离与⊙O 的半径有怎样的大小关系？2、 你能根据点P 到圆心O 的距离d 与⊙O 的半径r 的大小关系，确定点P 与⊙O 的位置关系吗？ 点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径；可写成： 点在圆外d>r ；点在圆上 d=r ；点在圆内 d<r.（设计意图:让学生结合实际情景抽象出数学模型，再通过数学方法研究，探索出新的成果，培养归纳概括能力.）三、拓展训练、应用提高〖课件投影〗（一）按要求完成下列各题，有困难的同学与同桌交流.1、已知⊙O 的面积为25π.（1）若PO=5.5，则点P 在 ；（2）若PO=4，则点P 在 ；（3）若PO= ，则点P 在圆上．2、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m,小华投了6.7m ，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？3、如图,一根5m 长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.〖课件投影〗(二)请同学们独立思考作图，然后选代表在全班展示.1. 设AB=3cm ，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A 的距离都等于2cm 的点组成的图形；（2）到点B 的距离都等于2cm 的点组成的图形；（3）到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；（4）到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形.（设计意图：这些题目是圆的概念及点与圆的位置关系的具体应用.）〖课件投影〗勤于总结 交流收获回顾本节课的内容。

（完整版）利用平方差公式进行因式分解教学设计利用平方差公式进行因式分解教学目标：知识与技能：1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.情感态度与价值观：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.教学重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.教学难点：用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程一、新课导入导入一:【问题】填空.(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.[设计意图]复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.二、新知构建1、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.(1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b).(2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.2、例题讲解[过渡语]同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩固所学的知识.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)25-16x2;(2)9a2-b2.解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.[设计意图]教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.三、课堂小结平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.四、检测反馈1.下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.x2+y2=(x+y)2D.x2-y2=(x-y)2解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.2.分解因式:a3-4a=.解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).3.(2015·恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.解:(3a-2b)2-(2a+3b)2=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b).五、布置作业【必做题】教材第100页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第100页习题4.4的1,2题.六、板书设计公式法（利用平方差公式进行因式分解）一、用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b)二、例题讲解。

平方差公式因式分解【教学目标】知识与技能：1、会用平方差公式因式分解。

2、能熟练应用提公因式法、套平方差公式因式分解。

过程与方法：通过复习平方差公式，逆向思维归纳出利用平方差公式因式分解的方法，初步掌握一提二套的方法、步骤。

情感、态度与价值观：体会平方差公式的特点及应用于整式的因式分解，从而进一步认识数学的严谨性与灵活性，感受观察、分析是获取知识的先导和解决问题的关键。

【教学重点】用平方差公式因式分解【教学难点】把多项式适当变形后套平方差公式因式分解【易错点】公式a2-b2中a ，b 易找错，如a2-4=(a+4)(a-4)中对应公式中的b 为2。

【教学过程】一：探究新知活动1：忆一忆1、下列各式中能用平方差公式计算的是 （ B ）A 、（2a+b ）(a-b)B 、(-2a+b)(-2a-b)C 、(2a+b)(-2a-b)D 、(2a+b) (a-2b)2、填空：25x2=(5x)2, 162m =(4m )20.09a2b4=(0.3ab2)2, 0.49(x+y)2=[0.7(x+y)]2活动2：想一想同学们，你能很快得出992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？答案：利用平方差公式得992－1＝100×98，是100的倍数，这就是我们今天所要学习的内容。

二：新知梳理知识点：用平方差公式因式分解公式（a+b ）(a-b)= a2-b2 叫做平方差公式，把这个公式从右至左使用，可把某些多项式因式分解，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

三：应用示例例1：把25x2-4y2因式分解分析：25x2=(5x)2,4y2=(2y)2，25x2-4y2＝(5x)2－(2y)2，原式即可以用平方差公式进行因式分解。

解：25x2-4y2＝(5x)2－(2y)2＝（5x+2y ）（5x-2y ）例2：把（x+y ）2-（x-y ）2因式分解。

分析：将（x+y ）看成a,（x-y ）看成b ,原式即可用平方差公式进行因式分解。

用平方差公式因式分解公开课教案一、教学目标1. 让学生掌握平方差公式的概念和运用。

2. 培养学生运用平方差公式进行因式分解的能力。

3. 提高学生解决问题的能力和对数学的兴趣。

二、教学内容1. 平方差公式的介绍和记忆。

2. 平方差公式的运用和因式分解。

3. 例题讲解和练习。

三、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解和记忆平方差公式。

2. 采用示例法，展示平方差公式的运用和因式分解的过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。

四、教学步骤1. 导入新课，介绍平方差公式的概念。

2. 讲解平方差公式的推导过程，让学生理解并记忆公式。

3. 通过示例，展示平方差公式的运用和因式分解的过程。

4. 布置练习题，让学生独立完成，并进行讲解和点评。

五、教学评价1. 课后收集学生的练习册，进行批改和评价。

2. 在课堂上，对学生的练习进行点评和指导。

3. 关注学生在课堂上的参与度和对平方差公式的掌握程度。

六、教学资源1. 教学PPT，展示平方差公式的推导过程和示例。

2. 练习题，供学生进行练习和巩固。

七、教学时间1课时八、教学拓展1. 引导学生思考：平方差公式在实际生活中的应用。

2. 布置课后作业，让学生进一步巩固平方差公式的运用和因式分解的能力。

九、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略，以便更好地引导学生理解和运用平方差公式。

十、教学预案1. 针对学生的不同程度，准备不同难度的练习题，以满足不同学生的需求。

2. 在课堂上，关注学生的疑问，及时进行解答和指导。

六、教学活动1. 课堂互动：邀请学生上台演示平方差公式的运用和因式分解的过程，鼓励其他学生提问和参与讨论。

2. 小组活动：学生分组进行练习，互相讲解和讨论解题方法，促进合作学习。

七、学习任务1. 学生通过课堂讲解和练习，掌握平方差公式的运用和因式分解的方法。

2. 学生能够独立解决相关问题，并能够解释解题过程。

八、学习评估1. 课堂练习：学生当场完成练习题，教师及时进行点评和指导。