黑龙江省大庆市2014届高三第三次质量检测(三模)数学文试题 扫描版含答案

2014哈三中校三模】黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试数学文Word版含答案XXX2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

选择题使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集U=R，集合A={x|x-2x-3>0}，B={x|2<x<4}，那么集合(C∪A)∩B=A) {x-1≤x≤4} (B) {x^2<x≤3} (C) {x^2≤x<3} (D) {x-1<x<4}2.复数1+i+i+⋯+i等于A) i (B) -i (C) 2i (D) -2i3.已知a=2.3^(210)，b=log2 3，c=log2 4，则A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>c>a (D) c>b>a4.已知直线m,n和平面α，则XXX的一个必要条件是A) m//α，n//α (B) m⊥α，n⊥α (C) m//α，n⊂α (D) m,n与α成等角5.已知x与y之间的一组数据。

x 1 2 3y 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为ŷ=2.1x+0.85，则m 的值为A) 1 (B) 0.85 (C) 0.7 (D) 0.56.在数列{an}中，已知a1+a2+⋯+an=2n-1，则a1^2+a2^2+⋯+an^2=A) n^2 (B) n(4n-1) (C) 4n-1 (D) 3n^27.执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入A) n>4 (B) n>8 (C) n>16 (D) n<16开始S=0,n=1S=S+nn=2n否①是输出S结束8.已知z=2x+y，其中实数x,y满足x+y≤2，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是A) 2/11 (B) 1/11 (C) 4 (D) 11/49.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$的右焦点为$F$，过$F$的直线$l$交双曲线的渐近线于$A,B$两点，且与其中一条渐近线垂直，若$AF=4FB$，则该双曲线的离心率是$\frac{5}{4}$。

2014年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若全集U ={−1, 0, 1, 2}，P ={x ∈Z|x 2<2}，则∁U P =( ) A {2} B {0, 2} C {−1, 2} D {−1, 0, 2}2. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A 对任意x ∈R ，都有x 2<0B 不存在x ∈R ，都有x 2<0C 存在x ∈R ，使得x 2≥0D 存在x ∈R ，使得x 2<03. 某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y （元），与该周每天销售这种服装件数x 具有线性相关关系，其回归直线方程为y ̂=4.75x +51.36，则下列结论中不正确的是（ ） A y 与x 具有正相关关系 B 回归直线过样本点的中心(x ¯, y ¯) C 若该周每天销售这种服装件数x 增加1件，则获利约增加4.75元 D 若每周每天销售这种服装10件，则可断定获利必为98.86元4. 函数f(x)=lnx 2( )A 是偶函数且在(−∞, 0)上单调递增B 是偶函数且在(0, +∞)上单调递增C 是奇函数且在(0, +∞)上单调递减D 是奇函数且在(−∞, 0)上单调递减5. 已知Ω={(x, y)|x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}，A ={(x, y)|x ≤4, y ≥0, x −2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ） A 29 B 23 C 13 D 196. 已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题： ①若m // n ，n ⊂α，则m // α； ②若m ⊥l ，n ⊥l ，则m // n ；③若m ⊥n ，m // α，n // β，则α⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β． 其中正确的命题个数有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7. 将函数y =14sinx +√34cosx(x ∈R)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A π12 B π6 C π3 D 5π68. 阅读如图程序框图，输出的结果s 的值为（ ）A 0B √32 C √3 D −√329. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 92+14πB 92+24πC 80+10πD 80+20π 10. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B √7 C √13 D √1511. 在△ABC 中，AB →⋅AC →=7，|AB →−AC →|=6，则△ABC 面积的最大值为（ ） A 24 B 16 C 12 D 812. 已知函数f(x)=12x 2−ax +(a −1)lnx(a >1)，若对于任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1≠x 2，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>−1，则实数a 的取值范围为（ ）A (1, 4)B (1, 4]C (1, 5)D (1, 5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 设i 是虚数单位，则i1−i 3=________．14. 已知函数f(x)=x 2−ax 的图象在点（1, f(1)）处的切线l 与直线x +3y +2=0垂直，则a 的值为________．15. 已知tan(α+π4)=2，则cos2α=________．16. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+(y −3)2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且满足前三项的和为9，前三项的积为15．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =1Sn +n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．19. 如图所示，在直角梯形PBCD中，PD // BC，∠D=90∘，PD=9，BC=3，CD=4，点A在PD上，且PA=2AD，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．(I)求证：SA⊥AD；(II)点E在SD上，且SE=13SD，求三棱锥E−ACD的体积．20. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1, 14)，点A关于x轴的对称点为A′，求△ABA′的外接圆方程．21. 已知函数f(x)=lnx−mx+m，m∈R．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若f(x)≤0在(0, +∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(III)在(II)的条件下，证明：对任意的0<a<b，f(b)−f(a)b−a ≤1a−1．请考生在第22-24题三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

大庆中学三模文科数学一.选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设z = 1 – i （i 是虚数单位），则复数z2的虚部是 A ．1 B ．－1 C ．i D ． －i 2．设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射),(),(:y x y x y x f -+→在映射下，B 中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ） A ．（4，2） B ．（1，3） C ．（6,2） D ．（3,13．调查显示，某市人均年收入x （单位：万元）和人均年消费支出y （单位：万元）具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：由回归直线方程可知，人均年收入每增加l 万元，人均年消费支出增加 A ．0．136万元 B ．0．264万元 C ．0．272万元 D ．0．400万元4．设变量,x y 满足约束条件：+222y xx y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A ．20132014B ．20142015C ．20134027D ．201440296．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）, 则该几何体的体积为（ ）3m ．A ．37 B.29 C ．27D.497．已知双曲线1922=-my x 的一个焦点在圆05422=--+x y x 上，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 322±= D ．x y 423±= 8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=18，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12- 9．将函数1()sin()23f x x π=-的图象沿x 轴向右平移(0a a >）个单位，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值为 A ．6πB ．6π C ．56πD ．53π 10．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π⎧=⎨>⎩≤≤若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ） A ．（1，2014） B ．（1，2015） C ．（2，2015） D ．[2，2015]11. c b a ,,表示不同直线，M 表示平面，给出四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b 或b a , 相交或b a ,异面；②若⊂b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b ，其中正确命题为A ．①④B ．②③C ．③④D ．①② 12. 关于x 的方程10x ek x --=（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k 的取值范围是A ．{-2，0，2} B. (1,)+∞ C ．{k | k>e} D ．{k | k 2＞1}第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线x y e -=在点（0，1）处的切线方程为 。

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，因此可知答案为D.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。

2.已知集合，，则（）A. B. C.且 D.【答案】A【解析】【分析】由定义域的求法得到集合A，解不等式得到集合B，然后可得．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题以不等式为载体考查集合的交集运算，解题时正确解不等式是关键，属于基础题．3.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（）A. 焦点在轴上B. 实轴长为2C. 渐近线方程为D. 离心率为【答案】D【解析】根据双曲线方程的形式对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】对于A，由方程可得焦点在轴上，所以A不正确．对于B，根据方程可得实轴长为4，所以B不正确．对于C，由得，即为渐近线方程，所以C不正确．对于D，由题意得，所以，所以离心率，所以D正确．故选D．【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题时由标准方程得到相关参数是解题的关键，属于基础题．4.在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程，并且由观测数据算得，，，则当时，预测数值（）A. 108.5B. 210C. 140D. 210.5【答案】A【解析】【分析】先根据题中的条件求出，然后再进行预测即可．【详解】由题意得样本中心为，由于回归直线过样本中心，所以，解得，所以回归直线方程为．当时，．故选A．【点睛】回归直线方程过样本中心是回归分析中的一个重要结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数，解题时要注意这一结论的应用，属于基础题．5.设，是两条不同的直线，，两个不同的平面.若，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法进行分析，进而可得结论．【详解】由题意得，当，且时，则必有；反之，当，时，则必有，所以当，时，则“”是“”的充要条件．故选C．【点睛】判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，可借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．6.在等差数列中，若，则（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C【解析】【分析】由得，然后再根据等差数列项的下标和的性质得到所求．【详解】设等差数列的公差为，则由得，整理得，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本运算和下标和的性质，运用下标和性质解题可简化运算，提高解题的效率，属于基础题．7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. -10B. -9C. -8D. -6【答案】A【解析】【分析】依次运行程序框图中的程序可得输出结果．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：，满足条件，继续运行；第二次：，满足条件，继续运行；第三次：，满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，停止运行，输出．故选A．【点睛】解答关于循环结构的问题时，首先要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．对于求输出结果的问题，可依次运行框图中的程序，直到停止运行、得到输出的结果．8.已知实数，满足，则的最小值为（）A. 0B.C.D. -2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域．由得，平移直线，结合图形可得取得最小值时的最优解，进而得到最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，所以．故选D．【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．9.函数的图象关于（）A. 直线对称B. 点对称C. 直线对称D. 点对称【答案】D【解析】【分析】结合对称轴和最值对应关系、对称中心和零点的对应关系，对四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】对于A，当时，，不是函数的最值，所以A不正确．对于B，当时，，函数值不为零，所以B不正确．对于C，当时，，不是函数的最值，所以C不正确．对于D，当时，，函数值为零，因此函数图象的对称中心为，所以D正确．故选D．【点睛】解答此类问题时，常用的方法是利用排除法求解，解题时注意正弦型、余弦型函数图象额对称轴与最值间的关系、对称中心和零点间的关系，运用这些关系解题可提高解题的效率．考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题．10.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为，且，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可．【详解】如图，设小正方形的边长为，直角三角形较大的锐角为、较小的边长为，则直角三角形较大的直角边长为，∵，∴，∴大正方形的边长为，由几何概型概率公式可得，所求概率为．故选B．【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．11.某三棱锥是由一个正方体被四个平面截去四部分得到的，其三视图都是边长为2的正方形，如图，则该三棱锥的表面积为（）A. 8B.C. D. 16【答案】B【解析】【分析】由三视图得到三棱锥的形状，然后根据三棱锥的特点可求出其表面积．【详解】由三视图可得，该三棱锥是从正方体中截取四个相同的三棱锥得到的，即如图中的三棱锥．由题意得，该三棱锥的所有棱长为，所以该三棱锥的表面积为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．12.定义在上的函数同时满足：①对任意的都有；②当时，.若函数（且）恰有3个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得方程（且）有三个解，在同一坐标系内画出函数和的图象，根据两函数图象的位置关系及两图象交点个数可得关于的不等式组，进而可得所求范围．【详解】由题意得方程（且）有三个解，所以函数和的图象有三个交点．因为对任意的都有，所以函数是周期为1的函数．又当时，，画出函数的图象，如下图所示．又由题意可得，若函数的图象与函数的图象有交点，则需满足．结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足，解得，所以实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查函数性质、图象的应用，解题的关键在于将函数零点的问题转化为两函数图象交点个数的问题处理，考查画图、用图的能力和转化意识的应用，属于综合性问题，难度适中．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：__________．【答案】6【解析】【分析】根据对数、指数的运算性质求解即可得到结果．【详解】原式．故答案为：．【点睛】本题考查指数、对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于简单题．14.已知向量，的夹角为，且，，则__________．【答案】2【解析】【分析】根据平面向量的数量积求出，进而可得所求结果．【详解】∵，∴．故答案为：．【点睛】数量积为解决平面中垂直问题、长度问题和夹角问题提供了工具，解题的关键是正确求出向量的数量积，考查计算能力和数量积的应用，属于基础题．15.设等比数列的前项和为.若，则__________．【答案】-2【解析】【分析】先根据求出等比数列的公比，然后化简可得结果．【详解】设等比数列的公比为．①当时，不成立．②当时，由得，整理得，即，解得．所以．故答案为：．【点睛】利用公式求等比数列的前项和时，在公比不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为和两种情况求解，考查计算能力，属于基础题．16.点在抛物线：上，为的焦点，以为直径的圆与轴只有一个公共点，且点的坐标为，则__________．【答案】5【解析】【分析】设点的坐标为，根据可求出的值，然后再根据抛物线的定义可得的值．【详解】由抛物线的方程为可得其焦点坐标为，准线方程为．设点的坐标为，则，由题意得点在以为直径的圆上，∴，∴，整理得，解得．由抛物线的定义可得．故答案为：．【点睛】解答本题的关键有两个：一是把几何图形的性质用转化为坐标的运算，二是根据抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，考查转化能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.在中，是上的点，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的长.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求出，然后根据两角差的正弦公式求解即可．（Ⅱ）在中，可得．然后在中由余弦定理可得．【详解】（Ⅰ）由题意得．∵，∴．∴．（Ⅱ）在中，，∴．在中，，由余弦定理得，∴．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题的关键是把题中的条件转移到一个三角形中，然后根据正余弦定理进行求解，同时要注意三角形中角的关系的灵活运用，属于中档题．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的列联表，并回答是否有的把握认为“带饮品和男女性别有关”？附：【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得，于是可得每个时间段上的频数，进而结合题意可求出获得的收入．（Ⅱ）根据题意完成列联表，然后根据表中的数据求出，再根据临界值表中的数据得到结论．【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得：，∴.∵样本容量，∴在这个时间段的频数为，同理可求得，，，，这5个时间段的频数分别为14，10，5，8.5.∴外卖小哥送50单的收入为（元）．（Ⅱ）由题意得列联表如下：由表中数据可得．∴有的把握认为“带饮品和男女性别有关”．【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．19.如图，在三棱柱中，，分别是，的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，側面都是正方形，求五面体的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由条件证明为平行四边形，故得，然后再由线面平行的判定定理可得结论成立．（Ⅱ）方法一：取的中点为，连接，然后证明为四棱锥的高，于是可得所求体积．方法二：取的中点，连接，根据条件可证得是四棱锥的高，且，然后根据求解．【详解】（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，.∵，分别为，的中点，∴且.∵为的中点，∴且.∴且，∴为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）解法一：取的中点为，连接，∵为等边三角形，∴.∵侧面是正方形，∴，.又平面，且，∴平面.∵平面，∴，又，∴平面，即为四棱锥的高.故所求体积. （Ⅱ）解法二：取的中点，连接，∵为等边三角形，∴.∵侧面都是正方形，∴，.∵平面且，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∴是四棱锥的高，且.故所求体积.【点睛】求解几何体的体积时首先要分清几何体的类型，对于规则的几何体可根据体积公式直接求出底面面积及该底面上的高，然后可得体积．对于不规则的几何体一般利用分割、补形的方法转化为规则的几何体的体积求解，此类问题考查计算和转化能力，属于中档题．20.已知点，动点到直线：的距离为，且，设动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，和，，若四边形面积为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）和.【解析】【分析】（Ⅰ）设点，然后根据直接法求解可得曲线方程．（Ⅱ）设出直线的方程为或，然后利用代数法求出和，并根据四边形的面积可求出直线方程中的参数，进而得到直线方程．【详解】（Ⅰ）设，∵，∴，整理得曲线的方程为．（Ⅱ）解法一：①当直线的斜率为0时，则，，∴四边形的面积.②当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由消去得.由已知可知恒成立，设，，则，，∴．∵直线，互相垂直，∴以替换上式中的可求得，∴四边形的面积，解得， ∴直线的方程为或，即和.解法二：①当直线的斜率不存在时，可求出，，，.∴，， ∴四边形的面积. ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由消去得. 由已知可知恒成立，设，，则，. ∴．∵直线，互相垂直，∴用替换上式中的可求得.∴四边形的面积，解得，∴直线的方程为或，即和．【点睛】由于解答解析几何问题时通常要遇到大量的计算，所以在解题时要合理运用简化运算的方法，以达到快速解题的目的．常用的简化运算的方法有：“设而不求”、“整体代换”、“巧设直线方程”等，还有象本题中的“以替换上式中的”求弦长的方法．21.已知函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）增区间为，；减区间为（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出，由可得增区间，由可得减区间．（Ⅱ）由题意将问题转化为对恒成立，构造函数，然后求出的最小值，并由最小值大于等于零可得所求范围．【详解】（Ⅰ）当时，，得，令，得，，由得或时，由得，∴增区间为，；减区间为．（Ⅱ）由条件得对恒成立，∵，∴对恒成立．设，则，令，得．（1）当，即时，有，∴在上是减函数，∴，解得，不合题意．（2）当，即时，则得在上是减函数，在上是增函数，∴，解得，符合题意．综上可得，实数的取值范围是．【点睛】解答恒成立问题的常用方法是参数分离法或参数讨论法．参数分离法是将题中的参数分离在不等号的一边，然后转化为求函数的最值的问题求解；若用参数分离无法求解，则可用参数讨论的方法求解，此时需要对参数进行分类讨论，此时需要做到分类标准选择合理、分类不重不漏．22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的倾斜角及极坐标方程；（Ⅱ）若射线与交于点，与圆交于点（异于原点），求.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）8.【解析】 【分析】（Ⅰ）消去直线参数方程中的参数后得到直角坐标方程，进而得到倾斜角；根据互化公式可得直线的极坐标方程．（Ⅱ）把代入的极坐标方程中得，把代入圆的极坐标方程中得，于是可得．【详解】（Ⅰ）消去方程中的参数，整理得， ∴直线的普通方程为． 设直线的倾斜角为，则，∵，∴．把，代入，可得得直线的极坐标方程为．（Ⅱ）把代入的极坐标方程中得,把代入圆的极坐标方程中得，∴．【点睛】本题考查各种方程间的转化，注意消参、转化公式的灵活应用．另外，应用极坐标中点的极径和直线参数方程中参数的几何意义可求弦长，解题中要合理运用这些方法．23.已知，，.设的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解不等式.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）运用基本不等式可得所求结果．（Ⅱ）利用零点分区间法将绝对值不等式转化为不等式组求解即可．【详解】（Ⅰ）由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴最小值为2，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得不等式即为．当时，原不等式化为，解得；当时，原不等式化为，解得；当时，原不等式化为，此时不等式无解．综上可得原不等式的解集为．【点睛】含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：当时，或．(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。