2019届高考二轮复习第二部分专项二专题一第2讲专题强化训练含解析-(数学)

一、选择题1．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：选B.若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．故选B.2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错．故选B.3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．5．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C. 6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.如图，设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC ，因为D 1E ⊂平面ABD 1， 所以平面ABD 1⊥平面ABC .因为D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ， 所以BC ⊥平面ABD 1， 又BC ⊂平面BCD 1， 所以平面BCD 1⊥平面ABD 1，因为BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1， 所以BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ， 所以AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1， 所以平面ACD 1⊥平面BCD 1.所以共有3对平面互相垂直．故选B. 二、填空题7．(2018·广州调研)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：138.如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于点E ，AF ⊥DC 交DC 于点F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D -AEF 体积的最大值为________．解析：因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF .又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB .又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D -AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D ­AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a＝b ＝1时等号成立)．答案：269．(2018·昆明调研)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________．解析：如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME ·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN面积的最小值为12×4×22＝4 2.答案：4 2 三、解答题10.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD 且BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC .11.如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)如图，取CE 的中点G ， 连接FG ，BG . 因为F 为CD 的中点， 所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE ， 所以GF ∥AB .又因为AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， 所以AF ∥平面BCE .(2)因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ， 所以AF ⊥平面CDE .因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE . 又因为BG ⊂平面BCE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .12．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离．解：(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 又DC ⊥BD ，DC ⊂平面BCD ， 所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ， 且DC ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面ADC . (2)由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成的角． 依题意知tan ∠CAD ＝DCAD＝6，因为AD ＝1，所以DC ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1， 易知△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3. 由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，同理DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A ­BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B ­ADE ＝V A ­BDE ＝12V A ­BCD ＝36， 所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.。

．(·高考全国卷Ⅱ)设函数()＝－＋－－.()当＝时，求不等式()≥的解集；()若()≤，求的取值范围．解：()当＝时，()＝可得()≥的解集为{－≤≤}．()()≤等价于＋＋－≥.而＋＋－≥＋，且当＝时等号成立．故()≤等价于＋≥.由＋≥可得≤－或≥.所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．．(·开封模拟)已知函数()＝－，<.()当＝－时，求解不等式()＋(－)≥－；()若不等式()＋()<的解集非空，求的取值范围．解：()设()＝－＋＋＝由()≥()解得{≤－或≥}．()()＋()＝－＋－，<.设()＝()＋()，当≤时，()＝－＋－＝－，则()≥－；当<<时，()＝－＋－＝－，则－<()<－；当≥时，()＝－＋－＝－，则()≥－.则()的值域为，不等式()＋()<的解集非空，即>－，解得>－，由于<，则的取值范围是(－，)．．(·石家庄质量检测(一))已知函数()＝－－(－).()当＝时，求不等式()>的解集；()若函数()的图象与轴没有交点，求实数的取值范围．解：()当＝时，不等式可化为－－>，即－>，所以－<－或－>，即<或>，所以不等式()>的解集为.()当>时，()＝要使函数()的图象与轴无交点，只需即≤<；当＝时，()＝＋，函数()的图象与轴有交点，不合题意；当<时，()＝要使函数()的图象与轴无交点，只需此时无解．综上可知，若函数()的图象与轴无交点，则实数的取值范围为[，)．．(·高考全国卷Ⅲ)设函数()＝＋＋－.()画出＝()的图象；()当∈[，＋∞)时，()≤＋，求＋的最小值．解：()()＝＝()的图象如图所示．()由()知，＝()的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当≥且≥时，()≤＋在[，＋∞)成立，因此＋的最小值为.．(·石家庄质量检测(二))已知函数()＝－＋＋.()当＝时，求()≤的解集；()若()＝＋－.当>－且∈时，()≥()，求实数的取值范围．解：()当＝时，()＝.当<－时，()≤无解；当－≤≤时，()≤的解集为；当>时，()≤无解．综上所述，()≤的解集为.()当∈时，()＝(－)＋(＋)＝＋，所以()≥()可化为＋≥()．又()＝＋－在上的最大值必为、之一，则，即，即－≤≤.。

第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。

(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。

(3)tan(α±β)＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。

（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减． (2)证明：由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点， 从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点． 综上，f (x )只有一个零点．2．(2018·唐山模拟)已知f (x )＝12x 2－a 2ln x ，a >0.(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，证明：x 1＋x 2>2a . 解：(1)由题意知，f ′(x )＝x －a 2x ＝（x ＋a ）（x －a ）x .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得最小值f (a )＝12a 2－a 2ln a .令12a 2－a 2ln a ≥0，解得0<a ≤ e. 故a 的取值范围是(0， e ]．(2)证明：由(1)知，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，设0<x 1<a <x 2，则2a －x 1>a .要证x 1＋x 2>2a 即x 2>2a －x 1，则只需证f (x 2)>f (2a －x 1)． 因f (x 1)＝f (x 2)，则只需证f (x 1)>f (2a －x 1)． 设g (x )＝f (x )－f (2a －x )，0<x <a .则g ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2a －x )＝x －a 2x ＋2a －x －a 22a －x ＝－2a （a －x ）2x （2a －x ）<0，所以g (x )在(0，a )上单调递减，从而g (x )>g (a )＝0. 又由题意得0<x 1<a ，于是g (x 1)＝f (x 1)－f (2a －x 1)>0，即f (x 1)>f (2a －x 1)． 因此x 1＋x 2>2a .3．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2.解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x .①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a>0，故当x ∈(0，e－1－1a)时，f ′(x )<0，当x ∈(e－1－1a，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e－1－1a)上单调递减，在(e －1－1a，＋∞)上单调递增；③当a <0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a>0，故当x ∈(0，e－1－1a)时，f ′(x )>0，当x ∈(e－1－1a，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0，e－1－1a)上单调递增，在(e －1－1a，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)可知若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1， 则a <0，且e－1－1a＝1，解得a ＝－1，故此时f (x )＝x －x ln x ， 要证f (x )≤e －x ＋x 2，只须证x －x ln x ≤e －x ＋x 2，即证e －x ＋x 2－x ＋x ln x ≥0，设h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，x >0，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x .令g (x )＝h ′(x )， 则g ′(x )＝e －x ＋2＋1x>0，所以函数h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，又h ′⎝⎛⎭⎫1e ＝－e －1e＋2e －1<0，h ′(1)＝－1e＋2>0， 故h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x 在⎝⎛⎭⎫1e ，1上存在唯一零点x 0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. 所以当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，故h (x )≥h (x 0)＝e－x0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0，所以只需证h (x 0)＝e －x0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0≥0即可，由－e －x0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e－x0＝2x 0＋ln x 0，所以h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)， 又x 0＋1>0，所以只要x 0＋ln x 0≥0即可， 当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x0⇒－e －x0＋x 0<0，所以－e－x0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e－x0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x0⇒－e－x0＋x 0>0，所以－e－x0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e－x0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x0⇒－e－x0＋x 0＝0，得－e－x0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立，得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0， 所以h (x )≥0，即f (x )≤e －x ＋x 2.4．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f (x )＝e x －x 2. (1)求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求证：当x >0时，e x ＋（2－e ）x －1x ≥ln x ＋1.解：(1)由题意得，f ′(x )＝e x －2x ， 则f ′(1)＝e －2，f (1)＝e －1，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1. (2)证明：f ′(x )＝e x －2x ，令h (x )＝e x －2x ， 则h ′(x )＝e x －2，易知f ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )≥f ′(ln 2)＝2－2ln 2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又曲线y ＝f (x )过点(1，e －1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1，所以可猜测：当x >0，x ≠1时，f (x )的图象恒在切线y ＝(e －2)x ＋1的上方． 下证：当x >0时，f (x )≥(e －2)x ＋1.设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1，x >0， 则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，令φ(x )＝g ′(x )， 则φ′(x )＝e x －2，易知g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，0<ln 2<1，所以g ′(ln 2)<0，所以存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )<0， 故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故e x ＋（2－e ）x －1x≥x ，x >0.又x ≥ln x ＋1，所以e x ＋（2－e ）x －1x ≥ln x ＋1，当且仅当x ＝1时等号成立．。

一、选择题1．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：选B.若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．故选B.2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错．故选B.3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是()A．①②B．②③C ．①④D ．②④解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．5．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.如图，设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC ，因为D 1E ⊂平面ABD 1， 所以平面ABD 1⊥平面ABC .因为D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ， 所以BC ⊥平面ABD 1，又BC ⊂平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面ABD 1，因为BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1， 所以BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ， 所以AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1， 所以平面ACD 1⊥平面BCD 1. 所以共有3对平面互相垂直．故选B. 二、填空题7．(2018·广州调研)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：138.如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于点E ，AF ⊥DC 交DC 于点F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D -AEF 体积的最大值为________．解析：因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF .又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB .又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D -AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D ­AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．答案：269．(2018·昆明调研)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________．解析：如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME ·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝4 2.答案：4 2 三、解答题10.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD 且BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC .11.如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . 因为F 为CD 的中点，所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE ， 所以GF ∥AB .又因为AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， 所以AF ∥平面BCE .(2)因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ， 所以AF ⊥平面CDE .因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE . 又因为BG ⊂平面BCE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .12．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离．解：(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 又DC ⊥BD ，DC ⊂平面BCD ， 所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ， 且DC ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC . (2)由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成的角． 依题意知tan ∠CAD ＝DCAD ＝6，因为AD ＝1，所以DC ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1， 易知△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3. 由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，同理DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A ­BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B ­ADE ＝V A ­BDE ＝12V A ­BCD ＝36， 所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.。

一、选择题1．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54A．07B．25C．42 D．52解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.3．(2018·昆明模拟)AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)；二级良(51～100)；三级轻度污染(101～150)；四级中度污染(151～200)；直至五级重度污染(201～300)；六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为()A．3 B．4C．12 D．21解析：选C.从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为410＝2 5，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×25＝12，故选C.4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7C．10 D．50解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.5．(2018·桂林、白色、梧州、崇左、北海五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是()①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是D 省、B 省、A 省； ④2016年同期A 省的GDP 总量也是第三位． A ．①② B ．②③④ C ．②④D ．①③④解析：选B.①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2016年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.6．(一题多解)(2018·石家庄质量检测(二))某学校A 、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于B 班的平均成绩； ②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于A 班的平均成绩； ③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于B 班成绩的标准差； ④B 班数学兴趣小组成绩的标准差大于A 班成绩的标准差． 其中正确结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B.法一：由于x －A ＝115(53＋62＋64＋76＋74＋78＋78＋76＋81＋85＋86＋88＋82＋92＋95)＝78，x －B ＝115(45＋48＋51＋53＋56＋62＋64＋65＋73＋73＋74＋70＋83＋82＋91)＝66，所以x －A >x －B ，所以①正确．s 2A ＝115[(53－78)2＋(62－78)2＋(64－78)2＋(76－78)2＋(74－78)2＋(78－78)2＋(78－78)2＋(76－78)2＋(81－78)2＋(85－78)2＋(86－78)2＋(88－78)2＋(82－78)2＋(92－78)2＋(95－78)2]＝121.6，s 2B ＝115[(45－66)2＋(48－66)2＋(51－66)2＋(53－66)2＋(56－66)2＋(62－66)2＋(64－66)2＋(65－66)2＋(73－66)2＋(73－66)2＋(74－66)2＋(70－66)2＋(83－66)2＋(82－66)2＋(91－66)2]＝175.2.故s 2B >s 2A ，B 班的方差大，则B 班的标准差也大，④正确，故选B.法二：由茎叶图可知，A 班数学兴趣小组的平均成绩明显高于B 班；A 班的数学成绩较稳定，大多在70～90分，B 班的数学成绩较分散，显然B 班的方差、标准差较大，故选B.二、填空题7．给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同； ③若一组数据a ，0，1，2，3的平均数为1，则其标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，其中a ^＝2，x －＝1，y －＝3，则b ^＝1.其中真命题有________(填序号)．解析：在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样本的平均数为1，所以a ＋0＋1＋2＋3＝5，解得a ＝－1，故样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为2，故③是假命题；在④中，回归直线方程为y ^＝b ^x ＋2，又回归直线过点(x －，y －)，把(1，3)代入回归直线方程y ^＝b ^x －＋2，得b ^＝1，故④是真命题．答案：②④8．(2018·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.59，a ＝y －b x ，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为________万元．解析：x －＝2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.925＝2.50(万元)，y －＝1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.755＝1.50(万元)，其中b ^＝0.59，a ^＝y －－b ^x －＝0.025，y ^＝0.59x ＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y ^＝0.59×3.00＋0.025＝1.795万元．答案：1.7959．某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公式可得s 2＝15[(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)2]＝30.8.答案：30.8 三、解答题10．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示：(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)用样本频率代替概率．现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中有k 名学生“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P (X ＝k )，其中k ＝0，1，2，…，20.当P (X ＝k )最大时，求k 的值．解：(1)由频率分布直方图可知，周末“阅读时间”在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，所以1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ， 解得a ＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5， 所以2≤m <2.5.由0.5×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时．(3)设在取出的20名学生中，周末“阅读时间”在[1，2.5)内的有X 人，则X 服从二项分布，即X ～B (20，0.6)，所以恰好有k 名学生周末“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P (X＝k )＝C k 20(0.6)k (0.4)20－k， 其中k ＝0，1，2， (20)设t ＝P （X ＝k ）P （X ＝k －1）＝C k 20（0.6）k （0.4）20－k C k －120（0.6）k －1（0.4）21－k ＝3（21－k ）2k ，k ＝1，2， (20)若t >1，则k <12.6，P (X ＝k －1)<P (X ＝k )；若t <1，则k >12.6，P (X ＝k －1)>P (X ＝k )． 又P （X ＝13）P （X ＝12）＝3×（21－13）2×13＝1213<1，所以当k ＝12时，P (X ＝k )最大． 所以k 的值为12.11．(2018·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(单位：万元)和产品销量(单位：万件)的具体数据．(1)根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y ＝b ^x ＋a ^(系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z (单位：件)表示日销量，z ∈[1 800，2 000)，则每位员工每日奖励100元；z ∈[2 000，2 100)，则每位员工每日奖励150元；z ∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布N (0.2，0.000 1)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)．参考数据：∑8i ＝1x i y i ＝338.5，∑8i ＝1x 2i ＝1 308，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，i ＝1，2，3，…，8.若随机变量z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)由题可知x －＝11，y －＝3，将数据代入b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i－n x －2得b ^＝338.5－8×11×31 308－8×121＝74.5340≈0.219≈0.22.a ^＝y －－b ^x －＝3－0.219×11≈0.59， 所以y 关于x 的回归方程为y ^＝0.22x ＋0.59.(2)由6月份日销量z 服从正态分布N (0.2，0.000 1)，得日销量在[1 800，2 000)的概率为0.954 52＝0.477 25，日销量在[2 000，2 100)的概率为0.682 72＝0.341 35，日销量在[2 100，＋∞)的概率为1－0.682 72＝0.158 65，所以每位员工当月的奖励金额大约为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)． 12．(2018·南京模拟)某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[707名学生座谈，从中选3名学生发言，记来自[80，90)发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．参数数据和公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)补全表格如下：依题意得K 2＝80×（12×20－28×20）40×40×32×48≈3.333>2.706，故有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中抽取的人数分别为2，3，2， 依题意随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，其分布列如下表：所以E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝4535＝97.。

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝{2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.)可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝{－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G （x ）＝2－x ，2x ，x ≥ 1.)由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－<g (x )<－m ；m2m2当x ≥时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－.m 2m2则g (x )的值域为，[－m2，＋∞)不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－，解得m >－2，m2由于m <0，则m 的取值范围是(－2，0)．3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，所以3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <或x >，1412所以不等式f (x )>0的解集为.{x |x <14或x >12}(2)当a >0时，f (x )＝{2x －1，x ≥1a，2（1－a ）x ＋1，x <1a，)要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需即1≤a <2；{2a－1>0，2（1－a ）≤0，)当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意；当a <0时，f (x )＝{2x －1，x ≤1a，2（1－a ）x ＋1，x >1a，)要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需此时无解．{2a－1<0，2（1－a ）≤0，)综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1，2)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b的最小值．解：(1)f (x )＝{－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥ 1.)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|.(1)当a ＝1时，求f (x )≤2的解集；(2)若g (x )＝4x 2＋ax －3.当a >－1且x ∈时，f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围．[－12，a2]解：(1)当a ＝1时，f (x )＝.{－4x ，x <－122，－12≤x ≤124x ，x >12)当x <－时，f (x )≤2无解；12当－≤x ≤时，f (x )≤2的解集为；1212{x |－12≤x ≤12}当x >时，f (x )≤2无解．12综上所述，f (x )≤2的解集为.{x |－12≤x ≤12}(2)当x ∈时，f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1，所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )．[－12，a2]又g (x )＝4x 2＋ax －3在上的最大值必为g 、g 之一，则，[－12，a 2](－12)(a 2){a ＋1≥g (－12)a ＋1≥g(a 2))即，即－≤a ≤2.{a ≥－2－43≤a ≤2)43又a >－1，所以－1<a ≤2，所以a 的取值范围为(－1，2]．6．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋3a 2|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集；(2)若对于任意函数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式可化为|2x |＋|x －2|≥3，得或或，{x <0－2x ＋2－x ≥3){0≤x ≤22x ＋2－x ≥3){x >22x ＋x －2≥3)解得x ≤－或x ≥1，13所以当a ＝0时，不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集为∪[1，＋∞)．(－∞，－13](2)对于任意实数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，即|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|<2a 恒成立．因为|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|≤|2x ＋1－2x －3a 2|＝|3a 2－1|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a 2－1|<2a .当a <0时，无解；当0≤a ≤时，1－3a 2<2a ，解得<a ≤；331333当a >时，3a 2－1<2a ，解得<a <1.3333所以实数a 的取值范围是.(13，1)7．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋1.(1)求不等式f (x )≥2x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．|x2＋a |解：(1)不等式f (x )≥2x 等价于x 2－|x |－2x ＋1≥0，①当x ≥0时，①式化为x 2－3x ＋1≥0，解得x ≥或0≤x ≤；3＋523－52当x <0时，①式化为x 2－x ＋1≥0，解得x <0，综上所述，不等式f (x )≥2x 的解集为.{x |x ≤3－52或x ≥3＋52}(2)不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，|x2＋a |等价于－f (x )≤＋a ≤f (x )在[0，＋∞)上恒成立，x2等价于－x 2＋x －1≤＋a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，x2等价于－x 2＋x －1≤a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，1232由－x 2＋x －1＝－－≤－(当且仅当x ＝时取等号)，12(x －14)2 1516151614x 2－x ＋1＝＋≥(当且仅当x ＝时取等号)，32(x －34)2 71671634所以－≤a ≤，1516716综上所述，实数a 的取值范围是.[－1516，716]8．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x 2＋2，g (x )＝|x －a |－|x －1|，a ∈R .(1)若a ＝4，求不等式f (x )>g (x )的解集；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝4时，不等式f (x )>g (x )为x 2＋2>|x －4|－|x －1|，g (x )＝|x －4|－|x －1|＝{－3，x ≥4，－2x ＋5，1<x <4，3，x ≤ 1.)①当x ≥4时，x 2＋2>－3恒成立，所以x ≥4.②当1<x <4时，x 2＋2>－2x ＋5，即x 2＋2x －3>0，得x >1或x <－3，所以1<x <4.③当x ≤1时，x 2＋2>3，则x >1或x <－1，所以x <－1.由①②③可知不等式f (x )>g (x )的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)当a ≥1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为a －1.{1－a ，x ≥a ，a ＋1－2x ，1<x <a ，a －1，x ≤1，)要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥a －1，则a ≤3，所以1≤a ≤3.当a <1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为1－a .{－a ＋1，x ≥1，2x －a －1，a <x <1，a －1，x ≤a)要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥1－a ，则a ≥－1，所以－1≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－1，3].。

一、选择题1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3 C ．2D.2＋1解析：选B.由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，所以2a ＝4c －23c ，所以e ＝ca＝2＋3，故选B.4．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝8x解析：选C.因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过点F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －p 2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px ⇒3x 2－5px ＋34p 2＝0，设A (x A，y A)，B (x B，y B)，则⎩⎨⎧x A＋x B＝53p ，x A·x B＝14p 2，所以|AB |＝（x A －x B ）2＋（y A －y B ）2＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋3·⎝⎛⎭⎫53p 2－4×14p 2＝83p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.6．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM →＝λMF →，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b，所以|PM |＝c 2b －b ，所以λ＝|PM →||MF →|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.故选B.二、填空题7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x ＞0，y ＞0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4，4)．答案：(4，4)8．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠P AQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．解析：根据题意可取P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以tan ∠P AF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a ＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF cos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF ＝1－tan 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF＝1－（1－e ）21＋（1－e ）2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)，所以1－e ＝12，e ＝12.答案：129．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2.又F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 则PF 1→＝(－1－m ，－n )， PF 2→＝(1－m ，－n )， PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1 ＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n2b 2－1 ＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a2b 2＋a 2－1≥a 2－1， 当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34. 答案：⎣⎡⎦⎤－1516，－34 三、解答题10．(2018·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120＜k 2≤54， 所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，2147.11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c .因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2， 所以b 2a ＝22，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c b 2a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)＞0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k （2k ＋1）1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k 2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －（2k ＋2）×4k （2k ＋1）1＋2k 28k 2＋8k 1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝94的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形P AB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2. 因为圆C 与抛物线的准线相切，所以b ＝32－p2，且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即b ＝p 4，所以b ＝32－p 2＝p4，即p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 对y ＝x 24求导得y ′＝x 2，即k AP ＝x 12，直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21，同理直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22.设P (x 0，y 0)．联立直线AP 与BP 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22＝2k y 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1)， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k 2＝21＋k 2，所以三角形P AB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时取等号．综上，三角形P AB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为y ＝1.。

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G （x ）＝2－x ，2x ，x ≥1.由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m 2<g (x )<－m ； 当x ≥m 2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m 2. 则g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－m 2，＋∞， 不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－m 2，解得m >－2， 由于m <0，则m 的取值范围是(－2，0)．3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，所以3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <14或x >12， 所以不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <14或x >12. (2)当a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1a，2（1－a ）x ＋1，x <1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2（1－a ）≤0，即1≤a <2； 当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意； 当a <0时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1a ，2（1－a ）x ＋1，x >1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，2（1－a ）≤0，此时无解． 综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1，2)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|.(1)当a ＝1时，求f (x )≤2的解集；(2)若g (x )＝4x 2＋ax －3.当a >－1且x ∈⎣⎡⎦⎤－12，a 2时，f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－122，－12≤x ≤124x ，x >12.当x <－12时，f (x )≤2无解； 当－12≤x ≤12时，f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤12； 当x >12时，f (x )≤2无解．综上所述，f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤12. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，a 2时，f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1，所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )． 又g (x )＝4x 2＋ax －3在⎣⎡⎦⎤－12，a 2上的最大值必为g ⎝⎛⎭⎫－12、g ⎝⎛⎭⎫a 2之一，则⎩⎨⎧a ＋1≥g ⎝⎛⎭⎫－12a ＋1≥g ⎝⎛⎭⎫a 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2－43≤a ≤2，即－43≤a ≤2. 又a >－1，所以－1<a ≤2，所以a 的取值范围为(－1，2]．6．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋3a 2|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集；(2)若对于任意函数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，不等式可化为|2x |＋|x －2|≥3，得⎩⎨⎧x <0－2x ＋2－x ≥3或⎩⎨⎧0≤x ≤22x ＋2－x ≥3或⎩⎨⎧x >22x ＋x －2≥3， 解得x ≤－13或x ≥1， 所以当a ＝0时，不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞)． (2)对于任意实数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，即|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|<2a 恒成立． 因为|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|≤|2x ＋1－2x －3a 2|＝|3a 2－1|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a 2－1|<2a .当a <0时，无解；当0≤a ≤33时，1－3a 2<2a ，解得13<a ≤33； 当a >33时，3a 2－1<2a ，解得33<a <1. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.7．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋1.(1)求不等式f (x )≥2x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥2x 等价于x 2－|x |－2x ＋1≥0，①当x ≥0时，①式化为x 2－3x ＋1≥0，解得x ≥3＋52或0≤x ≤3－52； 当x <0时，①式化为x 2－x ＋1≥0，解得x <0，综上所述，不等式f (x )≥2x 的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤3－52或x ≥3＋52. (2)不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在[0，＋∞)上恒成立，等价于－f (x )≤x 2＋a ≤f (x )在[0，＋∞)上恒成立， 等价于－x 2＋x －1≤x 2＋a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立， 等价于－x 2＋12x －1≤a ≤x 2－32x ＋1在[0，＋∞)上恒成立， 由－x 2＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫x －142－1516≤－1516(当且仅当x ＝14时取等号)， x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716≥716(当且仅当x ＝34时取等号)， 所以－1516≤a ≤716， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，716. 8．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x 2＋2，g (x )＝|x －a |－|x －1|，a ∈R .(1)若a ＝4，求不等式f (x )>g (x )的解集；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝4时，不等式f (x )>g (x )为x 2＋2>|x －4|－|x －1|，g (x )＝|x －4|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≥4，－2x ＋5，1<x <4，3，x ≤1.①当x ≥4时，x 2＋2>－3恒成立，所以x ≥4.②当1<x <4时，x 2＋2>－2x ＋5，即x 2＋2x －3>0，得x >1或x <－3， 所以1<x <4.③当x ≤1时，x 2＋2>3，则x >1或x <－1，所以x <－1.由①②③可知不等式f (x )>g (x )的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)当a ≥1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，x ≥a ，a ＋1－2x ，1<x <a ，a －1，x ≤1，所以g (x )的最大值为a －1.要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥a －1，则a ≤3，所以1≤a ≤3.当a <1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1，x ≥1，2x －a －1，a <x <1，a －1，x ≤a所以g (x )的最大值为1－a .要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥1－a ，则a ≥－1，所以－1≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是[－1，3].。