2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)：导数

2013年高考解析分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文1））函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞【答案】C【命题立意】本题考查函数的定义域。

要使函数有意义则，220log (2)0x x ->⎧⎨-≠⎩，即2021x x ->⎧⎨-≠⎩，即2x >且3x ≠，所以选C.2 ．（2013年高考重庆卷（文9））已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f = （ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C【命题立意】本题考查函数的奇偶性以及对数的运算性质。

因为22lg10lg(log 10)lg(lg 2)lg(log 10lg 2)lg(lg 2)lg1012g +=⋅=⨯==，所以2lg(lg 2)lg(log 10)=-。

设2l g (l o g 10),t =则lg(lg 2)t =-。

由条件可知()5f t =，即3()sin 45f t at b t =++=，所以2sin 1at b t +=，所以3()sin 4143f t at b t -=--+=-+=，选C. 3 ．（2013年高考大纲卷（文6））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （ ）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210xx -> 【答案】A)0)(11(log )(2>+==y x x f y ，所以y x 211=+，所以121-=y x ，所以)0(121>-=y x y ，所以)0(121>-=x y x ，即)0(121)(1>-=-x x f x ，故选A.4 ．（2013年高考辽宁卷（文7））已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D()3)1f x x -=++所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg 2为相反数，所以所求值为2.5 ．（2013年高考天津卷（文8））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==,则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。

第 3 讲导数的应用(二)【2013 年高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实质问题．【复习指导】本讲复习时，应着重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实质问题抽象为数学模型，进而用导数去解决．复习中要注意等价转变、分类议论等数学思想的应用.基础梳理1．函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点 x0处连续时，①假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＞0，右边 f′ (x)＜0，那么 f(x0)是极大值；②假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＜0，右边 f′ (x)＞0，那么 f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求 f′(x)；②求方程 f′(x)＝ 0 的根；③检查 f ′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右值的符号．假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么 f(x)在这个根处获得极小值，假如左右双侧符号同样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间 [a， b] 上连续的函数 f(x)在[a， b] 上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在 [a，b]上单一递加，则f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数f(x) 在[a，b]上单一递减，则f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在 [a，b]上连续，在 (a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求 f(x)在(a，b)内的极值；②将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝f(x)；(2)求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0；(3)比较函数在区间端点和 f ′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小)值；(4)回归实质问题作答．两个注意(1)注意实质问题中函数定义域确实定．(2)在实质问题中，假如函数在区间内只有一个极值点，那么只需依据实质意义判断最大值还是最小值即可，不用再与端点的函数值比较．三个防备(1)求函数最值时，不行想自然地以为极值点就是最值点，要经过仔细比较才能下结论；此外注意函数最值是个 “整体 ”观点，而极值是个 “局部 ”观点．(2)f ′(x 0)＝0 是 y ＝ f(x)在 x ＝x 0 取极值的既不充分也不用要条件．如① y ＝|x|在 x ＝0 处获得极小值，但在 x ＝ 0 处不行导；② f (x)＝x 3，f ′(0)＝0，但 x ＝ 0 不是 f(x)＝x 3 的极值点．(3)若 y ＝ f(x)可导，则 f ′(x 0)＝0 是 f(x)在 x ＝x 0 处取极值的必需条件．双基自测1． (2011 福·建 )若 a ＞ 0， b ＞ 0，且函数 f(x)＝4x 3 －ax 2 －2bx ＋2 在 x ＝1 处有极值，则 ab 的最大值等于 ( )．A ．2B ．3C ．6D ．9分析 f ′(x)＝12x 2－2ax －2b ，由函数 f(x)在 x ＝1 处有极值，可知函数f(x)在 x ＝1 处的导数值为零， 12－2a －2b ＝ 0，所以 a ＋ b ＝ 6，由题意知 a ，b 都是正实数，所以a ＋b 26 ab ≤＝222＝ 9，当且仅当 a ＝b ＝3 时取到等号．答案 D．已知函数1 4 4 3 ＋2x2 ，则 f(x)()．f(x)＝4x －3x2A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值分析 f ′(x)＝x 3－ 4x 2＋4x ＝x(x －2)2f ′(x)，f(x)随 x 变化状况以下x( － ∞， 0) 0(0,2)2 ，＋ ∞ )(2f ′(x) －0 ＋0 ＋f(x)43所以有极小值无极大值． 答案 C3． (2010 山·东 )已知某生产厂家的年收益 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式 为 y ＝－ 1 3－234，则使该生产厂家获得最大年收益的年产量为 ()．3x ＋ 81x A ．13 万件B ．11 万件C ．9 万件D ．7 万件分析 y ′ ＝－ x 2＋ 81，令 y ′ ＝0 解得 x ＝9(－9 舍去 )．当 0＜x ＜9 时， y ′ ＞0；当 x ＞9 时， y ′ ＜0，则当 x ＝ 9 时， y 获得最大值，应选 C.答案C4． (2011 广·东 )函数 f(x)＝x 3－ 3x 2＋ 1 在 x ＝________处获得极小值．分析f ′(x)＝3x 2 －6x ＝ 3x(x －2)当 x ＜0 时， f ′ (x)＞0，当 0＜x ＜2 时， f ′(x)＜0，当 x ＞ 2 时， f ′(x)＞ 0，故当 x ＝ 2 时获得极小值．答案 2．若函数f(x) ＝x 2＋a在 x ＝ 1 处取极值，则 a ＝ ________. 5 x ＋1分析 ∵f(x)在 x ＝1 处取极值，∴ f ′(1)＝ 0，2x x ＋1 － x 2＋ a又 f ′(x)＝x ＋12，∴f ′ (1)＝ 2×1× 1＋1 － 1＋ a＝0，1＋1 2即 2×1×(1＋ 1)－(1＋a)＝ 0，故 a ＝3.答案3考向一 函数的极值与导数【例 1】 ?(2011 ·重庆 ) 设 f(x)＝ 2x 3＋ ax 2＋ bx ＋1 的导数为 f ′ (x)，若函数 y ＝ f ′(x)的图象对于直线 x ＝－ 2对称，且 f ′(1)＝ 0.(1)务实数 a ，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值．1[审题视点 ] 由条件 x ＝－ 2为 y ＝f ′(x)图象的对称轴及 f ′ (1)＝0 求得 a ，b 的值，再由 f ′(x)的符号求其极值．解 (1)因 f(x)＝ 2x 3＋ ax 2＋ bx ＋1， 故 f ′(x)＝6x 2 ＋2ax ＋b.2进而 f ′(x)＝6 x ＋a 2＋b －a，6 6即 y ＝f ′(x)的图象对于直线 x ＝－a对称，6进而由题设条件知－ a ＝－ 1，解得 a ＝ 3.6 2又因为 f ′ (1)＝0，即 6＋2a ＋ b ＝ 0，解得 b ＝－ 12.(2)由(1)知 f(x)＝ 2x 3 ＋3x 2－ 12x ＋1，f ′(x)＝6x 2＋6x － 12＝6(x －1)(x ＋2)．令 f ′(x)＝0，即 6(x － 1)(x ＋2)＝0，解得 x 1＝－ 2，x 2＝ 1.当 x ∈(－∞，－ 2)时， f ′(x)＞0，故 f(x)在 (－∞，－ 2)上为增函数；当 x ∈(－2,1)时， f ′(x)＜ 0，故 f(x)在 (－2,1)上为减函数；当 x ∈(1，＋∞ )时， f ′(x)＞0，故 f(x)在 (1，＋∞ )上为增函数．进而函数 f(x)在 x 1 ＝－ 2 处获得极大值 f(－ 2)＝21，在 x 2＝ 1 处获得极小值 f(1)＝－ 6.运用导数求可导函数 y ＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域， 再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′ (x)；(2)求方程 f ′ (x)＝0 的根；(3)检查 f ′(x) 在方程根的左右的值的符号， 假如左正右负，那么 f(x)在这个根处获得极大值， 假如左负右正，那么 f(x)在这个根处获得极小值．e x【训练 1】 (2011 ·徽安 )设 f(x)＝ 1＋ ax 2，此中 a 为正实数．(1)当 a ＝ 3时，求 f(x)的极值点；(2)若 f(x)为 R 上的单一函数，求 a 的取值范围．解 对 f(x)求导得 f ′(x)＝ e x 1＋ax 2－2ax ①1＋ ax2 2.4(1)当 a ＝ 时，若 f ′(x)＝0，则 4x 2 －8x ＋3＝0，31 解得 x 1＝ ，x 2＝ .22综合①，可知x1 1 1 3 3 3 －∞，2 2，2 ，＋∞222f ′(x)＋－ 0 ＋f(x)极大值极小值所以， x 1 ＝3是极小值点，x 2＝1是极大值点．22若上的单一函数，则 ′ 在 上不变号，联合①与条件a ＞ ，知2－ 2ax ＋1≥ 0(2) f(x)为 Rf (x) R0 ax在 R 上恒成立．2所以 ＝ 4a －4a ＝4a(a －1)≤ 0，考向二 函数的最值与导数【例 2】 ?已知 a 为实数，且函数 f(x)＝(x 2－ 4)(x －a)．(1)求导函数 f ′(x)；(2)若 f ′ (－1)＝ 0，求函数 f(x)在[－ 2,2]上的最大值、最小值．[审题视点 ] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．解 (1)f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得 f ′(x)＝ 3x 2－ 2ax －4.1(2)因为 f ′(－ 1)＝0，所以 a ＝ ，3－ 1 2 －4x ＋2，所以 f ′(x)＝ 3x 2－x － 4.有 f(x)＝x 2x令 f ′(x)＝0，所以 x ＝4或 x ＝－ 1. 3又 f 4 ＝－ 50， f(－ 1)＝ 9，f(－2)＝ 0， f(2)＝ 0， 3 27 2950所以 f(x)在[－ 2,2]上的最大值、最小值分别为2、－27.一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不必定有最大值与最小值，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单一递加，则f(a)是最小值， f(b)是最大值；反之，则 f(a)是最大值， f(b)是最小值．3 2【训练 2】函数 f(x)＝x ＋ax ＋b 的图象(1)求 a， b；(2)求函数 f(x)在 [0，t](t>0)内的最大值和最小值．解 (1)f′ (x)＝3x2＋2axf 1 ＝0，由已知条件f′ 1 ＝－ 3，a＋ b＋ 1＝ 0，a＝－ 3，即解得2a＋3＝－ 3，b＝ 2.(2)由(1)知 f(x)＝ x3－3x2＋ 2，f′(x)＝3x2－6x＝ 3x(x－2)，f′(x)与 f(x)随 x 变化状况以下：x －∞，0) 0 (0,2) 2(2，＋∞)(f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 2 －2由 f(x)＝ f(0)解得 x＝0，或 x＝3所以依据 f(x)的图象当 0<t≤2 时， f(x)的最大值为 f(0)＝2最小值为 f(t)＝t3－3t2＋2；当 2<t≤3 时， f(x)的最大值为 f(0)＝2，最小值为 f(2)＝－ 2；当 t>3 时， f(x)的最大值为 f(t)＝ t3－3t2＋ 2，最小值为f(2)＝－ 2.考向三用导数解决生活中的优化问题【例 3】 ?(2011 ·江苏 )请你设计一个包装盒．以下图，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去暗影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝ FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2 )最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm 3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[审题视点 ] 由实质问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实质意义．解 设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)．由已知得 a ＝ 2x ， h ＝60－2x＝ 2(30－ x)，2 0＜ x ＜ 30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－ x)＝－ 8(x － 15)2 ＋1 800， 所以当 x ＝15 时， S 获得最大值．(2)V ＝a 2h ＝2 2(－x 3＋30x 2)，V ′＝ 6 2x(20－x)．由 V ′＝ 0 得 x ＝0(舍去 )或 x ＝20.当 x ∈(0,20)时， V ′＞ 0；当 x ∈(20,30)时， V ′＜ 0.所以当 x ＝20 时， V 获得极大值，也是最大值． 此时 h ＝11a 2.即包装盒的高与底面边长的比值为2.在务实质问题中的最大值或最小值时， 一般先设自变量、 因变量、成立函数关系式，并确立其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实质状况相切合，用导数求解 实质问题中的最大 (小 )值，假如函数在区间内只有一个极值点，那么依据实质意义该极值点 就是最值点．【训练 3】 统计表示，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升 )对于行驶速度13 －3x(千米 /小时 )的函数分析式能够表示为： y ＝ 128 000x80x ＋8(0<x ≤ 120)．已知甲、 乙两地相距 100 千米．(1)当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)设汽车以 x 千米 /小时的速度行驶时，其耗油量为10013 －3f(x)＝ x 128 000x80x ＋8x 2 ＋ 800 15≤120)x －＝1 280 4 (0<x f(40)＝ 17.5(升 ) 所以从甲地到乙地要耗油 17.5 升． (2)f ′(x)＝x－8002＝x 3－ 512 000640x 2640 x＝ x － 80 x 2 ＋80x ＋ 6 400640x 2又 0<x ≤ 120，令 f ′(x)＝0解得 x ＝ 80，当 0<x<80 时， f ′ (x)<0； 当 80<x ≤120 时， f ′(x)>0.则当 x ＝ 80 时， f(x)取到最小值 f(80)＝11.25(升)所以当汽车以 80 千米 /小时行驶时耗油最省，最小耗油量为 11.25 升．难点打破 7—— 相关导数热门问题的求解策略导数的工具性使得导数在高考取的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实质优化的问题方面．最近几年，各地高考都从不一样的方面对导数内容进行考察，既有考察导数的小题，又有考察导数综合应用的大题．这些问题组成了高考试卷中一道亮丽的景色线．一、研究曲线切线的导数问题导数的几何意义是我们解决相关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转变成简单的函数问题、因此经常与导函数在切点的函数值一同作为列出方程的重要依照．【示例】 ? (2011 ·辽宁 )设函数 f(x)＝x ＋ax 2＋bln x ，曲线 y ＝ f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2(1)求 a 、 b 的值；(2)证明： f(x)≤2x －2.二、研究函数性质的导数问题导数是研究函数问题的有力工具，经常用来解决函数的单一性、极值、最值等问题．【示例】 ? (2011 ·陕西 )设 f(x)＝ ln x， g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求 g(x)的单一区间和最小值；1(2)议论 g(x)与 g的大小关系；1(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对随意 x＞0 成立．▲解决实质问题的导数问题(教师备选 )对于实质问题中的一些优化问题，如成本最低、收益最大、用料最省等问题，经常需要将实际问题抽象为数学识题，而后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，所以，导数被宽泛地应用于实质生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．【示例】 ? 以下图，一根水平搁置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．2013年高考第3讲导数的应用(二)(1)将此枕木翻转 90°(即宽度变成了厚度 )，枕木的安全负荷会变大吗？为何？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问怎样截取，可使安全负荷最大？11 / 11。

第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点第三课时用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】（2008某某卷， 文）已知函数()()4322411 043f x x ax a x a a =+-+> （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值X 围． 【分析及解】（Ⅰ）令()()()322220f x x x a x x x a x a '=+-=+-=，得12320x a x x a =-==，，．在0a >的已知条件下，()f x '及()f x 随x 的变化情况列表如下：x() 2a -∞-，2a - ()2 0a -， 0 ()0a ，a() a +∞，()f x '-+-+()f x减极小值增极大值增极小值减所以()f x 的递增区间为()2 0a -,与()a,+∞，()f x 的递减区间为()2,a -∞-与()0a ,．（Ⅱ）要研究函数()y f x =的图象与直线1y =的交点的情况,就要考虑函数()y f x =的极大值和极小值相对于1y =的位置.由（Ⅰ）得到()()4523f x f a a =-=-极小值，()()4712f x f a a ==极小值，()4f x f =极大值，由图可知，要使()f x 的图象与直线1y =恰有两个交点，只需(1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即44571312a a -<<;(2) 极大值小于1,即41a <，即a >01a <<． 【例2】（2008某某 卷,理）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值X 围． 【分析及解】（Ⅰ）因为()2101af x x x'=+-+， 所以(3)61004af '=+-=．因此16a =． 当16a =时,()()()224323116()210111x x x x f x x x x x -+--'=+-==+++, 由此可知,当()1,3x ∈时,()f x 单调递减,当()3,x ∈+∞时,()f x 单调递增,所以, 当16a =时,3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．于是,16a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1)x ∈-+∞，， ()()231()1x x f x x --'=+．当(11)(3)x ∈-+∞，，时，()0f x '>，当(13)x ∈，时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间是(11)(3)-+∞，，，，()f x 的单调减区间是(13)，．（Ⅲ）y b =与()y f x =的图象有3个交点；等价于()f x b =有3个实数根；即()0f x b -=有3个实数根；此时,函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同交点，令()()()216ln 110x f x b x x x b ϕ=-=++--，则()()()2131621011x x x x x xϕ--'=+-=++()1x >-，令()0x ϕ'=，解得1x =或3x =，()x ϕ'，()x ϕ随x 的变化情况列表如下：的⎧⎨⎩【例3】（2008某某卷文）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值X 围．【分析及解】（Ⅰ）22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3aa x -<<时，()0f x '<，∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3aa -内是减函数．（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+， 即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．因为,一定有一根0x =,所以,22(2)0x a --=没有实数根或有两个相等的实数根,因此有220a -≤，即a ≤≤.又0a ≠，∴[(0,2]a ∈．当0a >时，()g x才存在最小值，∴a ∈．211()()g x a x a a a=-+-，所以, 1(),h a a a a=-∈． 于是()h a的值域为(,1-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内是增函数，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是增函数．由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1a ≥；当0a <时，()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内是增函数．由题意得02312a aa a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得3a ≤-； 综上可知，实数a 的取值X 围为(,3][1,)-∞-+∞．【例4】(2006某某卷,文）已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数.（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，某某数x 的取值X 围；（Ⅱ）设2a m =-，当实数m 在什么X 围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点【分析及解】（Ⅰ）由题意()2335g x x ax a =-+-.令()()2335h x x a x =-+-，11a -≤≤,对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0h a <.∴()()10,10.h h <⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩ 解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <（Ⅱ）()'2233fx x m =-①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点②当0m ≠时，令()()32334,x f x x m x ϕ=-=--则 ()2233x x m ϕ'=-.列表：x(),m -∞m -(),m m -m(),m +∞()x ϕ' +-+()x ϕ增极大减极小增所以,()()2244x m m m ϕϕ==--<-min . 又因为()f x 的值域是R ，且在(),m +∞上单调递增.所以,当x m >时函数()y x ϕ=的图象与x 轴只有一个公共点.当x m <时，恒有()()max x mϕϕ=-,此时,()y x ϕ=的图象与x 轴不能再有公共点,必须()y x ϕ=得极大值小于零,即()0m ϕ-<,()m ϕ-=3224240m m m -=-<,解得()()332,00,2m ∈-.综上，m 的取值X 围是()332,2-【例5】（2006某某卷，文）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

2013年全国高考函数与导数真题汇编一、选择题1. 【2013·安徽理·4】" a≤0"是"函数f(x)=∣(ax−1)x∣在区间(0,+∞)内单调递增"的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 【2013·安徽理·8】函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}3. 【2013·安徽理·10】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 【2013·北京理·10】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f(x)=( )A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−15. 【2013·福建理·8】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ∀x∈R,f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点6. 【2013·广东理·8】定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 【2013·湖北理·8】已知a为常数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )A. f(x1)>0，f(x2)>−12B. f(x1)<0，f(x2)<−12C. f(x1)>0，f(x2)<−12D. f(x1)<0，f(x2)>−128. 【2013·湖南理·8】函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2−4x+5的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 09. 【2013·江西理·2】函数y=√xln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]10.【2013·江西理·10】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点．设弧FG⏜的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)的图象大致是( )A. B.C. D.11. 【2013·辽宁理·11】已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1612. 【2013·辽宁理·12】设函数f(x)满足x2fʹ(x)+2xf(x)=e xx ，f(2)=e28，则x>0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值13. 【2013·全国大纲理·4】已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)14. 【2013·全国大纲理·5】函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f−1(x)=( )A. 12x−1(x>0) B. 12x−1(x≠0)C. 2x−1(x∈R)D. 2x−1(x>0)15. 【2013·全国大纲理·9】若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)16. 【2013·新课标Ⅱ理·8】设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c17. 【2013·新课标Ⅱ理·10】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A. ∃x0∈R，f(x0)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则fʹ(x0)=018. 【2013·陕西理·3】已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −219. 【2013·四川理·7】函数y=x33x−1的图象大致是( )A. B. C. D.20. 【2013·四川理·10】设函数 f (x )=√e x +x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线 y =sinx 上存在 (x 0,y 0) 使得 f(f (y 0))=y 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. [1,e ] B. [e −1−1,1] C. [1,1+e ] D . [e −1−1,e +1]21. 【2013·天津理·7】函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 422. 【2013·天津理·8】已知函数 f (x )=x (1+a∣x∣)．设关于 x 的不等式 f (x +a )<f (x ) 的解集为 A ，若 [−12,12]⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (1−√52,0) B. (1−√32,0)C. (1−√52,0)∪(0,1+√32) D. (−∞,1−√52)23. 【2013·浙江理·3】已知 x ，y 为正实数，则 ( )A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgyB. 2lg (x+y )=2lgx ⋅2lgyC. 2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD. 2lg (xy )=2lgx ⋅2lgy 24. 【2013·浙江理·8】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1,2) ，则 ( ) A. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 B. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值 C. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 D. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值25. 【2013·重庆理·6】若 a <b <c ，则函数 f (x )=(x −a )(x −b )+(x −b )(x −c )+(x −c )(x −a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a,b ) 和 (b,c ) 内 B. (−∞,a ) 和 (a,b ) 内 C. (b,c ) 和 (c,+∞) 内 D. (−∞,a ) 和 (c,+∞) 内二、填空题1.【2013·湖北理·12】若曲线 y =kx +lnx 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴， 则 k = ．2. 【2013·湖南理·12】若 ∫x 2T0dx =9，则常数 T 的值为________________ ．3. 【2013·湖南理·16】设函数 f (x )=a x +b x −c x ，其中 c >a >0，c >b >0． （1）记集合 M ={(a,b,c )∣ a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a =b}，则 (a,b,c )∈M 所对应的 f (x ) 的零点的取值集合为________________ ；（2）若 a ，b ，c 是 △ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________________ ．（写出所有正确结论的序号） ① ∀x ∈(−∞,1)，f (x )>0； ② ∃x ∈R ，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ABC 为钝角三角形，则 ∃x ∈(1,2)，使 f (x )=0．4. 【2013·江苏理·11】已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时， f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为________________ ．5. 【2013·江苏理·13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A (a,a ) ， P 是函数 y =1x(x >0) 图象上一动点，若点 P,A 之间的最短距离为 2√2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________________ ．6. 【2013·江西理·13】设函数 f (x ) 在 (0,+∞) 内可导，且 f (e x )=x +e x ，则 fʹ(1)=________________ ．7. 【2013·新课标Ⅰ理·16】若函数 f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b ) 的图象关于直线 x =−2 对称，则 f (x ) 的最大值是________________ ．8. 【2013·陕西理·16】定义"正对数"：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若 a >0,b >0，则 ln +(a b )=bln +a ；②若 a >0,b >0，则 ln +(ab )=ln +a +ln +b ； ③若 a >0,b >0，则 ln +(ab)≥ln +a −ln +b ；④若 a >0,b >0，则 ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln2．其中真命题有________________ （写出所有真命题的编号）．9. 【2013·上海理·12】设 a 为实常数，y =f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=9x +a 2x+7，若 f (x )≥a +1 对一切 x ≥0 成立，则 a 的取值范围为________________ ．10. 【2013·上海理·14】对区间 I 上有定义的函数 g (x )，记 g (I )={y∣ y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为 [0,3] 的函数 y =f (x ) 有反函数 y =f −1(x )，且 f −1([0,1))=[1,2),f −1((2,4])=[0,1)，若方程 f (x )−x =0 有解 x 0，则 x 0=________________ ．11. 【2013·四川理·14】已知 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥0 时， f (x )=x 2−4x ，那么，不等式 f (x +2)<5 的解集是________________ ．2013参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. D5. D6. C7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. D 13. B 14. A 15 D 16. D 17. C 18. D 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A二、填空题1. -12. 33. {x∣ 0<x≤1}；①②③4. (−5,0)∪(5,+∞)5. −1；√106. 27. 168. ①③④9. a≤−8710. 211. {x∣ −7<x<3}2013年高考真题1. 【2013·安徽理·20】设函数f n(x)=−1+x+x222+x332+⋯+x nn2(x∈R,n∈N∗)．证明：Ⅰ 对每个n∈N∗，存在唯一的x n∈[23,1]，满足f n(x n)=0；Ⅰ 对任意p∈N∗，由（1）中x n构成的数列{x n}满足0<x n−x n+p<1n．2. 【2013·北京理·20】设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线．Ⅰ 求L的方程；Ⅰ 证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．3. 【2013·广东理·17】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．Ⅰ 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 求函数f(x)的极值．4. 【2013·福建理·17】设函数 f (x )=(x −1)e x −kx 2(k ∈R )． Ⅰ 当 k =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 当 k ∈(12,1] 时，求函数 f (x ) 在 [0,k ] 上的最大值 M ．5. 【2013·湖北理·22】设 n 为正整数，r 为正有理数． Ⅰ 求函数 f (x )=(1+x )r+1−(r +1)x −1(x >−1) 的最小值； Ⅰ 证明：n r+1−(n−1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1−n r+1r+1;Ⅰ 设 x ∈R ，记 [x ] 为不小于 x 的最小整数，例如 [2]=2，[π]=4，[−32]=−1．令 S =√813+√823+√833+⋯+√1253，求 [S ] 的值．（参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7）6. 【2013·湖南理·22】已知 a >0，函数 f (x )=∣∣x−a x+2a ∣∣．Ⅰ 记 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g (a )，求 g (a ) 的表达式；Ⅰ 是否存在 a ，使函数 y =f (x ) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7. 【2013·江苏理·20】设函数 f (x )=lnx −ax,g (x )=e x −ax ，其中 a 为实数．Ⅰ 若 f (x ) 在 (1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,+∞) 上有最小值，求 a 的取值范围；Ⅰ 若 g (x ) 在 (−1,+∞) 上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．8. 已知函数f(x)=a(1−2∣∣x−12∣∣)，a为常数且a>0．Ⅰ 证明：函数f(x)的图象关于直线x=12对称；Ⅰ 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；Ⅰ 对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0)，记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性9. 【2013·辽宁理·21】已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0,1]时，Ⅰ 求证：1−x≤f(x)≤11+x；Ⅰ 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10. 【2013·全国大纲理·22】已知函数f(x)=ln(1+x)−x(1+λx)1+x．Ⅰ 若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；Ⅰ 设数列{a n}的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．11. 【2013·新课标Ⅰ理·21】设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+ 2．Ⅰ 求a，b，c，d的值；Ⅰ 若 x ≥−2 时， f (x )≤kg (x ) ，求 k 的取值范围．12. 【2013·新课标Ⅱ理·21】已知函数 f (x )=e x −ln (x +m )． Ⅰ 设 x =0 是 f (x ) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x ) 的单调性； Ⅰ 当 m ≤2 时，证明 f (x )>0．13. 【2013·陕西理·21】设函数 f (x )=xe 2x +c （e =2.71828⋯ 是自然对数的底数，c ∈R ）． Ⅰ 求f (x ) 的单调区间、最大值；Ⅰ 讨论关于 x 的方程 ∣lnx∣=f (x ) 根的个数14. 【2013·四川理·21】已知函数 f (x )={x 2+2x +a,x <0lnx,x >0，其中 a 是实数．设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且 x 1<x 2．Ⅰ 指出函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线互相垂直，且 x 2<0，求 x 2−x 1 的最小值； Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．15. 【2013·天津理·20】 已知函数 f (x )=x 2lnx ． Ⅰ 求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t=f(s)．Ⅰ 设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有25<lng(t)lnt<12．16. 【2013·浙江理·20】已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3Ⅰ 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 当x∈[0,2]时，求∣f(x)∣的最大值．17. 【2013·重庆理·17】设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．Ⅰ 确定a的值；Ⅰ 求函数f(x)的单调区间与极值．2013参考答案1. （1） 对每个 n ∈N ∗，当 x >0 时，f n ′(x )=1+x 2+⋯+x n−1n>0,故 f n (x ) 在 (0,+∞) 内单调递增． 由于 f 1(1)=0，当 n ≥2，f n (1)=122+132+⋯+1n 2>0, 故 f n (1)≥0．又f n (23)=−1+23+∑(23)kk2nk=2≤−13+14∑(23)knk=2=−13+14⋅(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0,所以存在唯一的 x n ∈[23,1]，满足 f n (x n )=0．（2） 当 x >0 时，f n+1(x )=f n (x )+x n+1(n +1)2>f n (x ),故f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x ) 在 (0,+∞) 内单调递增知，x n+1<x n ，故 {x n } 为单调递减数列．从而对任意的 n,p ∈N ∗,x n+p <x n ，对任意的 p ∈N ∗，由于f n (x n )=−1+x n +x n 222+⋯+x n nn2=0, ⋯⋯①f n+p (x n+p )=−1+x n+p +x n+p 222+⋯+x n+p n n 2+x n+pn+1(n +1)2+⋯+x n+p n+p (n +p )2=0, ⋯⋯②①式减去②式并移项，利用 0<x n+p <x n ≤1，得x n −x n+p=∑x n+pk−x nk k 2nk=2+∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑12n+pk=n+1<∑1k (k −1)n+pk=n+1=1n −1n +p <1n .因此，对任意 p ∈N ∗，都有0<x n −x n+p <1n.2（1） 设 f (x )=lnx x，则fʹ(x )=1−lnxx 2. 所以 fʹ(1)=1 ，所以 L 的方程为 y =x −1 ．（2） 令 g (x )=x −1−f (x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x ) 满足 g (1)=0 ，且gʹ(x )=1−fʹ(x )=x 2−1+lnx x 2.当 0<x <1 时，x 2−1<0,lnx <0,所以 gʹ(x )<0 ，故 g (x ) 单调递减； 当 x >1 时，x 2−1>0,lnx >0,所以 gʹ(x )>0 ，故 g (x ) 单调递增．所以，g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．3（1） 当 a =2 时，f (x )=x −2lnx,fʹ(x )=1−2x(x >0),因而f (1)=1,fʹ(1)=−1,所以曲线 y =f (x ) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为y −1=−(x −1),即x +y −2=0.（2） 由fʹ(x )=1−a x =x −ax,x >0知：①当 a ≤0 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 为 (0,+∞) 上是增函数，函数 f (x ) 无极值． ②当 a >0 时，由 fʹ(x )=0，解得 x =a ． 又当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )<0； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )>0，从而函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值，且极小值为f (a )=a −alna,无极大值．综上，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 无极值；当 a >0 时，函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值 a −alna ，无极大值． 4（1）fʹ(x )=(x −1)e x +e x −2kx=xe x −2kx=x (e x−2k ).当 k =1 时，令 fʹ(x )=x (e x −2)=0，得x 1=0,x 2=ln2;当 x <0 时，fʹ(x )>0；当 0<x <ln2 时，fʹ(x )<0；当 x >ln2 时，fʹ(x )>0； Ⅰ函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0),(ln2,+∞)；单调递减区间为 (0,ln2)． （2） Ⅰ 12<k ≤1，Ⅰ 1<2k ≤2，所以0<ln (2k )<ln2.记 h (k )=k −ln (2k )，则 hʹ(k )=1−22k=k−1k在 k ∈(12,1) 有 hʹ(k )<0，Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，h (k )=k −ln (2k )>h (1)=1−ln2>0，即k >ln (2k )>0.Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，函数 f (x ) 在 [0,ln (2k )) 单调递减，在 (ln (2k ),k ] 单调递增． f (0)=−1，f (k )=(k −1)e k −k 3，记 g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3，下证明 g (k )≥−1．gʹ(k )=k(e k −3k),设 p (k )=e k −3k ，令pʹ(k )=e k −3=0,得k =ln3>1, Ⅰ p (k )=e k −3k 在 (12,1] 为单调递减函数，而p (12)=√e −32>√2.25−1.5=0,p (1)=e −3<0,Ⅰ gʹ(k )=k(e k −3k)=0 的一个非零的根为 k 0∈(12,1]，且 e k 0=3k 0． 显然 g (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,k 0) 单调递增，在 (k 0,1] 单调递减， Ⅰ g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,1) 上的最大值为g (k 0)=(k 0−1)3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0=(1−k 0)3−1>−1,g (12)=−12√e −18>−1⇔74>√e 而 74>√3>√e 成立，Ⅰ g (12)>−1,g (1)=−1．综上所述，当 k ∈(12,1] 时，函数 f (x ) 在 [0,k ] 的最大值M =(k −1)e k −k 3.5（1）因为fʹ(x)=(r+1)(1+x)r−(r+1)=(r+1)[(1+x)r−1],令fʹ(x)=0，解得x=0.当−1<x<0时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(−1,0)内是减函数；当x>0时，fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内是增函数．故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.（2）由（1）知，当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,当且仅当x=0时等号成立，故当x>−1且x≠0时，有(1+x)r+1>1+(r+1)x. ⋯⋯①在①中，令x=1n（这时x>−1且x≠0），得(1+1n)r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1)，即n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯②当n>1时，在①中令x=−1n（这时x>−1且x≠0），类似可得n r>n r+1−(n−1)r+1r+1. ⋯⋯③且当n=1时，③也成立．综合②③，得n r+1−(n−1)r+1r+1<n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯④（3）在④中，令r=13，n分别取值81,82,83,⋯,125，得34(8143−8043)<√813<34(8243−8143),34(8243−8143)<√823<34(8343−8243),34(8343−8243)<√833<34(8443−8343),⋯⋯,34(12543−12443)<√1253<34(12643−12543). 将以上各式相加并整理，得34(12543−8043)<S <34(12643−8143). 代入数据计算，可得34(12543−8043)≈210.2,34(12643−8143)≈210.9. 由 [S ] 的定义，得 [S ]=211．6（1） 当 0≤x ≤a 时，f (x )=a−x x+2a ；当 x >a 时，f (x )=x−a x+2a．因此，当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )=−3a(x+2a )2<0，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )=3a(x+2a )2>0，f (x ) 在 (a,+∞) 上单调递增． ①当 a ≥4 时，则 f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，g (a )=f (0)=12．②当 0<a <4 时，则 f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增，所以g (a )=max {f (0),f (4)}. 而f (0)−f (4)=12−4−a 4+2a =a −12+a, 故当 0<a ≤1 时，g (a )=f (4)=4−a4+2a ；当 1<a <4 时，g (a )=f (0)=12． 综上所述，g (a )={4−a4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.（2） 由（1）知，当 a ≥4 时，f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，故不满足要求． 当 0<a <4 时，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增．若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2)使曲线y=f(x)在(x1,f(x1))，(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且fʹ(x1)⋅fʹ(x2)=−1，即−3a (x1+2a)2⋅3a(x2+2a)2=−1亦即x1+2a=3ax2+2a. ⋯⋯①由x1∈(0,a)，x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a)，3ax2+2a ∈(3a4+2a,1)．故①成立等价于集合A={x∣ 2a<x<3a}与集合B={x∣ 3a4+2a<x<1}的交集非空．因为3a4+2a <3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0,12)．7（1）令fʹ(x)=1−a=1−ax<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞)，故a>0，进而解得x>a−1,即f(x)在(a−1,+∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0,a−1)上是单调增函数．由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，故(1,+∞)⊆(a−1,+∞),从而a−1≤1，即a≥1．令gʹ(x)=e x−a=0,得x=lna.当x<lna时，gʹ(x)<0；当x>lna时，gʹ(x)>0．又g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e.综上可知，a∈(e,+∞)．（2）当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令gʹ(x)=e x−a>0,解得a<e x，即x>lna.因为g(x)在(−1,+∞)上是单调增函数，类似（1）有lna≤−1，即0<a≤e−1．结合上述两种情况，得a≤e−1.①当a=0时，由f(1)=0以及fʹ(x)=1x>0，得f(x)存在唯一的零点；②当a<0时，由于f(e a)=a−ae a=a(1−e a)<0,f(1)=−a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0<a≤e−1时，令fʹ(x)=1−a=0,解得x=a−1.当0<x<a−1时，fʹ(x)>0；当x>a−1时，fʹ(x)<0，所以，x=a−1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a−1)=−lna−1.a．当−lna−1=0，即a=e−1时，f(x)有一个零点x=e．b．当−lna−1>0，即0<a<e−1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e−1，由于f(e−1)=−1−ae−1<0,f(a−1)>0,且函数f(x)在[e−1,a−1]上的图象连续，所以f(x)在(e−1,a−1)上存在零点．另外，当x∈(0,a−1)时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,a−1)上是单调增函数，所以f(x)在(0,a−1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a−1,+∞)上的情况．先证f(e a−1)=a(a−2−e a−1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2．设h(x)=e x−x2，则hʹ(x)=e x−2x,再设l(x)=hʹ(x)=e x−2x，则lʹ(x)=e x−2.当x>1时，lʹ(x)=e x−2>e−2>0,所以l(x)=hʹ(x)在(1,+∞)上是单调增函数．故当x>2时，hʹ(x)=e x−2x>hʹ(2)=e2−4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h (x )=e x −x 2>h (e )=e e −e 2>0,即当 x >e 时，e x >x 2．当 0<a <e −1，即 a −1>e 时，f(e a −1)=a −1−ae a−1=a(a −2−e a −1)<0. 又 f (a −1)>0，且函数 f (x ) 在 [a −1,e a −1] 上的图象连续，所以 f (x ) 在 (a −1,e a −1) 上存在零点． 又当 x >a −1 时，fʹ(x )=1x−a <0, 故 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上是单调减函数， 所以 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上只有一个零点． 综合①②③可知，当 a ≤0 或 a =e −1 时，f (x ) 的零点个数为 1，当 0<a <e −1 时，f (x ) 的零点个数为 2．8（1） 因为f (1+x)=a (1−2∣x∣), f (12−x)=a (1−2∣x∣), 有f (1+x)=f (1−x). 所以函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称． （2） 当 0<a <12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤12,4a 2(1−x ),x >12,所以 f(f (x ))=x 只有一个解 x =0． 又 f (0)=0，故 0 不是二阶周期点． 当 a =12 时，有f(f (x ))={x,x ≤12,1−x,x >12,所以 f(f (x ))=x 有解集 {x∣ x ≤12}．又当 x ≤12时，f (x )=x ，故 {x∣ x ≤12} 中的所有点都不是二阶周期点．当 a >12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤14a ,2a −4a 2x,14a <x ≤12,2a (1−2a )+4a 2x,12<x ≤4a −14a ,4a 2−4a 2x,x >4a −14a,所以 f(f (x ))=x 有四个解：0,2a 1+4a2,2a1+2a ,4a 21+4a 2．又f (0)=0,f (2a )=2a,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2, 故只有 2a1+4a 2,4a 21+4a 2 是 f (x ) 的二阶周期点． 综上所述，所求 a 的取值范围为 a >12． （3） 由（2）得x 1=2a1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2, 因为 x 3 为函数 f(f (x )) 的最大值点，所以x 3=14a 或 x 3=4a −14a. 当 x 3=14a 时，S (a )=2a−14(1+4a 2)，求导得Sʹ(a )=2(a −1+√22)(a −1−√22)(1+4a 2)2,所以当 a ∈(12,1+√22) 时，S (a ) 单调递增，当 a ∈(1+√22,+∞) 时，S (a ) 单调递减；当x3=4a−14a 时，S(a)=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2,因为a>12，从而有Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2>0,所以当a∈(12,+∞)时，S(a)单调递增．9（1）要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≥1−x,只需证明(1+x)e−x≥(1−x)e x.记h(x)=(1+x)e−x−(1−x)e x，则hʹ(x)=x(e x−e−x),当x∈(0,1)时，hʹ(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1−x,x∈[0,1].要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≤11+x，只需证明e x≥x+1.记K(x)=e x−x−1，则Kʹ(x)=e x−1,当x∈(0,1)时，Kʹ(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x,x∈[0,1].综上，1−x≤f(x)≤11+x,x∈[0,1].（2）方法一：f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥1−x−ax−1−x32−2xcosx=−x(a+1+x22+2cosx).设G(x)=x22+2cosx，则Gʹ(x)=x−2sinx.记H(x)=x−2sinx，则Hʹ(x)=1−2cosx,当x∈(0,1)时，Hʹ(x)<0，于是Gʹ(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，Gʹ(x)<Gʹ(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3,所以，当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)−g(x)≤11+x−1−ax−x32−2xcosx=−x1+x−ax−x32−2xcosx=−x(11+x +a+x22+2cosx).记I(x)=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+G(x),则Iʹ(x)=−1(1+x)2+Gʹ(x),当x∈(0,1)时，Iʹ(x)<0．故I(x)在[0,1]上是减函数．于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>−3时，a+3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．方法二：先证当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.记F(x)=cosx−1+12x2，则Fʹ(x)=−sinx+x.记G(x)=−sinx+x，则Gʹ(x)=−cosx+1,当x∈(0,1)时，Gʹ(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx.同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1−14x2.综上，当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.因为当x∈[0,1]时，f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥(1−x)−ax−x32−1−2x(1−14x2)=−(a+3)x.所以当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≤1−1−ax−x3−2x(1−1x2)=x2+x3−(a+3)x≤32x[x−23(a+3)],所以存在x0∈(0,1)（例如x0取a+33和12中的较小值）满足f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．10（1） 由已知f (0)=0,fʹ(x )=(1−2λ)x −λx 2(1+x )2,fʹ(0)=0.若 λ≤0，则在 (0,+∞) 上，fʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，f (x )>f (0)=0，不符题意； 若 0<λ<12，则当 0<x <1−2λλ时，fʹ(x )>0，所以 f (x )>0．若 λ≥12，则当 x >0 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，所以当 x >0 时，f (x )<0． 综上，λ 的最小值是 12．（2） 令 λ=12．由（1）知，当 x >0 时，f (x )<0，即x (2+x )2+2x>ln (1+x ).取 x =1k ，则2k +12k (k +1)>ln (k +1k).于是a 2n −a n +14n =∑(12k +12(k +1))2n−1k=n=∑2k +12k (k +1)2n−1k=n >∑lnk +1k2n−1k=n=ln2n −lnn =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.11. （1） 由已知得 f (0)=2，g (0)=2，fʹ(0)=4，gʹ(0)=4． 而fʹ(x)=2x+a,gʹ(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2．（2）由（1）知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x(x+1)−x2−4x−2，则Fʹ(x)=2ke x(x+2)−2x−4=2(x+2)(ke x−1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1．令Fʹ(x)=0，得x1=−lnk,x2=−2.（i）若1≤k<e2，则−2<x1≤0,从而当x∈(−2,x1)时，Fʹ(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=2x1+2−x12−4x1−2=−x1(x1+2)≥0.故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（ii）若k=e2，则Fʹ(x)=2e2(x+2)(e x−e−2),从而当x>−2时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上单调递增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（iii）若k>e2，则F(−2)=−2ke−2+2=−2e−2(k−e2)<0.从而当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1,e2]．12. （1）fʹ(x)=e x−1x+m.由x=0是f(x)的极值点得fʹ(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x−ln(x+1),定义域为(−1,+∞)，fʹ(x)=e x−1 x+1.函数fʹ(x)=e x−1x+1在(−1,+∞)上单调递增，且fʹ(0)=0，因此，当x∈(−1,0)时，fʹ(x)<0；当x∈(0,+∞)时，fʹ(x)>0．所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．（2）当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数fʹ(x)=e x−1 x+2在(−2,+∞)上单调递增．又fʹ(−1)<0，fʹ(0)>0，故fʹ(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(−1,0)．当x∈(−2,x0)时，fʹ(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fʹ(x)>0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由fʹ(x0)=0得e x0=1x0+2,ln(x0+2)=−x0,故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2 x0+2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0．13. （1）因为fʹ(x)=(1−2x)e−2x,由fʹ(x)=0，解得x=1 2 .当x<12时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,12)，单调递减区间是(12,+∞)，最大值为f(12)=12e−1+c．（2）令g(x)=∣lnx∣−f(x)=∣lnx∣−xe−2x−c,x∈(0,+∞).（1）当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则g (x )=lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e−2x(e 2x x+2x −1). 因为e 2x x>0，2x −1>0，所以gʹ(x )>0.因此 g (x ) 在 (1,+∞) 上单调递增． （2）当 x ∈(0,1) 时，lnx <0，则g (x )=−lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e −2x(−e 2xx +2x −1).因为 e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x >0，所以−e 2x x<−1. 又 2x −1<1，所以 −e 2x x+2x −1<0，即gʹ(x )<0.因此 g (x ) 在 (0,1) 上单调递减． 综合（1）（2）可知，g (x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增； 所以，g (x ) 的最小值是 g (1)=−e −2−c ．①当 g (1)=−e −2−c >0，即 c <−e −2 时，g (x ) 没有零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0；②当 g (1)=−e −2−c =0，即 c =−e −2 时，g (x ) 只有一个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1；③当 g (1)=−e −2−c <0，即 c >−e −2 时， 当 x ∈(1,+∞) 时，由（1）知g (x )=lnx −xe −2x −c ≥lnx −(12e −1+c)>lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 lnx −1−c >0，，即 x ∈(e 1+c ,+∞)； 当 x ∈(0,1) 时，由（1）知g (x )=−lnx −xe −2x −c ≥−lnx −(12e −1+c)>−lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 −lnx −1−c >0，即 x ∈(0,e −1−c )．所以当 c >−e −2 时，g (x ) 有两个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2． 综上所述，当 c <−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0； 当 c =−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1； 当 c >−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2．14. （1）函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为[−1,0),(0,+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为fʹ(x1)，点B处的切线斜率为fʹ(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有fʹ(x1)fʹ(x2)=−1.当x<0时，对函数f(x)求导，得fʹ(x)=2x+2.因为x1<x2<0，所以(2x1+2)(2x2+2)=−1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2−x1=12[−(2x1+2)+2x2+2]≥√[−(2x1+2)](2x2+2)=1,当且仅当−(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=−32且x2=−12时，等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2−x1的最小值为1．（3）当x1<x2<0或x2>x1>0时，fʹ(x1)≠fʹ(x2),故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x−x1),即y=(2x1+2)x−x12+a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2),即y=12⋅x+lnx2−1.两切线重合的充要条件是{1x2=2x1+2, ⋯⋯①lnx2−1=−x12+a. ⋯⋯②由①及x1<0<x2知，−1<x1<0．由①②，得a=x12+ln12x1+2−1=x12−ln(2x1+2)−1.∵函数y=x12−1，y=−ln(x1+2)在区间(−1,0)上单调递减，∴a(x1)=x12−ln(2x1+2)−1在(−1,0)上单调递减，且x1→−1时，a(x1)→+∞；x1→0时，a(x1)→−1−ln2．∴a的取值范围是(−1−ln2,+∞)．15. （1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．fʹ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令fʹ(x)=0，得x=√e．当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间是√e )，单调递增区间是(√e+∞)．（2）当0<x≤1时，f(x)≤0．t>0，令h(x)=f(x)−t,x∈[1,+∞).由（1）知，h(x)在区间(1,+∞)内单调递增．h(1)=−t<0,h(e t)=e2t lne t−t=t(e2t−1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞)，使得t=f(s)成立．（3）因为s=g(t)，由（2）知，t=f(s)，且s>1，从而lng(t)=lns ()=lnsln(s2lns)=lns2lns+ln(lns)=u2u+lnu,其中u=lns．要使2 5<lng(t)lnt<12成立，只需0<lnu<u2．当t>e2时，若s=g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立．另一方面，令F(u)=lnu−u,u>1,Fʹ(u)=1u−12,令Fʹ(u)=0，得u=2，当1<u<2时，Fʹ(u)>0，当u>2时，Fʹ(u)<0．故对u>1，F(u)≤F(2)<0,因此lnu<u2成立．综上，当t>e2时，有2 5<lng(t)lnt<12.16. （1）由题意fʹ(x)=3x2−6x+3a,故fʹ(1)=3a−3.又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4.（2）由于fʹ(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0≤x≤2．故①当a≤0时，有fʹ(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3−3a.② 当a≥1时，有fʹ(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1.③ 当0<a<1时，设x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，则0<x1<x2<2,fʹ(x)=3(x−x1)(x−x2).列表如下：由于 f (x 1)=1+2(1−a )√1−a,f (x 2)=1−2(1−a )√1−a,故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)−f (x 2)=4(1−a )√1−a >0,从而f (x 1)>∣f (x 2)∣.所以∣f (x )∣max =max {f (0),∣f (2)∣,f (x 1)}.① 当 0<a <23 时，f (0)>∣f (2)∣．又f (x 1)−f (0)=2(1−a )√1−a −(2−3a )=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +2−3a>0,故 ∣f (x )∣max=f (x 1)=1+2(1−a )√1−a ． ② 当 23≤a <1 时，∣f (2)∣=f (2)，且 f (2)≥f (0)． 又f (x 1)−∣f (2)∣=2(1−a )√1−a −(3a −2)=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +3a −2所以1）当 23≤a <34 时，f (x 1)>∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =f (x 1)=1+2(1−a )√1−a.2）当 34≤a <1 时，f (x 1)≤∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =∣f (2)∣=3a −1.综上所述，∣f (x )∣max={ 3−3a,a ≤0,1+2(1−a )√1−a,0<a <34,3a −1,a ≥34.17. （1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，故fʹ(x)=2a(x−5)+6 x .令x=1，得f(1)=16a,fʹ(1)=6−8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1).由点(0,6)在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 2 .（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0),fʹ(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令fʹ(x)=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹ(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数；当2<x<3时，fʹ(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A．12 B．13 C．14 D．164．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )．A． B．C．12y x=± D ．5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧qC．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4]B．[－5,2] C．[－4,3]D．[－2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．49．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．A．10 B．9 C．8 D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π12已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.星期一已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 星期二如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．星期三为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 星期五已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明：DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

2013年全国各省市高考文科、理科数学函数与导数大题1（本小题共13分）(2013北京.理)设l 为曲线ln :x C y x=在点(1,0)处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 解：（I ）2ln 1ln x xy y x x-'=∴=,所以l 的斜率11x k y ='==所以l 的方程为1y x =-（II ）证明：令()(1)ln (0)f x x x x x =--> 则1(21)(1)()21x x f x x xx+-'=--=()f x ∴在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又(1)0f = (0,1)x ∈时，()0f x >，即ln 1xx x <- (1,)x ∈+∞时，()0f x >，即ln 1xx x<- 即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方2．（13分）（2013•北京.文）已知函数2()sin cos f x x x x x =++ (1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； (2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围． 解：(1)()2cos f x x x x '=+,因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切， 所以22cos 0()00()1sin cos a a a f a a f a b b a a a a b +='==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨==++=⎩⎩⎩故0,1a b == (2)()(2cos )f x x x '=+于是当0x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增．当0x <时，()0f x '<，故()f x 单调递减． 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，故当1b >时，曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点．故b 的取值范围是(1,)+∞．3．(2013广东.理)（14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表f x 0,ln 2(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k kk -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-, 令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<2013全国高考文科、理科数学 函数与导数专题 邓老师所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--. 4．（本小题满分14分）(2013广东文) 设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．【解析】：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3k x = ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(24124330k k ∆=-=+->，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k=-=-- 解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==5．(2013大纲版.文)（12分）已知函数32()331f x x ax x =+++(1)求当a =,讨论()f x 的单调性; (1)若[2,)x ∈+∞时,()0f x ≥,求a 的取值范围.解：(1)求当a =, 32()331f x x ax x =+++2()33f x x '=-+，令()01f x x '=⇒=或1x =2013全国高考文科、理科数学 函数与导数专题 邓老师当(1)x ∈-∞时，()0f x '> ,()f x 单调递增， 当11)x ∈时，()0f x '< ,()f x 单调递减， 当1,)x ∈+∞时，()0f x '> ,()f x 单调递增； (2)由(2)0f ≥，可解得54a ≥-，当5,(2,)4a x ≥-∈+∞时，2251()3(21)3(1)3()(2)022f x x ax x x x x '=++≥-+=-->所以函数()f x 在(2,)+∞单调递增，于是当[2,)x ∈+∞时，()(2)0f x f ≥=综上可得，a 的取值范围是5[,)4-+∞.6．（13分）（2013•福建）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1af x x '=-（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-，因而(1)1,(1)1f f '==-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为20x y +-= （2）由()1(0)a x af x x xx-=-=>知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =又当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．从而函数()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值()ln f a a a a =-，无极大值．7．（14分）（2013•福建）已知函数()1(),x af x x a R e=-+∈(e 为自然对数的底数)(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数()f x 的极值；(3)当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．解：(1)由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e'=-，又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,(1)010af a e e'∴=⇒-=⇒=(2) ()1x af x e'=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(,)-∞+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0a >时，由()0f x '=，解得ln x a =又当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>．()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减,在(ln ,)a +∞上单调递增,从而函数()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；2013全国高考文科、理科数学 函数与导数专题 邓老师当0a >时，函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值． (3)当1a =时，1()1x f x x e =-+，令1()()(1)(1)xg x f x kx k x e=--=-+ 则直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时(0)10g =>，1111()11k g k e -=-+-， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤． 又1k =时，1()0x g x e=>，知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1.8．（13分）（2013•安徽）设函数23*222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈，证明： （1）对每个*n N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =；（2）对于任意*p N ∈，由（1）中n x 构成数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 证明：（1）对每个*n N ∈，当0x >时，由函数23**222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈，可得 21()1023n x x x f x n-'=++++>，故函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．求得1222111(1)0,(1)023n f f n ==+++>，又232222222()()()22112333()1[]()3323343nn i n i f n ==-+++++≤-+⋅∑21122()[1()]111233()0343313n n ---=-+⋅=-⋅<-根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =．（2）对于任意*p N ∈，由（1）中n x 构成数列{}n x ，当0x >时，112()()()(1)n n n n x f x f x f x n ++=+>+，111()()()0n n n n n n f x f x f x +++∴>== 由1()n f x +在(0,)+∞上单调递增，可得 10n n n n p x x x x ++<⇒->． 故数列{}n x 为递减数列，即对任意的 *,,0n n p n p N x x +∈->由于23222()()()()123nn n n n n n x x x f x x n=-+++++......①， 23222()()()()123nn p n p n p n p n p n p x x x f x x n++++++=-+++++12222()()()(1)(2)()n n n p n p n p n p x x x n n n p +++++++++++++..............②，用①减去②并移项，利用01n p x +<≤，可得222211()()()()k kkkn pn pnn p n n p n p n n p k k n k n x x x x x x k k k ++++++==+=+--=+≤∑∑∑21111111(1)n pn pk n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑综上可得，对于任意*p N ∈，由（1）中n x 构成数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．9. (本小题满分14分) (2013陕西.理) 已知函数()e ,x f x x =∈R .2013全国高考文科、理科数学 函数与导数专题 邓老师(Ⅰ) 若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设0x >, 讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a b < , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由. 【解析】(Ⅰ) ()f x 的反函数x x g ln )(=. 设直线1y kx =+与x x g ln )(=相切与点220000000,x x1)(x g'k lnx 1kx ，则)y ，P(x -==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===+e k e 。

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同 设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.65.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a +bx+f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.66.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<-C. 121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）A. ()0()g a f b <<B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e 为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 二、填空题11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax 2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则a= .12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则)(x f 的最大值为_______. 三、解答题13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数。

2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题及答案【试题一】题目：已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \)，求\( f(x) \)的导数\( f'(x) \)。

解答：首先，我们需要对函数\( f(x) \)求导。

根据导数的基本运算法则，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 1) \]分别对每一项求导，得到：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \]【试题二】题目：解方程\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)。

解答：这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中\( a = 2 \)，\( b = -5 \)，\( c = 3 \)。

代入求根公式，得到：\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} \]\[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \]所以，方程的解为：\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]【试题三】题目：已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证三角形ABC是一个直角三角形。

解答：根据勾股定理，如果三角形的三边长满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是一个直角三角形。

已知条件正是勾股定理的表达式，因此我们可以得出结论：三角形ABC是一个直角三角形。

【试题四】题目：已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \)，\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)，求\( \sin\alpha \)和\( \cos\alpha \)的值。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。