2016-2020年高考数学分类汇编数学导数

2016-2020年高考数学分类汇编：专题3导数

全国1

【2020全国1卷理6】函数f(x)=x 4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为

A．y=−2x−1 B. y=−2x+1 C. y=2x−3 D. y=2x+1

【答案】B

【解析】f′(x)=4x3−6x2,k=f′(1)=−2,f(1)=−1,∴y−f(1)=f′(1)(x−1),∴y=−2x+1

【2020全国1卷文15】曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.

【答案】y=2x

【解析】设与曲线y相切的直线的切点坐标为(x0,y0)，对y=ln x+x+1求导，得y′=1

+1

x

+1=2，解得x0=1，∴y0=2，由直线的点斜式可因为切线斜率为2，即切点处的导数1

x0

得y−2=2(x−1)，即y=2x。

【2020全国1卷文20】已知函数f(x)=e x−a(x+2).

（1）当a =1时，讨论f (x )的单调性； （2）若f (x )有两个零点，求a 的取值范围。

【答案】 （1）()x f 在()+∞,1上递增，在()1,∞-上递减，（2）.1e

a > 【解析】（1）函数()x f 的定义域为R ，().'a e x f x -=

因为(),1,1'-=∴=x e x f a 若0x ，();0'>x f 所以()x f 在()+∞,1上递增，在()1,∞-上递减； （2）解法1：

①当0≤a 时，()0'>x f ，()x f 在R 上递增；最多只有1个零点，不符合题意； ②当0>a 时，()x f 在()+∞,ln a 上递增，在()a ln ,∞-上递减；

所以，()x f 的最小值为()()a a a f ln 1ln +-=。由题意，()0ln

->e a 。

下面证明1

->e a 当时，()x f 有两个零点

首先1ln ->a ，取21-=x ，则a x ln 1<，且()021>=-e x f ， 所以由零点存在性定理知，()x f 在()a x ln ,1上存在唯一零点；

另一方面，取a b x ln 2+=，且a b ln 12+>，则()02>x f 。解释如下：

因为由（1）可知：x e x

+≥1，所以.21,2122

22

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≥x e e x e x

x x

所以2

21⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≥b e b ；所以 ()()()2ln 2222++-=+-=a b a ae x a e x f b

x

()

.0ln 141ln 22>⎪⎭

⎫

⎝⎛--≥---=a b a a b e a b

所以由零点存在性定理知，()x f 在()2ln x a ，上存在唯一零点； 综上讨论可知：若()x f 有两个零点，a 的取值范围是.

1

e a >

解法2

.

①当0≤a 时，()0'>x f ，()x f 在R 上递增；最多只有1个零点，不符合题意；

②当0>a 时，

由()02=+-x a e x 得：

x e x a 21+=，记()()x x e

x x g e x x g 1

,2'+-=+=，()x g 在()1,-∞-上单调递增，在()+∞,1-上单调递减，所以()x g 的最大值为()e g =-1；要使()

x g e

x a x =+=2

1有两个不同的零点，必要条件是⎪⎩⎪

⎨⎧<>e a

a 10

，解得.1e a >，下面证明.1e a >时()x g 有两个不同

的零点，一方面()()a e g a g 11,102>=-<

=-，所以由零点存在性定理知，()a

x g 1=在()12--，上存在唯一零点；另一方面()，a

e g 11>=-因为由（1）可知：x e x

+≥1， 4,2,22

22

x e x e x e x x x >⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛>>，所以有()()()2442424222-=-+<+<+=x x x x x e x x g x ，令a

x 1

24=-得,1224->>+=a x 所以 ()a a g 124<

+，所以由零点存在性定理知，()a

x g 1

=在()241+-a ，上存在唯一零点，所以.1e a >时()x g 有两个不同的零点，即()x f 有两个零点，a 的取值范围是.

1e a > 【2020全国1卷理21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x. (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x ≥0时，f(x)≥1

2x 3+1，求a 的取值范围.

【答案】（1）f(x)在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增.（2）a ≥7−e 24

【解析】（1）当a =1时，f(x)=e x +x 2−x ，x ∈R

则f′(x)=e x +2x −1，令g (x )=e x +2x −1，g′(x)=e x +2>0，则g (x )在R 上单调递增，当x =0时，g(0)=0，即f′(0)=0，∴f(x)在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增. （2）①当x =0时，恒成立；

②当x >0时，f (x )=e x

+ax 2

−x ≥1

2x 3

+1⟹−a ≤e x

x 2−1

2x −1

x 2−1

x ， 令 g (x )=

e x x 2

−12

x −

1x 2

−1

x

(x >0).

g ′(

x )=2e x (x−2)−(x 3−2x−4)

2x 3

=

(x−2)2x 3

(2e x −x 2−2x −2).

令ℎ(x )=2e x −x 2−2x −2，ℎ′(x )=2e x −2x +2>2(x +1)−2x −2=0 ∴ℎ(x )在x >0上单调递增，∴ℎ(x )>ℎ(0)=0. ∴当02时，g′(x)>0，g(x)单调递增.

∴当x =2时，g(x)取得极小值也是最小值，g (2)=

e 2−74

.

由题意知:−a ≤g (2)=e 2−74

,则a ≥7−e 24

【2019全国1卷文理13】曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为____________

【答案】.3x y =

【解析】由已知得()

3)0(',133)('2=++=f e x x x f x ，曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为.3x y =